數學模型視角下的“正比例圖像”教學

顧麗英

【摘 要】在數學學習中，學生可以變得更加聰明，究其原因是數學學習可以引導學生在建模的視角下去觀察事物，這樣可以更加便于學生抓住事物的本質。這也是數學建模思想的建立在數學教學中的價值所在。本文以“正比例圖像”教學為例，借助操作讓學生在將實際問題抽象成數學模型的過程中進行解釋和應用。教學中，教師既要引導學生從“境”到“型”，又要引導學生從“型”到“境”，讓學生經歷真實的探究過程，在“境”和“型”之間實現自由轉換。

【關鍵詞】數學模型 圖像 教學

本文以蘇教版數學六年級下冊“正比例圖像”一課教學為例，在數學模型視角下，從不同角度創設情境，讓學生從感知平面坐標系模型到感受數的二維表達方式，再到感悟平面坐標系模型的形成過程，從中學會從數學的角度分析問題、解決問題，從而達到架構數學新知結構、提高數學思維能力的目的。

一、親歷畫圖，在由“數”到“型”的演繹中建立正比例圖像模型

學生的“已有經驗”在學生的認知過程中起著非常重要的作用。在教學中，教師要充分了解學生原有的生活經驗及數學知識基礎，要采取各種有效的手段喚醒學生已有的經驗儲備，并在這個基礎上引導學生建立數學模型。對于小學生來說，關于數學知識的學習大多數建立在已有生活經驗的基礎之上。在實際教學中，教師要善于捕捉學生的生活經驗中有利于學生學習新知的素材，然后以此為資源創設情境，讓學生自主學習。這樣，教師就能夠幫助學生順利建模。

小學階段，教材中對于“正比例”的概念是用具體的實例來進行描述的。其中蘊含了函數概念的兩個重要特征：第一，兩個變量是相互聯系的，一個變化時，另一個也隨之變化;第二，函數與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數的值也就唯一確定。因此，在“正比例圖像”一課的教學中，教師必須關注以下三點：（1）在一個變化的過程中，有兩個變量;（2）這兩個變量存在一定的關系;（3）這兩個變量存在單值對應關系。從學生的認知特點出發，教師可以選取典型的具體實例，再由數到形，帶領學生進行自主探索，引導歸納、概括等活動。

（一）運用生活實例情境，引導學生感受數的二維表達方式

師：同學們，看！“水漲船高”這個詞語你們見過嗎？誰愿意來分享一下你的理解？

生：水位升高，船只就會隨著抬高。這是生活中兩個相關聯的事物的實例。

師：其實，數學中也有這樣的例子，兩個相關聯的量，比如路程和時間，你能說說它們之間的關系嗎？

生：時間越長，路程就越長。

師：你能舉個例子嗎？

生：比如速度為每小時80千米的汽車，行駛1小時，路程是80千米;行駛2小時，路程是160千米;行駛3小時，路程是240千米……

[出示幾組路程與時間相對應的比，算出比值，引導學生觀察、比較，發現比值不變。

路程/時間=速度（一定），得出結論：行駛路程和時間成正比例關系]

生：比如購買單價為20元的筆記本，購買1本，總價是20元;購買2本，總價是40元;購買3本，總價是60元……

[舉例幾組相對應的總價與數量的比，求出比值，通過比較同樣可以發現，比值不變。

總價/數量=單價（一定），得出結論：總價和數量成正比例關系]

師（小結）：兩種相關聯的量，它們的比值一定，我們就說這兩種量成正比例關系。

（二）運用趣味故事情境，引導學生抽象平面坐標系模型

師：我們已經從“數”的角度（見表1）研究了正比例的意義，其實，我們還可以從“形”的角度來研究這個正比例關系。

師：我們知道，數學中的每一個數都可以在數軸上找到相對應的位置點。比如，在這條數軸上，我們可以這樣表示1、2、3、4、5、6、7、8小時。（見圖1）

師：那么，我們剛才研究的表格里每列里的兩個數能在這樣的數軸上用一個點來表示嗎？

生1：用一條數軸表示，似乎有點不清晰。

生2：我們能從兩個維度來思考嗎？好像有點難度。

師：著名的數學家笛卡兒小時候也遇到了這樣的難題，我們來看看他是怎么解決的：

有一天，笛卡兒生病在床，心中卻在思考著數學問題：如何把數和點聯系起來？突然看見屋頂角上有一只蜘蛛，拉著絲垂下來，一會兒工夫，又慢慢地順著絲，爬了上去，在上邊左右拉絲?？戳恕爸┲搿钡谋硌?，笛卡兒思路突然豁然開朗，能不能用兩面墻的交線來確定位置呢？于是，他畫了兩條互相垂直的數軸，并在這個區域畫上很多的交線，這就是笛卡兒的平面坐標系。（見圖2）

師：我們就可以用橫軸來表示“時間/時”，用縱軸來表示“路程/千米”。

生：在坐標圖中用一個點表示是兩個數量。

師：把表格里的所有對應的兩個數都用點表示出來。（見圖3）你發現了什么？

師：是的。每個點都是表示一組對應的數量，而且它們的比值都是80。

我們說，數學模型的建構不僅需要量的積累，還需要型的感悟。在以上的學習過程中，教師引導學生從一維到二維，從“算術知識”逐漸向“代數知識”的轉變，這是學生從理解“數量”到探索“關系”的明顯轉折點。從“數”到“型”的轉變，其實已經可以讓學生感受到從“靜態”到“動態”的轉變，為數學模型的構建奠定扎實的基礎。

