基于Python的微分方程在多領域中的應用

劉 雙

(山東華宇工學院，山東 德州 253000)

微分方程是表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的一種方程，它是伴隨著微積分學一起發展起來的，最早在牛頓和萊布尼茨的關于微積分學的著作中都研究過與微分方程相關的問題，隨著后人研究的不斷深入，微分方程逐漸發展為高等數學的一個分支。Python是一種計算機編程語言，最早誕生于20世紀90年代初，其特點是簡潔、易讀，因而被廣泛應用于計算機領域用以解決各類程序的實際問題。在實際生活中，很多情況下都需要利用函數及其導數的關系式對客觀事物的規律進行研究，并需運用編程軟件來實現。微分方程及Python語言在多個領域都有著很廣泛的應用價值。

1 微分方程在醫學中的應用

隨著科技的不斷發展，現在的醫學不僅僅是停留在尋醫問診的時代，更多的是要對各類疾病發生的起源以及如何治療各類疾病進行深入研究探討[1]。對于這些方面的研究都離不開數學的幫助，微分方程在這其中更是發揮了重要作用，它被廣泛應用在細菌的繁殖、藥物動力學及流行病學等多個領域中。

本研究以它在流行病學中的應用為例，其中應用最廣泛的傳染病模型就是一個很典型的微分方程模型，它按照傳染病類型又分為SI、SIR、SIRS、SEIR等模型，SEIR傳染病模型是其中較為復雜且應用較為廣泛的模型。SEIR傳染病模型將人群分為易感者(susceptible，S)、潛伏者(exposed，E)、感染者(infected，I)和康復人群(recovered，R)。該模型假設人群中所有個體都有被感染的概率，即都是易感者，當被感染后變成攜帶病毒的潛伏者，且潛伏者不具有傳染性，然后在潛伏者中會有部分人變成感染者，后經過治療產生抗體變為康復人群，并且不再具有傳染性。

新冠疫情就是屬于傳染病類疾病，SEIR傳染病模型也被廣泛應用在新冠疫情的研究中，用來對疫情的發展趨勢進行預測。可以利用Python建立如下的SEIR傳染病模型：

S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=N(t)

2 微分方程在經濟學中的應用

在經濟學中，GDP的變化率、股票的增長率、房價的變化率、商品的利潤率等這些經濟量的變化率經常需要利用微分方程進行求解[2]。著名的索洛經濟增長模型就是一個以微分方程為基礎所建立的經濟學模型，其模型為sf(k)=k*+nk，它的基本含義為人均資本擁有量的變化率k*取決于人均儲蓄率sf(k)和按照既定的資本勞動比配備每一新增長人口所需資本nk之間的差額。從模型的結構可以看出，這是一個含有未知函數k以及未知函數的導數k*的微分方程模型。

3 微分方程在物理學中的應用

數學和物理學是兩個不可分割的整體，物理學的發展離不開數學[3]。數學對于物理學的作用是具體的，在學習物理時所用到的公式、計算方法都是以數學為基礎進行應用和求解的，如速度公式、牛頓第二定律、自由落體運動公式、能量守恒定律，其公式都屬于微分方程[4]。

4 微分方程在灰色系統領域的應用

在灰色系統中，灰色預測是很重要的一個部分，其優點在于對于“小樣本，貧信息”的數據具有較好的預測效果，因而被廣泛應用于醫學、工程技術、計算機等多個領域來預測各類數據。

灰色預測是基于人們對系統演化不確定性特征的認識，運用序列算子對原始數據進行累加或累減生成，進而挖掘系統的演化規律，以此為基礎建立灰色預測模型，對系統的未來狀態作出定量預測。在灰色預測理論中，GM系列模型是灰色預測理論的基本模型，尤其是GM(1，1)模型，應用十分廣泛[5]，包含均值GM(1，1)模型(EGM)、原始差分GM(1，1)模型(ODGM)、均值差分GM(1，1)模型(EDGM)和離散GM(1，1)模型(DGM)四種，無論是其中的哪個模型，都運用到了微分方程，本研究以原始差分GM(1，1)模型(ODGM)為例，講述如何運用該模型進行預測。

原始差分GM(1，1)模型(ODGM)是基于GM(1，1)模型的原始形式和運用最小二乘法估計出的原始形式中的模型參數，直接以原始差分方程的解作為1-AGO序列的時間響應式所得到的模型，進而通過累減的方式還原得到原始序列的時間響應式，該時間響應式就是所需的原始序列的預測模型，通過該預測模型得出所要預測的數據。

5 微分方程在其他領域的應用

在社會學中，可以用微分方程建立人口模型，研究人口數量的變化規律，進而應對人口數量的變化對于其他各方面的影響；在軍事領域，可以建立微分方程模型來估計戰爭的結局；在環境學中，可以針對水污染治理建立微分方程模型，研究治理的速度及改善后的情況等內容。微分方程模型建立后，便可用Python語言編程實現[6]，得出量化后的數據，對數據進行分析后從而得出結論。

6 結語

本研究從多個領域介紹了微分方程的應用。在醫學領域，以傳染病模型為例，介紹了如何運用微分方程進行模型的建立以及預測傳染人數的變化。此外，微分方程在醫學的其他方面，如細菌的繁殖、藥物動力學等方面，都具有很重要的應用價值；在經濟學領域，可以運用微分方程研究GDP的變化率、股票的增長率、房價的變化率、商品的利潤率等經濟量的變化，以此對各種經濟問題進行量化，從而達到促進經濟發展的目的；在物理學領域，物理學中的很多跟變化率相關的公式都屬于微分方程；在灰色系統領域，運用微分方程建立GM(1，1)模型，進而對“小樣本，貧信息”的數據進行預測。不僅如此，微分方程在其他領域也有著很重要的應用價值。對于以上微分方程在各領域應用的求解，都可以通過Python語言進行編程實現，不僅簡化了整個計算求解過程，而且使結果更加精準可信。