基于雙冪次趨近律的終端滑模舵機控制器設計

楊競楠，楊 峰，孟 琪，郭明坤，夏廣慶

（1.大連理工大學航空航天學院工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧大連 116024；2.大連理工大學航空航天學院遼寧省空天飛行器前沿技術重點實驗室，遼寧大連 116024；3.大連理工大學信息與通信工程學院，遼寧大連 116024）

0 引言

電動舵機的性能直接影響了相關飛行器的控制精度和動態品質。傳統的舵機控制方法主要有PID 控制、模糊PID 控制、神經網絡控制等，上述舵機控制方法雖然初步滿足了舵機控制的使用需求，但其收斂時間相對較長，對不確定擾動的抑制能力相對較弱。為了適應現代戰爭對飛行器更高控制品質的迫切需求，亟須進行快響應、強魯棒性舵機控制技術的研究。

樊澤明等和吳春等將魯棒控制方法應用于電動舵機控制，有效提高了電動舵機的魯棒性，但是結構復雜，保守性強。趙峰等在電動舵機控制中采用滑模變結構控制，蘇偉杰等將變指數趨近律滑模控制器與PID 控制器相結合設計組合控制器，2 種方法提高了電動舵機的抗干擾能力和魯棒性，但依靠線性滑模控制方法難以實現舵機系統的快速穩定。近年來，有限時間穩定理論日趨完善，相關方法具有收斂速度快、抗干擾能力強、魯棒性好等特點。終端滑模控制（TSMC）采用非線性滑模面代替傳統的線性滑模面，能保證系統狀態在有限時間內穩定。特別地，非奇異終端滑模（NSTSM）控制方法克服了奇異現象，且結構相對簡單，便于工程應用。本文將以NSTSM 方法為基礎，結合雙冪次趨近律（DPRL）進行舵機系統魯棒控制器的設計分析，其中DPRL 方法能夠保證系統狀態在固定時間內到達滑模面，從而更高效地利用NSTSM 方法的強魯棒性和有限時間收斂特性。

1 數學模型

電動舵機系統主要由舵機控制器、伺服電機、功率放大器、減速機構和位置傳感器構成，如圖1 所示。在不考慮電樞電感的情況下，可以用機電轉換方程、反電動勢方程、轉子電路電壓方程和機械方程來表示電動舵機的數學模型：

圖1 舵機系統結構Fig.1 Steering gear system structure

式中：為電機輸出扭矩；為鉸鏈力矩；為摩擦力矩；為慣性力矩；為轉矩常數；為電樞電流；為電機反電動勢；為感應電動勢系數；為電樞電壓；為電樞回路總電阻；為電樞回路總電感。

慣性力矩具體形式為

式中：為舵機系統實際輸出的舵偏角；為電機等效負載轉動慣量。

將式（2）代入式（1），得舵機系統的動力學模型：

舵機魯棒控制器的設計目標為：在不確定擾動影響下，系統的跟蹤誤差()、()能夠在有限時間內收斂到零，即存在有限時刻?+∞，當→時，有下式成立：

2 基于終端滑模的控制器設計

2.1 基于非奇異終端滑模控制的控制律

式（4）所示系統是典型的含有不確定擾動的二階系統，為了實現該系統的快速穩定控制，本文將結合NSTSM 和DPRL 進行控制器設計。首先，滑模變量設計如下：

式中：＞0 為設計常數；1 ＜＜2。

對上式求導可得

結合滑模動力學方程式（7），系統（4）的控制器設計如下：

式中：＞0；＞0；＞1；0 ＜＜1。

式中：()為等效控制項；()為趨近控制項；()為不連續控制項。

式中：為系統狀態變量()的上界值；為系統集總擾動項()的上界值。

2.2 李雅普諾夫穩定性證明

為了便于穩定性分析，給出如下定義。

考慮如下動態控制系統：

式中：()∈R；()∈R。

從任意初始狀態∈R出發，如果存在一個時刻，使得系統滿足：當≥時，()=0，那么這樣的系統叫做一致有限時間收斂到原點。如果系統的原點為一致有限時間穩定，且收斂時間有界，即存在＞0，使得≤，?∈R，則稱系統為固定時間收斂到原點。

