初中數學教學中開展變式教學的實踐分析

王樂樂

摘要：初中數學教學不應局限于課本知識和題海練習，在學生掌握基本的知識技能后，培養學生自主探索、舉一反三的能力對于后續的學習發展有著重要意義.在初中數學教學中，變式教學是一種重要的教學方法.通過對問題的變式，揭示知識的發生過程與知識彼此之間的聯系，以提高學生學習效率，引發學生自主思考，反思.本文中以三角尺的旋轉變式為例，對變式教學在初中數學教學中的應用進行實例分析.

關鍵詞：初中數學；變式教學；案例分析；教學效果

1 背景分析

初中數學題型眾多，許多學生雖然做了很多題，但缺乏反思總結、拓展延伸的過程，題目稍微改變一下就不會.這樣的學習不僅費時費力，長此以往還會打擊學生的自信心和積極性.而在長期教學實踐中，變式教學被廣泛應用于數學教學之中.在教學時有設計地運用變式，能讓學生從復雜的條件中找到問題的本質，融會貫通、化繁為簡，有效提高學習效率，激發學生探究學習的積極性.變式教學可以是教師變式，也可以是學生變式.教學時應以實際學情為基礎，結合學生知識水平，引發學生思考，引導學生發現并提出問題［1］.變式教學還應延伸到題目之外，即關注學生在思考總結、反思整理環節中能否運用變式思想進行拓展提升，才能更有效地提高教學效果.

筆者以三角尺的旋轉變式為例，探討變式教學模式在課堂教學中的有效運用，從一個基本圖形出發，不斷演變、延伸、探索新的問題，以此激發學生的學習興趣，培養學生的探究創新精神，學會舉一反三，建立更完善的知識體系.

2 變式教學的實踐

變式教學形式多樣，筆者選取以三角尺為載體的一類經典而多變的旋轉變換題型進行教學設計.這類問題涉及三角形全等、相似等知識點，設計精巧，學生初見時常有畏懼情緒，因此筆者以學生熟悉的典型題為例，提煉基礎題型中的關鍵思想，并逐步變式，層層遞進，消除學生的畏難情緒.

原問題如圖1所示，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，將一塊直角三角尺的直角頂點放在AB的中點O處.三角尺繞點O旋轉時，其兩直角邊分別交邊AC，CB于點D，E.證明：OD=OE.

分析：O為等腰直角三角形斜邊上的中點，連結OC.根據等腰三角形“三線合一”的性質，得OC=OB，∠DCO=∠EBO=45°；又因為同角的余角相等，可得∠DOC=∠EOB，從而三角形△ODC和△OEB全等，則可以得到OD=OE.

變式1將題目條件“其兩直角邊分別交邊AC，CB于點D，E”，改為“其兩直角邊分別交射線AC，CB于點D，E”.如果也要求證OD=OE，則需要進行分類討論.學生畫出點D，E分別落在AC，CB延長線上的情況（如圖3）后發現，解題的思想和方法是相同的.

改變題中等腰直角三角形ABC的形狀，變式為一副三角尺旋轉的問題.

變式2將一副三角尺按圖4進行擺放.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°；D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經過點C.將△DEF繞點D按順時針方向旋轉角α（0°<α<60°），此時的等腰直角三角尺記為 △DE′F′，DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，試判斷PMCN的值是否隨著α的變化而變化？如果不變，請求出PMCN的值；反之，請說明理由.

分析：與原問題中等腰直角三角形的旋轉相同，由同角的余角相等，可得∠PDM=∠CDN.因為△BCD為等邊三角形，所以∠BCD=∠BDC=60°，∠ADE=30°.由三角形的外角等于不相鄰的兩個內角之和，可得∠MPD=∠A+∠ADE=60°.因為∠PDM=∠CDN=α且∠MPD=∠NCD=60°，所以△MPD∽△NCD，故PMCN=PDCD=33.

在原題的基礎上改變了三角尺的形狀，但旋轉變換中所用的三角形知識和解決問題的思想方法是一致的，通過變式讓知識間產生聯系，形成知識體系［2］.

變式3△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的頂點E為△ABC斜邊BC的中點.

（1）如圖5-1，DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：△BEM∽△CNE；

（2）如圖5-2，將△DEF繞點E旋轉，使得DE交BA的延長線于點M，EF與AC交于點N，除（1）中的相似三角形外，再找出一對相似三角形，并證明你的結論.

分析：（1）因為∠DEC=∠B+∠BME，所以∠MEN+∠NEC=∠B+∠BME.又因為△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，所以∠B=∠MEN=45°.則∠NEC=∠BME，故△BEM∽△CNE.

