例談函數思想在數學解題中的幾種應用

李飛

【摘要】函數是高中數學必修知識。以函數為紐帶，可以解決不同形式不同種類的數學問題。但在實際授課過程中，因為函數的靈活性以及廣泛適用性，導致學生產生提函數色變的現狀，為了進行有效課堂學習，提高學生數學興趣和解題技能，提出系列措施，旨在弱化函數概念，提高函數適用性，降低學生防御心理，進而接受函數、學習函數，提高數學涵養，提升實際解題效率。

【關鍵詞】高中數學;函數;課堂效率

高中數學中，函數幾乎貫穿于整個教學流程，且形式靈活、思維模式靈活。在實際學習過程中，不少學生或因為思維固化，或因為沒有掌握知識，或因為知識理解片面，導致學了不會用，或者只會用于單項訓練，使得函數學習和使用流于形式，達不到融會貫通、靈活使用的目的。針對該情況，以函數思想為基礎，簡單列舉函數思想在實際解題中的幾種應用，引發學生實際思考，在實際做題過程中深入理解，讓學生在實際做題過程中真正領會“悟”的過程，通過方程進行合理轉化，分類討論不同規則，記憶數列運算法則，通過數形結合運算確定范圍，對抽象問題進行賦值運算，幫助學生掌握解題思維，在實際做題過程中，能進行針對性地輔助練習。

一、聯通方程，科學轉化

如果函數貫穿了整個高中數學體系，那么方程就是函數的具體表現形式。在實際解題過程中，學生經常會遇到方程和不等式之間存在轉化關系，不等式之間依據某些給定的條件存在轉化的情形，此時在規定定義域范圍內，對方程或者不等式先進行轉化，再求解，這時不等式會通過已知的條件進行聯立，構成了不等式組，解不等式組的過程就是求解最終結果的過程。

例如f（x）在其定義域（0，+∞）為減函數，如果存在a和b，且a，b∈（0，+∞），都存在式f（a/b）=f（a）-f（b）成立，f（4）=1，求解不等式f（x+6）-f（1/x）>2的解集。

所以在函數中，求解不等式時可以將其默認為求解方程，注意不等式符號是否變化。通過將方程進行轉化，或者將不等式進行轉化，形成綜合求解計劃，計算出結果或者范圍。而在本題中，方程計算的過程是為了簡化參數的計算，不等式計算的過程，是為了求解最終參數的范圍。二者聯合，才能計算出最終結果。要求學生利用函數思想，學習交叉方程、不等式以及函數的知識，才能在實際解題過程中靈活應用，提高解題效率。

二、指向角域，分類討論

高中數學中存在一種習題模式，題目中是函數計算式，但在實際計算過程中，發現不僅需要對函數進行計算變換，同時要對其中的參數進行重新設定。在實際設定過程中，為了計算方便的同時不出現失誤，結合參數的實際定義域，限定在一定范圍內，比如轉化為三角函數，再進行后續分析，這種題目具有一定的隱藏性，需要學生提高警惕。

例如化簡式子cos（π+x）+cos（π-x），k∈Z，該題中，三角函數為周期性函數，所以可以進行簡化運算，理論上cosθ為偶函數，sinθ為奇函數（嚴格注意，該題目中，兩個都是cosθ的函數），然而式中存在k的不確定性，導致三角函數在實際簡化運算過程中很可能出現性質變換，所以需要對k進行分類討論。

所以當對k進行不同定義時，出現了兩種截然不同的結果。

在三角函數的計算過程中，因為三角函數本身具有的周期性質，需要結合已知條件，通過周期值結果相等進行簡化運算。三角函數具有周期性的同時還具有奇偶性，又可以借助奇偶性進行進一步化簡計算。周期、奇偶條件下的分類討論，構成了三角函數解題的核心方法。分類討論作為數學函數思想的重要邏輯方法，可以訓練學生思維的全面性和創新性。所以在實際解題過程中，通過相近例題的培訓，訓練學生的數學思維。