對于系統（4）和NSTSM 滑模面（6），式（8）中的控制器將使得滑模變量在固定時間內收斂到滑模面上，同時實現被控系統（4）在有限時間內穩定。

證明：將分為兩步進行，首先分析滑模面的固定時間可達性，其次證明在NSTSM 滑模面上，系統狀態在有限時間內到達平衡點。

選取李雅普諾夫函數如下：

對式（14）求導，并將式（7）代入，可得

由文獻［18］中的定理13 可知，滑模變量將在固定時間內收斂到零，即系統軌線將在固定時間內收斂到滑模面上，收斂時間滿足

由第一步證明可知，存在＞0，當≥時，=0 成立，此時

由引理1 可證明系統到達平衡點的時間有限。定義李雅普諾夫函數如下：

根據式（17）對求導，有

式中：=2＞0；=(1/+1)/2 ＜1。

由文獻［18］中的定理12 可知，以時刻為起始點，系統狀態()將在有限時間內收斂到零，其中滿足當≥時，()=0，且

3 仿真分析

本文通過Simulink 工具箱搭建了電動舵機控制系統仿真模型，對上述控制方法進行數值仿真。電動舵機系統參數為：=0.021 5 V·s/rad，=0.021 4 N·m/A，=31.35 g·cm，=0.74 Ω，外部干 擾=0.1sin(π)+0.15sin(10)+0.05，仿真步長=0.001 s，仿真時間=10 s。控制器參數為：=3 000，=1.667，=200，=200，=1.47，=0.50，對于不同的輸入指令，的具體取值可根據仿真情況調整。為了減緩抖振現象，在滑模控制中往往采用雙曲函數替換不連續控制項中的符號函數，雙曲函數的形式如下：

式中：選取=0.1。

為驗證所設計控制律的有效性，將NSTSM 控制律與傳統PID 控制進行了對比。以方波信號和變頻率正弦信號作為舵機輸入指令對控制器進行仿真，仿真波形如圖2～圖5 所示。其中，方波信號的幅值為0.1 rad，周期為2 s，占空比為50%；變正弦信號的幅值為0.1 rad，初始頻率為1 Hz，終點頻率為5 Hz。

圖2 舵機響應Fig.2 Steering gear response

方波信號與變正弦信號下電動舵機的響應曲線如圖2 所示。由圖2（a）可知，當輸入指令為方波信號時，采用NSTSM 控制器的舵機系統的收斂時間為0.1 s 左右，并且與采用PID 控制器的舵機系統相比無超調。此外，由于采用了雙曲函數，系統的抖振得到了很好的抑制，位置跟蹤穩態基本無抖振。由圖2（b）可知，當輸入指令為變正弦信號時，采用NSTSM 控制器的舵機系統響應曲線幾乎與輸入指令重合，而采用PID 控制器的舵機系統雖然一開始也能準確跟蹤輸入指令，但隨著正弦信號頻率的加快跟蹤誤差越來越大。因此，無論是方波信號還是變正弦信號，NSTSM 都能快速準確地跟上輸入指令，實現預期控制目標，系統具有良好的快速性、魯棒性和穩態響應精度。

2 種信號下舵機系統滑模變量的仿真波形如圖3 所示。對于方波信號，在信號發生階躍變化時滑模變量具有較大變化但很快收斂至零，收斂時間為0.01 s，驗證了DPRL 的固定時間可達性。此外，由于運用雙曲函數取代符號函數，滑模變量的抖振現象得到了很好的抑制；對于變正弦信號，由于輸入指令每時每刻都在變化，因此滑模變量也在不斷變化。隨著正弦信號頻率的增加，滑模變量的變化頻率也越來越快。

圖3 滑模變量Fig.3 Sliding mode variable

2 種信號下電動舵機控制電壓和輸出轉矩的仿真波形如圖4、圖5 所示。從圖中可以看出，對于方波信號，在信號發生階躍變化時，兩種舵機系統的控制電壓和輸出轉矩都很快收斂至零。從局部放大圖中可以看出，雙曲函數對于抖振現象有很好的抑制作用；對于變正弦信號，隨著正弦信號頻率的增加，NSTSM 舵機系統的仿真曲線出現了“尖刺”現象，采用PID 控制器的舵機系統的仿真曲線呈變正弦狀，幅值變化較小，其仿真曲線的頻率和幅值隨著信號頻率的增加而逐漸增大。

圖4 電機控制電壓Fig.4 Motor control voltage

圖5 電機輸出轉矩Fig.5 Output torque of the motor

4 結束語

本文結合非奇異終端滑模和固定時間收斂思想，設計了一種基于雙冪次趨近律的全局非奇異終端滑模舵機控制器，該控制器克服了傳統控制方法收斂速度慢的不足，大幅度提高了電動舵機的響應速度和魯棒性，使系統具有一定的抗干擾能力，具有一定的工程應用價值。