指導數學推演?促進學習理解深入

王嘉玫

【摘要】在小學數學教學中教師要優化學習指導解剖，感悟知識衍生;細化學習指導深究，體味規律由來;極力引領學習再創造，領悟方法建構等，使得學生在邏輯推演中更好地建構認知，同時也促進學生數學素養的積累和提升。

【關鍵詞】數學推演;理解深入;數學化;小學數學

指導學生投入到數學推演學習之中，是引領孩子經歷數學知識學習數學化的體驗過程，是助推學習理解不斷深入的過程。因此，在小學數學教學中教師要深入學習著名數學教育家赫斯考威克斯提出的“理解的類型層次說”理論，努力滲透抽象理解等學習引導，讓學生能夠初步把握數學知識內部邏輯關系，進行相應的學習推演，以更有效地激活數學知識之間的內在聯系，促進深入學習與思考，使得學習理解得以順利進行，讓學生的數學學習更具邏輯思辨色彩，更富創新活力。

一、指導解剖，感悟知識衍生

指導學生進行相應的學習解剖，是培養他們邏輯推演的根本所在，是發展他們數學思維的重要舉措。為此，在小學二年級“除法豎式計算”教學中教師就需要重視數學學習生活化與數學化二者的有機融合，既為他們創設一個個富有濃郁生活味的學習情境，又要重視在此過程中理性思考與分析的學習引領，通過相關問題研讀和現象、結果等解剖學習，有效地感悟數學知識衍生的自然特性，使得他們的學習活動能夠更深入地思考、思維，從而助推小學生數學推演意識得以萌發。

1.正視學習現象

除法豎式計算教學，教師一般都采取實踐操作學習，來助推平均分以及除法意義理解，并在“分一分”活動中領悟到每一個過程的原理，從而理解和建構筆算除法的基本要義。當然，在此過程中還需要精準地引導，讓學生在積累學習感知的同時，學習游離性地進行分析與推演，從中感悟數學知識本質所在，為他們有效學習提供思維支持，為學習質量提升打下堅實基礎。

如，林老師要把8個足球分給小朋友，每一個小朋友都拿2個，可以分給幾個小朋友？一般情況下教師都是引導學生用自己的學具—圓片、小棒等進行相應的操作。先拿出8個圓片，然后2個放成一堆，這樣就發現可以放4堆，得出可以分給4個小朋友的結論。然后指導學生把剛才操作學習、分析過程等再通過豎式表現出來。學生會在已有知識與操作雙重刺激下較好地理解被除數是小足球的總個數8，除數是每一個小朋友拿走的個數2，商是小朋友的人數4。可是，在學生進行相應的鞏固練習中仍然有少部分學生對豎式各部分關系理解還是比較模糊，很不理解豎式中被除數8的下面還要寫出個8，有學生認為這是重復地寫一寫，沒有意義;也有學生心生疑問，這個8是不是隨意寫出來的呢？為什么不可以寫成7或者6等。

2.指導解剖現象

從上述學習現象中不難看出，要讓小學生把橫式計算、操作實驗和豎式計算科學地融合，實現思維大貫通可不是一件簡單的事，不是情境化學習就能直接奏效的，也不是簡單地操作和分析就能促進思維同步的。所有這些都還需要學生對此學習探究過程有一個理性的推想過程，以及嚴謹的邏輯推演學習來支持的。因此簡單除法豎式計算教學中教師就要正視學習現象，并引導逐步解讀現象，從而在層層解剖學習中領悟豎式與橫式操作的連通性，明晰對應的思維過程，以達成知識的理解深入、初步建構的基本目的。

（1）引導比較。為突破學生思考難點，助力學生抓好問題研究關鍵點，教師就需要采取橫式與豎式聯動觀察策略，并設計問題任務，引導學生積極地探究問題：橫式中的被除數、除數和除號在豎式中在哪里？有著怎樣的變化？于是，學生會在觀察的基礎上進行比較，并在不同思考交互中形成對應感悟，初步建立起除號變成了“廠”狀符號，被除數在里面，除數在外面。就這樣學生會把新的豎式計算格式與既往的除法橫式格式實現連通，也就利于學生進行對應的連貫性、整體性思考，形成有效的理解，并知曉豎式構造的原理，由內而外學習溝通。再思考商的位置，對應除法橫式中等號右邊的結果，在除法豎式計算則在“廠”狀符號的上面。

