機器人組裝超大型結構的姿-軌-柔耦合動力學仿真

王啟生，蔣建平，李慶軍，江國期，周鈴松

（中山大學航空航天學院，廣東廣州 563100）

0 引言

隨著航天科技的發展，世界各國都認識到空間組裝技術對未來航天器設計與建造模式的重要性，紛紛對空間組裝進行了大量的工程實踐、方案論證和學術研究。超大型航天器的結構尺寸達到數百米甚至數千米，包括空間太陽能電站、超大口徑衛星天線、人工重力場航天器等。受限于現有運載工具的運送能力，這些構造復雜、尺寸巨大的空間結構往往無法通過地面裝配、整體發射的方式升空。空間組裝技術成為建造超大型航天器的關鍵技術。

建立空間組裝過程的動力學模型，研究組裝過程航天器姿態與結構的動力學特性，是實現超大型航天器空間組裝的基礎。史紀鑫等針對大型復雜航天器組裝過程小變形情況，采用模態綜合法建立了非線性動力學模型，并通過動力學仿真驗證了其有效性。WANG 等研究了太陽能衛星在軌裝配過程中的分布式自適應振動控制，并通過控制單元和整個SPS結構之間的關系建立了控制單元的動態模型。榮吉利等采用自然坐標法與絕對節點坐標法對空間太陽能電站的剛性與柔性構件建立了動力學模型，研究了組裝時間、組裝機構的阻尼和剛度系數對組裝過程的影響。然而，上述研究聚焦于組裝過程的結構動力學問題，未涉及空間機器人的組裝控制。

利用空間機器人協助或替代宇航員在太空中執行超大型航天結構空間組裝、空間站的建造等操作，一方面可以確保良好的操作精確度，提高自主性和靈巧性；另一方面能夠克服在軌應用的經濟與技術障礙。文獻［6-7］推導了具有柔性附件的空間機器人系統的剛柔耦合動力學模型，基于動態耦合模型設計了閉環控制系統，空間機械臂在抑制結構振動的同時成功捕獲運動目標。CHEN等將柔性附件和剛性飛行器主體組成的柔性航天器合理地簡化為自由浮動的轂梁系統，針對組裝過程中航天器之間的碰撞以及撓性部件的振動問題，提出了一種復合控制方法。時月天等基于仿生理論，設計了一種適用于空間太陽能電站空間組裝的足型機器人，安裝過程中空間機器人可在薄膜和桁架之間自由爬行。張瀚博等針對復雜條件下空間桁架組裝具有局限性的問題，創新設計了一種適用于空間桁架空間組裝的空間機器人，提高了組裝效率。程靖等針對漂浮基空間雙臂機器人在軌服務時易于航天器發生碰撞的問題，建立了空間機器人捕捉大型航天器動力學方程，并研究了捕捉過程鎮定運動最優控制方法。朱安等設計了一種旋轉型串聯彈性執行器，有效避免了空間機器人捕捉衛星過程中關節之間相互碰撞沖擊。然而，上述研究并未考慮萬有引力梯度和姿-軌-柔耦合效應的影響。

機器人空間組裝超大型結構的動力學與控制涉及機器人多體系統動力學建模與軌跡規劃、大柔性結構剛柔耦合建模、航天器軌道和姿態動力學、自動控制，以及萬有引力及其梯度等空間環境多個學科領域，給精確動力學建模、耦合動力學分析、控制系統設計帶來極大困難。CAO 等針對OMEGA 空間太陽能電站圓形反射鏡支撐結構的組裝問題，通過傳統“車-橋耦合”模型研究了組裝過程的結構動力學響應。然而，上述研究并沒有考慮機器人的操控過程，也沒有考慮組裝過程的姿-軌-柔耦合效應。