（2）由（1）知△BEM∽△CNE，所以BMCE=MEEN.又因為CE=EB，所以BMEB=MEEN.而∠MBE=∠MEN=45°，故△BEM∽△ENM.

然而在教學中發現，對于（2）的解答，學生并不善于由中點條件將相等的邊代換， 把對應邊的比構造成另外兩個三角形對應邊的比.他們為證△BEM∽△ENM，更自然地想到已知∠MBE=∠MEN=45°，然后想辦法證明∠BME=∠NME.

這種思路更貼近于學生實際的知識水平和思維方式，此時老師不妨從學生的實際想法出發，引導學生思考此變式與原問題間的聯系，鼓勵學生順著思路繼續探究.可構造一個45°的角與其對應，過E點作一直角， 如圖6，構造出形如原問題的基本圖形， 由原問題的結論可得△CNE≌△AM′E，NE=M′E.

因此不妨將△DEF繞點E逆時針旋轉45°，得△D′EF′，D′E交AB于點M′，如圖7所示.因為NE=M′E，∠NEM=∠M′EM，MN=MM′，所以△NEM≌△M′EM.由此得∠NME=∠BME，可證△ENM∽△BEM.

這種證法從較為復雜的圖形結構中提煉出問題的本質特征，引導學生思考，進行恰當的旋轉變換，符合學生的認知水平，同時讓學生感受探索新的解題方法、拓展解題思路的成就感.通過變式體現了不同知識點的和諧統一，展示了數學思想，培養了學生的邏輯思維能力.

在這類特殊角的旋轉問題解決后，仍可對學生提出變式思考，當變式3中∠DEF的度數改變時，相似的結論還成立嗎？怎樣改變條件，可使相似的結論依然成立？這樣學生樂于思考，從教師進行變式教學到學生主動變式探索，經歷思維提升的過程.

變式4△ABC中， ∠B=∠C=α（0°<α<90°），E為BC的中點，∠DEF=α，繞點E旋轉.

（1）如圖8，當∠DEF的兩邊分別交AB，AC于點M，N時，求證： △BEM∽△CNE；

（2）將∠DEF繞點E旋轉到圖9情形時，∠DEF的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點M，N，△BEM與△CNE還相似嗎？

（3）在（2）的基礎上連接MN，△BEM與△ENM是否相似？請說明理由.

由于構造了與變式3相近的圖形， 因此本題也可用變式3的證法解決.以此設計變式，層層遞進，從特殊到一般，讓學生經歷變式思考的過程，自主完成從舊知識到新問題的構建，達到學習的目的.

3 總結與思考

變式教學設計要遵循目的性原則，常見的變式目的是讓學生掌握核心概念，深入理解性質定理，學會應用拓展.教師要根據實際情況有針對性地組織變式教學［3］.變式教學不僅僅是體現教師教學的設計和理念，還要充分發揮學生的主觀能動性，將教師主導與學生主體相結合.不同的學生對題目有不一樣的理解和求解方式，在變式時鼓勵學生積極探索，互相補充，這種思維的碰撞能夠給變式教學帶來意外的收獲.變式教學是為更好地提升學生學習效率而服務的，不能給學生造成為變而變、無效刷題的負擔.因此變式的設計不能僅是題目形式上的變化，更應從深層次挖掘它的教學意義，真正幫助學生提升數學素養.

在實際開展變式教學的過程中，不僅是教師設計創新變式，還應給學生留有主動思考、自主探索變式的空間和時間，讓學生提出符合實際學情的問題.教師在引導學生的過程中，應有意識地回歸基本圖形或核心知識點，解釋問題內在的聯系，運用學生已經掌握的問題表征策略解決問題.同時注重導入情境的變式，設置一定梯度，使學生的思維可以逐步前進，讓學生體驗變式學習的樂趣.

在變式教學的實踐中，也難免會存在一些困難和矛盾.如果平衡不好學生自主學習和教師必要指導間的關系，那么變式教學就會變成教師的“展示秀”，反而增加了學生的學習負擔.課堂應以學生為本，變式教學設計的本身目的是為了使教學效果更加理想.變式教學的過程中，教師要尊重學生的認知水平和心理特點，注重培養學生的反思意識，引導學生逐漸學會自主變式拓展，提升數學素養.

參考文獻：

[1]鄭毓信.關于“以學為中心”的若干思考[J].中學數學月刊，2014（1）：1-4.

[2]呂進智.巧用變式，有效延展——初中數學變式教學策略研究[J].數學教學通訊，2017（17）：40-41.

[3]孫壽春.變式教學在初中數學教學中的應用研究[J].數學教學通訊，2019（5）：70-72.Z