（2）指導推演。如果說除法計算橫式與豎式表象上的溝通聯系學習是學生建構筆算除法計算原理學習基礎之一，那么深入地探究每一個對應細節，把握好相關的計算原理，則會成為小學生順利地建立筆算除法學習的重要內容之一，也是形成對應除法筆算學習建構的核心要素。因為小學生數學思維以適宜形象、具體為主，而筆算除法看似很直觀，但是要真正地深入到數學本質，還需要抽象思考。在教學中教師可以看到，除法豎式計算符號內的部分與橫式計算幾乎是沒有關聯之處的。為此，教師就得指導深入解剖操作過程中的思維過程，以此加速學習推演生成。

教師要直接指導學生進行必要的學習推演，首先引導學生深入思考，當商是1時，對應的意義是什么？學生很自然地從分足球的操作中理解到：分給一個小朋友時，他會得到兩個足球?！斑@里的2個是從哪里拿走的？”學生很容易找出，是從被除數（總數）中拿走的，這樣在8的下面就得寫上2，這樣就明白在被除數下面寫上數的原理，而且還能明白寫上2的道理，因為商1就是1個小朋友拿走的2個。

其次，繼續引導學生解剖商2、3直至4時的學習推演，從中學生必定能理解被除數下面的數不是隨意寫出來的，而是商與除數的乘積，最后橫線下的0也不是隨意得到的，是被除數（總數）與乘積（商與除數的乘積，也就是拿走的個數）相減得來的。

二、指導深究，體味規律由來

指導學生深究每一步學習緣由，是引發學習推演的關鍵，是打造理性數學學習的核心所在。為此，在“乘法分配律”教學中教師要關注學生理性思考的指導，讓他們在深究每一個環節中把握規律的原理，明晰規律的由來，從而發現乘法分配律這一規律形成的合理性，致使他們學習理解更加深刻。

1.指導探究，初感規律

首先借助教材資源，適當地加以改編，使之更契合本地學生的生活實際，讓學習更接地氣。比如，音樂老師準備為“白雪公主和七個小矮人”表演隊購買演出服裝，上衣是45元，裙子是25元。假如不考慮性別，問買好8個人的演出服裝一共需要多少元？

其次組織學生自主思考。學生會在已有經驗支持下迅速地進行思考與分析并形成相應的解答。有學生說：先算出上衣的價錢45×8=360（元），再算出裙子的價錢25×8=200（元），總錢數是360+200=560（元）。也有學生說：先算一套演出服的價錢，45+25=70（元），再算出8套總價70×8=560（元）。

接下來教師就要創設一個探究學習情境，引導學生對兩種思路進行理性分析與比較，以促使他們初步理解乘法分配律等式雛形。學生在討論中得出，不論怎樣計算，8套演出服總價結果一定是相等的。緊接著，再組織學生仿寫類似的等式，體會其中內在特點，以幫助學生形成乘法分配律的豐厚感知。于是，學生各抒己見，各顯神通，寫出許多具有乘法分配律規則的等式，從而進一步豐富乘法分配律表象的積累。

2.引導深究，建構規律

當然，教師還需要清醒地認識到這樣推理出乘法分配律是以表象為基礎的，看似學生都能記住，也能簡單應用?？墒窃谶m度的變式練習中又是無所適從，甚至有胡亂寫一通的現象。筆者認為，這就是小學生數學學習中數學推演介入不深所導致的，因為他們缺乏應有的理性思考和邏輯推理支撐，導致該規律建構顯得單薄。

由此可見，雖然是在大量實踐和計算支持下獲得的規律，但是學生對公式的理性解讀還是缺乏的，這就會導致他們在提取知識解決問題時出現混淆，造成學而不精的局面。所以教師要指導探究數學知識內部之間聯系，探尋數學知識生長的邏輯聯系。

比如，引導學生解讀45×8+25×8就是45個8加上25個8得到70個8，是70×8。當然，也可以指導學生這樣探究（45+25）×8=（45+25）+（45+25）+（45+25）+（45+25）+（45+25）+（45+25）+（45+25）+（45+25）。上述的數學推演反之也成立的。

經過上述兩種思路的深度解讀，都是典型的乘法意義再現。當學生用乘法意義再去深究這一學習過程時，就能夠有效地打破乘法意義與乘法分配律之間的知識壁壘，從而實現乘法意義與乘法分配律之間邏輯聯系，有助于深入學習。

由此可見，教師在乘法分配律教學中不能只滿足事理性的探究與解讀，更要關注住數學知識之間的邏輯聯系，努力通過知識之間的邏輯推理來深化學習理解，加速知識領悟，從而助推學習認知的科學建構、有效建構，真正內化為學生的知識技能與數學素養。