綜上所述，超大型空間結構由于超大的尺寸和超低的固有頻率，在復雜空間環境和機器人操控干擾下會產生結構振動、姿態擺動、軌道漂移等復雜動力學行為，對機器人控制精度、控制執行機構、組裝精度等造成影響。然而，當前研究或是沒有考慮機器人對大柔性結構的控制，或是沒有考慮復雜空間環境和姿-軌-柔耦合效應，無法完全模擬機器人空間組裝超大型結構的過程。本文考慮萬有引力梯度力矩、結構的幾何非線性，建立組裝過程中主結構-空間機器人-待組裝結構的姿-軌-柔耦合動力學模型，通過機器人的軌跡規劃和軌跡跟蹤控制，實現超大型結構的組裝過程動力學仿真。與現有文獻不同的是，本文的動力學仿真能同時給出組裝過程的軌道動力學響應、姿態動力學響應、結構振動響應、機器人控制力矩與關節誤差、笛卡爾空間的組裝誤差等豐富的動力學響應，為組裝過程研究提供有價值的參考。

1 動力學建模

本章以主結構-空間機器人-待組裝結構組成的系統為研究對象，建立姿-軌-柔耦合的動力學方程。組裝系統如圖1 所示，其中1～7 為機械臂連桿，為機械臂關節點，點與點為機械臂末端抓取點。主結構和待組裝結構是空間太陽能電站的支撐桁架結構，在此簡化為歐拉-伯努利梁。由于結構尺寸較大，在組裝過程中可能出現較大的變形，所以采用絕對節點坐標法描述。相比而言，空間機器人的尺寸較小、剛度較大，因此將其簡化為多剛體系統，采用自然坐標法描述。組裝系統的質量和幾何參數見表1～表2。

圖1 空間組裝系統Fig.1 Space assembly system

表1 空間機器人的參數Tab.1 Parameters of the space robot

表2 結構參數Tab.2 Parameters of the structures

為了研究組裝過程中主要的動力學特性，在本文中作以下幾點假設：1）只研究系統在軌道平面的運動，從而大幅降低模型復雜度，節省動力學仿真時間；2）僅考慮萬有引力和引力梯度，忽略其他空間攝動力/力矩的影響；3）假設空間機器人已經實現了對主結構和待組裝結構的抓捕，只研究主結構和待組裝結構在空間機器人控制作用下相互靠近的過程，忽略關節柔性、摩擦等非線性因素。

空間機器人由7 個剛體構成，采用自然坐標法進行剛體的動力學建模。平面剛體的自然坐標法采用剛體上2 個點的位置矢量和固連于剛體上的單位矢量來描述剛體。本文選取的空間機器人廣義坐標為

式中：v為剛體上與軸線垂直的單位矢量，如圖2所示。

圖2 剛體AB 的自然坐標描述Fig.2 Natural coordinates of the rigid body AB

由于空間機器人只有9 個自由度，式（1）擁有30個廣義坐標，因此有21 個約束：

式中：r和r為剛體的左端點和右端點的位置矢量，例 如和分別 為r和r；為各 剛體的 長度。

式（2）也可以縮寫為

主結構和待組裝結構均采用絕對節點坐標法進行建模，采用一維二節點歐拉-伯努利梁單元進行離散。這種絕對節點坐標法單元具有2 個節點，每個節點具有4 個廣義坐標，因此單元具有8個廣義坐標：

廣義坐標中的元素具體定義為

式中：為單元內的局部坐標；為單元的長度。

對于主結構-空間機器人-待組裝結構組成的系統，廣義坐標為

式 中：q∈R和q∈R分別為主結構和待組裝結構的廣義坐標；n和n分別為和的單元數。

根據約束Hamilton 變分原理，系統的動力學方程為

式中：為質量矩陣；為廣義動量；為勢能；為廣義外力向量；為Lagrange 乘子。

系統的又可以表示為

式中：、、分別為機器人、主結構和待組裝結構的萬有引力勢能；和分別為主結構和待組裝結構的彈性勢能。

系統的質量矩陣可由機器人、主結構和待組裝結構的質量矩陣組裝而成。由于自然坐標法和絕對節點坐標法在現有文獻［18］中已有較多研究，本文主要給出自然坐標法和絕對節點坐標法的萬有引力及其梯度表達式。

