醫用高等數學課程極限概念的教學探討

熊 菲，王國慶，黃 霞，劉慧敏

(昆明醫科大學 海源學院，昆明 650000)

0 引言

微積分是醫用高等數學課程的核心內容，極限是高等數學的重要研究方法，引入極限概念后改變了對函數的研究方法，從另一種動態的角度刻畫了函數的性態，從而引出導數、微分、積分等概念。因此，講好極限概念在整個醫用高等數學課程中至關重要，直接影響到學生對后續導數、微分、積分等概念的理解。

在實際教學中，由于傳統的極限概念一般以ε-δ語言描述，這樣描述雖然準確但比較抽象，不易被學生接受并理解。醫學生的數學基礎較為薄弱，抽象思維能力欠缺，且由于學分制改革，導致醫用高等數學課程僅有36學時，學生對傳統的ε-δ語言極限概念難以理解，使得教學中對極限概念的處理較為困難，常出現講深了聽不懂，講淺了又不理解極限本質的問題。

結合自身醫用高等數學課程的教學經驗，討論如何生動形象地講授極限的概念。通過在極限概念講解中巧妙設計課程導入、運用任務驅動教學法、融入哲學的辯證思想、在課堂上融入思想政治教育等方法，根據實際情況，將以上方法融會貫通，能夠加深學生對極限概念的認知，實現育人目標。

1 醫用高等數學課程極限概念的教學探討

1.1 設計課程導入，開展趣味化教學

作為課堂教學的重要一環，導入是一堂課的開始，且貫穿于課堂教學過程中。精彩的導入無疑會為課堂教學的進行奠定良好基礎，教師可以在導入新課時，引出數學史上極限概念的出現，重視幾何直觀展示極限概念并從運動的觀念解釋極限，多講歷史背景，少講抽象定義，從而激發學生的學習興趣。

極限思想由來已久，公元前490～425年，古希臘就有芝諾的阿基里斯悖論；公元前480～410年，古希臘的安蒂豐在討論化圓為方的問題時，用內接正多邊形來近似圓的面積，最終逼近出圓的面積；公元前369～286年，《莊子·天下篇》中也有“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的名言，這些都是早期樸素的極限思想。最早將極限思想運用到數學中是在公元263年，我國古代數學家劉徽在求圓的周長時使用了“割圓術”的方法，但這些極限思想都沒有擺脫幾何等形式的束縛。直到1665年，牛頓在對三大運動定律、萬有引力定律、光學研究過程中發現了被其稱為“流數術”的微積分。1675年，德國數學家萊布尼茲發現了微積分，但當時的極限概念也并不完善。現代意義上的極限概念，一般認為是由法國數學家柯西初建，他提出了ε-δ描述極限的方法，引入了極限符號lim。維爾斯特拉斯繼續完善了極限概念，一般認為現代意義上的極限概念是維爾斯特拉斯給出的。

在引入極限概念時，可以根據學時適當引入以上極限發展的歷史過程，不僅可以讓學生了解數學史，也可以吸引學生注意力，提高其學習極限概念的興趣。

應重視幾何直觀展示極限概念，比如通過課件展示講解我國古代數學家劉徽在求圓的周長時使用的“割圓術”方法，用課件動畫播放幾何多邊圖形運動方式，在這一過程中引導學生自主探索，通過內多邊形的周長不斷逼近圓的周長。在這一觀察過程中，可以使學生直觀地感受極限概念的魅力，體會極限中思想的精髓——逼近。這樣的導入比直接給出抽象的極限概念更利于學生接受，讓學生參與教學，自主探索整理出極限的概念，使學生對數學學習更有信心和興趣。

此外，還可以提出問題導入新課，引導學生從哲學的靜止和運動的辯證關系中，探索賦值運算和極限運算的區別和聯系，從而導出極限概念。比如，教師可以在開課時提出問題：“同學們，知道為什么現在學習的數學叫高等數學，而之前所學的數學叫初等數學嗎?”，通過提出問題迅速激發學生的好奇心，使其帶著問題思考。隨后，教師引導并告知學生不是在大學學習的數學都叫高等數學，而是因為研究函數的方法與中學時的數學發生了本質的變化，初等數學研究函數的方法是賦值運算，即已知自變量求對應的函數值，但這種函數研究方法無法探究非定義域內的點，亟需更全面的函數研究方法探究不在定義域內的點，即極限。高等數學中研究函數的方法“極限”，與初等數學的“賦值運算”相比，最大的不同就在于將靜止的等號改為了運動的趨近。這一將靜止改為運動的描述方式解決了初等數學的研究瓶頸——非定義域中的點的研究問題。因為趨近表示無限靠近但永遠不等于，這樣在初等數學中無法描述和研究的非定義域中的點也可以進行進一步描述和研究了。

1.2 通過直觀實例引出極限概念

在函數極限教學中，利用函數圖形或者生活中的實例引出概念，有利于激發學生的學習興趣。通過教師的引導幫助學生從對極限的感性認識上升到理性認識，從而達到建立極限這一新概念的目的。

圖的圖形

當引出極限概念后又可以通過具體函數圖形，從圖形上觀察自變量的變化對函數值變化的影響，讓學生學會當自變量按某種方式趨近時函數的極限值，即通過從一般到特殊，進一步幫助學生理解函數的極限概念。這種通過具體例子，先從特殊到一般再從一般到特殊的方式，符合人們的認知規律，更利于學生接受極限這樣的抽象概念。

1.3 整合教材內容，講好六種趨近方式

幾乎所有教材都分x→x0和x→∞兩種情況講解極限的概念。但從教學經驗發現，理解極限的關鍵是如何理解趨近方式，如對于醫學生來說無需掌握ε-δ，只需講解好x→∞、x→+∞、x→-∞、x→0、x→0+、x→0-這六種趨近方式，無需分別定義x→x0和x→∞兩種情況的極限，講好六種趨近方式就可以很好地幫助學生理解極限的概念。