三、引再創造，領悟方法建構

引領學生發現學習活動中的規律，指導他們利用規律進行學習再創造，是建構主義學習理論的實踐，是確立“以人為本”教學思想體現。所以在“分數除法”教學中教師就要善于創造條件、把握時機，并搭建好適合學習平臺，引導學生進行學習再創造，進而體驗方法建構的多樣性，讓他們在數學學習時更具理性，更顯靈性。

1.搭建平臺，引發活力學習

首先抓實教材資源，組織例題學習探究。教學中教師要緊緊依托教材，并以例題為源點，創設恰當的探究學習情境，搭建適合的研究學習平臺，讓每一個學生都能釋放個性，進行個性化學習。為此，教學中教師可以從生活化角度去改編例題，給學生一種更親近的學習感受。像設計這樣的話題：猴媽媽拿出4/5升果汁，準備把它平均分給2個猴寶寶喝。問每一個猴寶寶可以喝到多少升的果汁？

學生會根據已經學習過的平均分意義，進行學習遷移，順利地列出算式—4/5÷2=（？）緊接著，教師就需要創設一個開放式學習情境，鼓勵學生自主探索，“想想你能用什么方法把這個除法結果計算出來？”問題會激發學生學習思考活力，促進他們探究投入。

其次發揮個性學習優勢，實現思想大碰撞。在一定學習研究之后，有學生這樣思考：4/5升等于800毫升，平均分成2份，1份就是800÷2=400（毫升），400毫升是400/1000升，也就是2/5升。也有學生用畫圖策略來研究：畫一個長方形表示1升，4/5升就是把長方形平均分成5份，取其中的4份。這樣把4份涂上紅色，平均分給2個猴寶寶，只要把紅色的4份平均分成2份就可以了，很明顯1份就是4÷2=2塊涂色部分。不同的思考方式，給學生帶來不一樣的沖擊，相等的結果又能誘發學生更深層次的思考。

2.誘發思考，促再創造學習

首先結合圖例以及化升為毫升的學習反芻，學生都能感悟4/5÷2的方法。一是分子4直接除以2，得到2，商就是2/5;二是部分學生理解為平均分成2份，每一份就是單位1的二分之一，所以得出4/5÷2= 4/5×1/2=2/5。

其次是隨著教學推進，教師還需要把例題進行拓展，以便于整個分數除以整數除法學習的開展。如：猴媽媽把這些果汁平均分給3個猴寶寶，每一個猴寶寶能分得多少升的果汁呢？教師先是采取放手策略，給學生一個自由發揮機會，旨在讓學生借鑒前面的學習積累和經驗，促進學習思考朝著多元化方面邁進。同時，也能感受到轉化單位、畫圖這兩種方法解決問題的局限性。果不其然，很多學生都能發現轉化單位后800毫升除以3是沒法整除的，同樣用分子4除以3也面臨著同樣的困難。從而誘使更多的學生去進一步審視化除為乘的思路，探究這一方法的可行性。

再次是正視學生創新思考。就在學生糾結其間，有學生提出新的思考：4/5÷3=12/15÷3，這時就可以用分子直接除以3了。教師在充分肯定這種思路的情況下，引導學生再度思考，如果是5個猴寶寶，那又該如何？在這樣情景下學生終于意識到這種類似通分的策略是可行的，先把分數的分子和分母同乘5，再用現在分子除以5。經過分析、思考和同伴爭辯等學習活動，學生不僅能較好地掌握分數除以整數計算的基本策略，理解除以整數，乘以幾分之一（整數的倒數）。同時，還可以直接把除法變成乘法，分子不變，分母直接乘除數。

綜上所述，小學數學教學中教師應把握好《義務教育數學課程標準（2011年版）》精神，既要重視數學學習生活化打造，又要千方百計地引領學生積極融入到數學知識數學化過程。教學中教師要關注深層次的數學化學習體驗，讓他們在數學學習推演中更理性地解讀各種數學現象，提煉出對應的數學規律、概念、性質等。在自主性的再創造學習中，讓他們對數學學習的理解達到一個理想層次，進而科學地建構數學認知，促進數學思維、數學活動經驗等素養全面發展。

【參考文獻】

[1]金長余.讓數學推演成為算理分析的常態[J].中小學數學（小學版），2018（009）.

[2]張敏.善用數學推演，探究知識本質—小學課堂中數學推演的策略應用[J].新課程導學，2019（031）.

[3]俞月姣.適度數學推演，提升學生理解水平[J].數學教學通訊，2017（004）.