基于微元法的思想，剛體或柔性體單元上任意一個質量元（位置矢量為）的萬有引力勢能為

因此，剛體或柔性體的萬有引力勢能可通過體積積分表示為

式（10）中的被積函數是非線性函數，無法直接獲得體積積分的解析表達式。為此，將被積函數在剛體或單元的質心處作二階Taylor 級數展開，得

整理得

式中：被積函數為位置矢量的二次函數，可分為3部分分別積分。第1 部分的被積函數是常數，體積積分是剛體或單元質量的表達式；第2 部分的被積函數是的線性函數，體積積分是剛體或單元質心的表達式；第3 部分是的二次型，體積積分可得到慣性矩陣的表達式。

由于式（12）保留了Taylor 展開的2 階項，所以最終的動力學方程中不僅包含剛體或柔性體單元的萬有引力，還包含萬有引力梯度。

為了描述空間機器人與主結構/待組裝結構之間的抓捕關系，本文將位置重合、相互垂直的抓捕關系等效為直線與扭轉的線性彈簧-阻尼系統，彈性系數取為10，阻尼系數取為10。

2 組裝過程的軌跡規劃

本章給出空間機器人的軌跡規劃和軌跡跟蹤控制方法，使主結構和待組裝結構相互靠近，直至對接。為了描述空間機器人的軌跡，建立局部坐標系，軸指向初始時刻點，姿態角為，如圖3 所示。組裝過程中坐標系的保持不變，而不總是指向點?！?、～為關節角度，為從軸到直線的角度。

圖3 空間機器人關節角度Fig.3 Joint angle of the space robot

對點在坐標系的軌跡進行規劃。點始終在軸上沿軸負方向運動，且和始終垂直于軸。為滿足初末時刻的相對速度和加速度要求，采用五次多項式對點的坐標進行如下規劃：

本文考慮初末時刻的相對速度和相對加速度均為0 的情形，則初末時刻的條件為

式中：為組裝末時刻。

將式（13）代入式（14）得

通過上述軌跡規劃已經得到點的軌跡，根據幾何關系可得到機械臂系統關節角度～的軌跡規劃曲線。

幾何關系包括3 方面：1）空間機器人在組裝過程中始終保持對稱構型；2）點的坐標x由式（13）計算；3）空間機器人的質心的坐標在組裝過程中保持不變（本文選為=6 m）。

于是有

式中：、、為機械臂2、3、4 的長度。

得到關節空間的軌跡后，采用PD 控制方法對軌跡進行跟蹤控制。

在本文的數值仿真中，假設安裝階段的時間為=300 s，給定x=18 m、=6 m，從而得到安裝階段的軌跡規劃結果，如圖4 所示（始終為0，、、分別與、、重合）。

圖4 空間機器人關節角度變化Fig.4 Variations of the joint angles θp（p=1，2，3，4，5，6，7）of the space robot

3 仿真分析

本章對空間組裝過程進行動力學仿真。為研究萬有引力與引力梯度對組裝過程的影響，數值仿真分為4 種情形，見表3。

表3 數值仿真的三種情形Tab.3 Three cases for the numerical simulations

情形2 和情形3 系統初始位于半徑為7 137 km的圓形軌道，軌道周期為6 000 s，組裝系統的初始姿態角分別為0°和45°。情形2 和情形3 考慮了萬有引力的影響，因此考慮了軌道-姿態-結構耦合效應。由于情形2 的姿態角為0°，所以基本上不受萬有引力梯度力矩的影響。作為對比，情形1 不考慮萬有引力、萬有引力梯度與軌道-姿態-結構耦合效應的影響，是現有文獻普遍采用的方式。3 種情形主結構與待組裝模塊初始未變形，仿真分析時間步長為0.001 s。

如圖5～圖6 所示，情形2 和情形3 由于沒有考慮軌道攝動的影響，系統的軌道離心率和長半軸的變化量非常小，符合軌道動力學特性，驗證了動力學仿真的有效性。由于情形1 沒有考慮軌道與姿態，所以不存在離心率與半長軸。