需要注意的是，學生特別容易混淆x→∞和x→+∞，教師需要特別強調在沒有明確方向(即符號中沒有正負號時)的前提下即包含左右兩個方向同時趨近，若只是單側趨近，這之前一定會有正負號。先讓學生分清六種趨近方式，強調對趨近方式的理解，為后續講解左右極限、極限存在的充分必要條件奠定基礎。

1.4 運用任務驅動教學法講授極限概念

任務驅動教學法是利用建構主義學習理論進行教學的一種方法，它主要強調學生的自主學習和合作式學習。學生在不斷解決問題、完成任務中學習，從而培養學生獨立探索、勇于開拓進取的自學能力。基于此，以極限概念課程為例設計以下教學情境。

情境1：講授極限理論發展史，展示我國古代極限成果“割圓術”，提出微積分是一種數學思想，微分即無限細分，積分即無限求和。導入新課，引出本堂課的主題，激發學生的學習興趣。

情境2：教師提問，明確學生學習任務：A.“割圓術”中的“萬世不竭”體現了什么數學思想，結合課本思考什么是極限。B.思考無限和有限的關系，極限與微積分的關系，使學生帶著問題開啟本堂課的學習之旅。

情境3：由學生在課堂上分組自主學習，可以自行查找資料，教師及時補充和修正學生的解決方案，協助學生完成任務，使學生在學習過程中發現問題、解決問題。

情境4：學生對研究結果進行匯報，教師對學習效果進行評價，同時激發學生聯想，喚起學生的認知結構，進一步引導學生探究數學與哲學的關系，探索極限思想中蘊含的對立統一關系。

任務驅動教學法讓教師、任務、學生三者融合，雙邊互動，形成合力，在這一過程中教師是引導者，學生是學習主體，通過問題導向法可以最大程度地激發學生的學習熱情，提升學生的主觀能動性。教師可以根據學生的反饋及時提問，引導學生發現問題、解決問題，自主得出極限的概念，幫助學生深入理解極限的概念。

1.5 在極限概念中融入哲學思想

2016年，全國高校思想政治工作會議中，科學回答了高校培養什么樣的人、如何培養人以及為誰培養人這一根本問題，并指出要堅持把立德樹人作為中心環節，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現全程育人、全方位育人，從而提出了課程思政的教育理念，即將思想政治教育有機融入各類課程，把立德樹人作為教育的根本任務，讓各類課程與思政課程同向同行，形成合力，從而達到育人目標，由此可見課程思政的重要性，醫用高等數學課程也需努力探索課程思政的育人新途徑。

數學發展到了極致就是哲學，數學思想和方法本身就是辯證唯物主義的一種實踐形態。在教學中可充分利用數學知識對學生進行深刻且生動的辯證唯物主義方法論的教育。事實上，數學極限概念中蘊含著深刻的哲學思想。高等數學的核心內容是微積分，而微積分中存在許多對立統一關系，例如常量與變量、近似與精確、量變與質變、整體與局部、特殊與一般、有限與無限等，而這些矛盾根源就來自極限。當人們將研究函數的方法從賦值的靜止狀態改變為運動的趨近方式時，才引出了極限的概念，這里面蘊含著哲學中靜止與運動的關系，極限值的唯一確定性與極限過程的不確定性也是一對對立統一的關系。

例如，在講解極限概念時，應有機融入運動與靜止的關系。極限是運動的，研究的是自變量以某種趨勢變化時，函數值的變化情況。初等數學中，研究函數的方法賦值運算是靜止的，研究的是自變量賦予靜止的特定數值，根據函數的對應關系，可得出靜止的函數值情況。而運動和靜止是哲學中一對辯證統一的關系，利用辯證法講好極限概念，不僅能夠幫助學生深入理解極限的概念，同時也是辯證唯物主義法在數學中的具體體現。

此外，可以在授課中巧妙地將科學文化知識和人文知識相結合，從而對學生的思維方式、道德情感、人格塑造和價值取向等方面產生積極的影響。希望學生在學習了極限概念后，能夠明白人生理想就如同極限值，只要明確了目標，每天努力進步一點點，持之以恒才能不斷向理想靠近，這是學完極限概念后對學生的人生啟迪。

同時，可以在課堂中培養學生的科學精神，如求解極限計算時可以滲透求真務實、嚴謹治學的科學態度，要求學生在求解計算題時一定要遵循公式、法則進行，不能想當然，在數學解題訓練過程中潛移默化地培養學生求真務實、嚴謹客觀的科學精神。又如，在求解復雜問題時，有些學生容易放棄，此時教師應積極鼓勵學生，錘煉學生鍥而不舍、頑強拼搏的奮斗精神。再如，運用任務驅動法組織學生開展小組討論，培養學生具有民主、平等、合作的人文精神。數學訓練會使人養成一種堅定不移而又客觀公正的品格，形成較強的規則感并且自覺尊重規則，這對于醫學生來說尤為重要，可幫助其在未來的職業生涯中自覺并嚴格遵守規則和操作流程，使醫學生具備嚴于律己、一絲不茍、堅定不移、客觀公正的職業素養，從而達到通過數學教育提升職業素養的目的，進一步完善了育人目標，實現為國家育人、育才的目標。

2 結語

通過開展趣味化教學、直觀實例引出概念、整合教材內容、運用任務驅動教學法、融入哲學思想等方法，探討了講好極限概念的對策，恰當運用以上方法，不僅可以幫助教師講好極限概念，同時能夠提升學生的學習興趣，提高學習效果，通過有機融入思政教育，提升學生的職業素養，完善育人目標。