二、比較分析，在“離散”到“連續”的遞進中理解正比例圖像的模型

師：同學們，這里的點如果連起來，想象一下，會怎樣？（見圖4）

（生畫一畫）

師：這些點都在一條直線上，我們來找這條直線上的任意一個點，你能來說說它表示的含義嗎？

師（小結）：我們從圖中可以發現，這些點都在這條直線上，而且，我們讀圖還可以發現：時間增加，路程也隨之增加，這個和表格中呈現出來的規律是一樣的。在這樣的圖上，我們既能看出每個點相對應的一組數據，又能看出時間與路程這兩個相關聯的量的變化是有規律的，更能感受到每一個點所對應的路程與時間的比值是固定不變的。所以，我們可以確認這是正比例圖像。

師：回顧一下我們是怎樣形成這幅正比例圖像的。

生：橫軸找點畫垂線，縱軸找點畫垂線，相交描點再連線。

師：在這幅正比例圖像中，除了能找到6組對應的數量，還能找到其他對應的數量嗎？比如，汽車1.5小時行駛了多少千米？你是怎么看出來的？

生：我先在橫軸上找到1.5小時的位置，再在直線上縱向找出所對應的點，并且從這個點出發，橫向找到縱軸上的對應點，是120千米。

師：那么280千米呢？（行駛280千米需要多少小時？）

生：可以先在縱軸上找到280千米，橫向找到直線上對應的點，然后從這個點出發，縱向找到橫軸上對應的點，是3.5小時。

師：還能這樣繼續找下去嗎？可以找到多少個？

生：無數個。

師（小結）：確實，這條直線上有無數個點，能找到無數組和它們相對應的數量以及他們之間的關系。

師：既然如此，你們能把下面兩張表格里的數量（見表2、表3）畫在下面坐標圖中（見圖5、圖6）嗎？

師：看了這兩張圖，你有什么發現？

生：前面表格中每一組數據圖的每一個數據對應的點都在一條直線上，后面表格中每組數據對應的點，不在一條直線上。

師：這說明什么？

生：前面表格中的路程和時間成正比例，后面表格中的路程和時間不成正比例。

師：你為什么這么說？他們不都是一個量在變化，另一個量也隨之變化嗎？

生：比值不一定。（計算，確認，見表4）

師（小結）：兩個相關聯的量，比值一定，對應的點在一條直線上，路程和時間成正比例;比值不一定，對應的點不在一條直線上，路程和時間不成正比例。

師：如何修改，這兩個量能成正比例。（見表5）

師：我們把三張正比例圖像合并在一起（見圖7），你又能發現什么？

生1：①號、②號、③號都是直線，行駛路程隨著時間變化而變化，而且行駛路程與時間相對應的比的比值是一定的，路程和時間都成正比例。

生2：三條直線，③號比①號平一些，②號比①號陡一些。

師：這是什么原因呢？

生：比值不同，其實就是速度不同，比值越大，速度越快，直線就越陡;比值越小，速度越慢，直線就越平。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，所謂數學模型，就是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征關系所形成的一種數學結構。模型思想和數形結合思想是用函數研究變化問題過程的共同思想，函數建模的實質是建立刻畫運動變化過程的數學模型。在這個環節中，教師通過笛卡兒的故事引出直角坐標系，讓學生感受像數學家那樣探究數學知識的過程，再通過引導學生描點，在坐標系中找每一組數對應的點，連點成線，讓學生形象地體驗到，在圖像模型中，我們不僅可以看到每一個點都表示一組對應的數量，而且因為每一組數量的比值是一定的，所以，所有的點都在一條直線上。隨著數學表象不斷豐富，學生便能夠開展自主探究，在這樣的探究過程中其數學建模思想也將得到發展。

三、讀圖應用，在由“型”到“數”的具象中深化正比例圖像模型

師：剛才，我們在坐標系中畫出了三組成正比例關系的量，并且知道了直線上每一個點都有一組路程和時間與其一一對應，那么，你能根據圖像，找出相對應的量嗎？

（學生找出后，互相核查）

師：這樣的直線除了可以表示路程與時間成正比例，你覺得還可以表示怎樣的兩個成正比例的量。

生1：總價與彩帶的米數。

生2：打字的總量與時間。

生3：朗讀的字數與時間。

生4：總價與足球的個數。

生5：總價與象棋的盒數。

師：請你選擇一組成正比例的量，并且列舉數據，在坐標系中畫出圖像。

（學生畫圖像，交流）

任何一個數學模型的建構都需要數學的語言符號的支撐。語言符號作為數學語言的表象符號，它本身就是人類理性思維的產物，間接性、抽象性、概括性等都是它的特點。當學生心中的正比例函數的圖像模型已經建立時，教師需要做的就是引導學生如何讀圖，如何用數學的語言來解讀正比例圖像模型。

通過畫正比例函數圖像，學生就可以看出圖上的每一個點都表示路程和時間的對應數量。教師進而啟發學生進行思考，符合這一變化規律的表示路程和時間的對應點一定在圖像上。所以，根據圖像，我們就可以估算任何一個時間對應的路程，或者根據路程就可以估算任何路程對應的時間。這樣，根據正比例圖像進行估算的實踐應用，可以引導學生進一步感悟在數量關系中自變量與因變量對應的思想。

學生透過圖像看到了成正比例的圖像的本質，并用語言表述。這是學生構建函數圖像模型過程中最高層次的理解。

綜上所述，數學建模不僅是一種數學學習方法和策略，還是一種數學學習思想。借助操作，教師可以讓學生在將實際問題抽象成數學模型的過程中，進行解釋與應用。教學中，教師一定要引導學生從“境”到“型”，再引導學生從“型”到“境”，在這樣真實的探究過程中，引導學生經歷“境”和“型”的自由轉換。