圖5 離心率變化Fig.5 Variations of the eccentricity e

圖6 長半軸變化Fig.6 Variations of the semi-major axis a

主結構和待組裝結構的姿態角變化曲線如圖7所示。由圖可知，情形1 的組裝過程由于沒有考慮萬有引力與引力梯度的影響，主結構與待組裝結構姿態角變化極小，最大值僅為(1.24×10)°。雖然情形2 選擇了穩定的姿態角0°進行組裝，但由于組裝過程整個組裝系統在繞地球轉動，因此組裝過程結構受柯氏力的影響，在姿態控制系統作用下仍然出現了(5.18×10)°的小幅姿態運動。情形3 的初始姿態角為45°，在萬有引力梯度和科氏力的共同影響下，姿態角出現了明顯的變化，達到了0.01°，對組裝精度造成顯著影響。

圖7 姿態角變化Fig.7 Variations of the attitude angle β

空間機器人關節角度誤差曲線和控制力矩曲線如圖8～圖9 所示。由圖可知，情形1 到情形3 的關節角度誤差依次增加，情形1 的關節角度誤差最大為(6.31×10)°，情形2 為(1.02×10)°，情形3為(1.21×10)°。在考慮萬有引力梯度與軌道-姿態-結構耦合效應以后，情形2 和情形3 的關節角度誤差不再像情形1 那樣呈現對稱變化。在控制力矩方面，由于不受萬有引力梯度和科氏力的影響，情形1 的空間機器人控制力矩最大值為29.0 N·m，且始終為0。在考慮萬有引力梯度與科氏力的影響后，情形2 的最大控制力矩為47.6 N·m，情形3 的最大控制力矩為57.7 N·m，且在空間組裝過程中，不同關節的控制力矩曲線隨時間的變化趨勢不同。由此可見，萬有引力梯度和科氏力對組裝過程控制力矩的影響非常大。

圖8 空間機器人關節角度誤差Fig.8 Joint angle error of the space robot eA

圖9 空間機器人控制力矩Fig.9 Control moment of the space robot M

點在坐標系的坐標，如圖10～圖11 所示。由圖可知，組裝過程主結構和待組裝結構在方向按軌跡規劃的五次函數平滑靠近，最終對接時相對速度幾乎為0，能較好地避免組裝過程的碰撞。對于點的坐標，本文在軌跡規劃時要求空間機器人質心在方向保持不變。由圖可知，情形1 的y變化量小于4.29×10m。對于情形2 和情形3，由于萬有引力梯度和軌道-姿態-結構耦合效應的作用，y的變化量分別為0.001 7 m 和0.004 4 m。由于y基本可以反映組裝精度，因此萬有引力梯度和軌道-姿態-結構耦合效應對組裝精度造成顯著影響。

圖10 點H 的x 坐標Fig.10 The x coordinates of Point H

圖11 點H 的y坐標Fig.11 The y coordinates of Point H

組裝過程主結構和待組裝結構的振動如圖12所示。由圖可知，情形1 組裝過程中的最大結構振動幅值僅為6.81×10m。對于情形2，雖然姿態角為0°，萬有引力梯度的影響可以忽略，科氏力仍然引起小幅結構振動，最大幅值為0.004 6 m。對于情形3，在萬有引力梯度和科氏力的影響下，結構振動為0.008 8 m。

圖12 組裝模塊結構振動Fig.12 Structural vibrations of the assembled modules

4 結束語

本文針對空間機器人組裝超大型結構的動力學與控制問題，基于自然坐標法和絕對節點坐標法，建立了主結構-空間機器人-待組裝結構復合系統的姿-軌-柔耦合動力學模型，研究了萬有引力梯度和姿-軌-柔耦合效應對組裝過程的影響。由于系統繞地球進行軌道運動，組裝過程會產生科氏力。通過數值仿真發現，對于超大型結構，萬有引力梯度和組裝過程的科氏力使空間機器人的控制力矩大幅增加，且對組裝精度產生顯著影響。因此，在超大型結構的組裝過程中，必須考慮萬有引力梯度等空間攝動和軌道-姿態-結構耦合效應的影響。