三、數列運算，求解最值

相對函數的其他理論內容及表現規則，數列的規律性是最強烈也是最明顯的。使用數列解題的前提要求是理解并記憶數列的通項公式、求和公式，并且牢記數列的單調性。高中數列只存在兩種形式，等差數列和等比數列，其他形式的數列均是在該基礎上的延伸。數列的變化要求學生具有良好的應變能力，學生有應變能力的前提是打好基礎，理解等差數列并不意味著數字一個比一個大，等比數列也不意味著數字呈幾何形式上漲，只有打好基礎才能在眾多繁雜數據中找到之最。

例如等差數列{an}，已知a1=-25，前9項的和S9等于前17項的和S17，問：這個數列前多少項的和最小？求出該值。

該題為基本的等差數列，一般有兩種計算方式，一種方法是列出通項公式或者求和公式，利用和相等計算出公式中的公差d，再使用求和公式計算最小值。另一種方法是不直接計算公差d，也不列相應的公式，僅通過S9=S17進行理論推導。

總結1）當公差d<0時，前n項和有最大值;反之，當公差d>0時，前n項和有最小值;2）求解前n項和的最值時，可以直接求，也可以利用數列的單調性求。

當然，數列的最值問題求解方法不僅限于此，有的數列前n項和構成了二次函數，觀察二次函數開口方向，利用二次函數特點求解，有的需要通過建立不等式與左右鄰項比較求解。不管哪種方法，實際都是函數思想的具體應用。在函數的基礎上，利用數列本身的計算邏輯規則，才能快速直達解題重點，解出相應題目。

四、解析幾何，確定范圍

如果說數列是簡單的定點求解，那么解析結合就是數列基礎上的范圍搜尋。相對其他問題來說，這類問題具有很大的難度，不僅考查學生對每個點知識的掌握程度，同時考查知識的系統性和連續性，以及對知識應用的靈活性。要求學生在實際解題過程中，根據題意，首先尋找對應的知識體系，如橢圓焦點范圍，或者雙曲線范圍等等，通過幾何體本身固有性質進行函數列示計算。

所以，幾何試題中某個點范圍的確定，不再是單純的函數計算，而是利用函數計算定點的范圍。函數作為一種工具，在幾何解題過程中起到連接作用，而其解題的本質，依然回歸相應幾何圖形的性質。要求學生在實際習題練習過程中，不要為了函數解題而去解題，幾何內涵，才是靈活應用函數的根本。

五、抽象問題，遞推賦值

在實際數學解題中，會遇到一些函數題目，但是沒有具體的式子，即只能推理，不能直接計算。很多學生遇到這類題目直接表現出害怕沒有思路，其實這類題目相對其他題目更容易解答。這類題目一般圍繞的重點是方程本身定義域、值域、奇偶性、對稱性，利用函數的這些屬性進行簡單計算，其核心思想就是將抽象的函數具體化，從而快速解題。

在實際解題過程中，抽象函數沒有具體的計算式，所以會讓學生覺得陌生而無從下手。然而從實際解題的方法和思維模式考慮，抽象函數因為沒有具體計算式，反而簡化了計算過程，利用函數的邏輯結構，直接進行簡化計算。

在高中數學中，函數是一個知識龐大的體系，函數思想是高中數學最重要、最基本的思想之一。上文列舉了幾個簡單函數應用的題目，從題目中可以知道，每個題目并沒有用到函數的所有知識，而每個題目都是對函數某個或者某些知識點的升華，所以要求學生在日常學習中，掌握基礎知識，在習題演練過程中，學會全面分析題目，再借助題目中提到的知識習題進行綜合列式計算，不斷總結經驗方法，才能真正理解數學。

【參考文獻】

[1]陳玉生.數學文化，讓課堂更具活力[J].中學數學教學參考，2016（Z3）.