圓錐曲線中隱定點問題基本賞析

李杰

摘 要：本文從圓錐曲線中“隱定點”問題角度進行賞析，以看不見的“思維斷檔”——“隱定點”為例，歸類分析讓學生重視“隱定點”問題，學會看見數學問題的本質，將難解問題變得自然易解，從而提高學生的數學解題能力和核心素養.

關鍵詞：定點問題;隱定點;最值問題

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）10-0033-03

1 利用直接求根解“隱定點”定值問題

例1 平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x24+y23=1

的左、右頂點和右焦點分別為點A，B和F，直線l：x=my+t與橢圓C交于不同的兩點M，N，記直線AM，BM，BN的斜率分別為k1，k2，k3.

若k1=3k3，求△FMN的周長.

解析 已知x=my+t，x24+y23=1，消去x，得

（3m2+4）y2+6mty+3t2-12=0.

解得y1=-3mt+23（3m2+4-t2）3m2+4，

y2=-3mt-23（3m2+4-t2）3m2+4.

因為k1=3k3，所以y1x1+2=3y2x2-2.

即2my1y2+（3t+6）y2-（t-2）y1=0.

代入化簡，得

2m·3t2-123m2+4+（3t+6）·-3mt-23（3m2+4-t2）3m2+4-（t-2）·-3mt+23（3m2+4-t2）3m2+4=0.

化簡，得

-（8t+8）3（3m2+4-t2）=24m（t+1）.

故t+1=0或-3（3m2+4-t2）=3m.

解得t=-1或t=±2（過頂點，舍）.

故直線l過橢圓左焦點，△FMN的周長為4a=8.

在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、周長、面積等基本量和動點坐標或動線中的參變量無關，這類問題統稱為定值問題.本例從k1=3k3入手，看到不可見的直線過隱定點——左焦點，只有這樣三角形的周長才能是定值，否則兩個變量求定值，很難實現.

本例還可以推廣到一般性結論：

結論 已知橢圓左、右頂點分別為A，B，直線l：x=my+t與橢圓C交于不同的兩點M，N，直線AM，BM的斜率分別為k1，k2，則k1k2=a-ta+t.

2 利用韋達定理解“隱定點”最值問題

例2 設雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a，b>0）的右頂點為A，虛軸長為2，兩準線間的距離為263.

（1）求雙曲線C的方程;

（2）設動直線l與雙曲線C交于P，Q兩點，已知AP⊥AQ，設點A到動直線l的距離為d，求d的最大值.

解析 （1）由虛軸長為2，知b=22.

由兩準線間的距離為263，知a2c=63.

所以3a4=2c2=2（a2+b2）=2（a2+12）.

解得a2=1或a2=-13（舍）.

故雙曲線方程為x2-2y2=1.

（2）①若動直線l的斜率不存在，則設l：x=t，代入雙曲線方程可得

P（t，t2-12），

Q（t，-t2-12）.

由AP⊥AQ，可得

（t-1）2-t2-12=0.

解得t=3或t=1（舍）.

此時點A到l的距離為d=2.

②若動直線l的斜率存在，則可設P（x1，y1），Q（x2，y2），直線l：y=kx+t，代入雙曲線方程可得 （1-2k2）x2-4ktx-（2t2+1）=0.

則x1+x2=4kt1-2k2，x1x2=-2t2+11-2k2.

由AP⊥AQ，知（x1-1）（x2-1）+y1y2=0.

由y=kx+t可知

（x1-1）（x2-1）+（kx1+t）（kx2+t）=0.

化簡，得

（1+k2）x1x2+（kt-1）（x1+x2）+t2+1=0.

將x1+x2=4kt1-2k2，x1x2=-2t2+11-2k2代入，

化簡，得 （3k+t）（k+t）=0.

若k+t=0，則直線經過右頂點A，舍去;

故3k+t=0.

即直線經過定點M（3，0），則d

（2p+x0，-y0）.

當點為M1，2時，直線AB過定點（5，-2）.

所以MA·MB=AB·d，

AB=1+m2·16m2+16（2m+5），

d=4m+41+m2，

所以m+1·m2+2m+5=42.

所以（m+1）2[（m+1）2+4]=32.

解得（m+1）2=4或（m+1）2=-8（舍）.

所以m=1或m=-3.

本題是一道探究性問題，由解法2看出此題在設置的過程中是利用“隱定點”結論來倒置探究性問題，這個“隱定點”問題難度較大，需要學生積累大量經驗，同時還要有很強的數字感知能力.

4 利用定義法解“隱定點”定點問題

例4 已知橢圓C：x216+y212=1，左頂點為A，右焦點是F，點P是橢圓C上的點（異于左右頂點），M為線段PA的中點，過點M作直線PF的平行線l，延長PF交橢圓C于點Q，連接AQ交直線l于點B.

（1）求證：直線l過定點;

（2）是否存在定點D1，D2使得BD1+BD2為定值？若存在，求出點D1，D2坐標;若不存在，說明理由.

解析 （1）由題意知：

A（-4，0），F（2，0）.

設點P（x0，y0），則M（x0-42，y02）.

當x0≠2時，直線l的方程為

y-y02=y0x0-2（x-x0-42）.

即y=y0x0-2（x+1）.

當x0=2時，直線l的方程為x+1=0，直線l過定點D2（-1，0）.

（2）存在定點D1（-3，0），D2（-1，0）滿足題意.

由（1）得D2B=12FQ.

記橢圓C左焦點是F′（-2，0），

則AF′的中點為D1（-3，0）.

又點B為AQ的中點，得

D1B=12QF′.

所以D1B+D2B=12（F′Q+FQ）=4.

綜上存在定點D1（-3，0），D2（-1，0）滿足題意.

在數學學習上，我們不僅要看懂定理的證明，更要努力去思考當時這條定理是怎么被想出來的，最原始的思路是什么.只有這樣，我們才能面對像例4這樣問題時從被動地接受，變為主動地探索.

新課程數學課程標準中將傳統的“雙基”（基礎知識、基本技能）發展為“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗），這新增的基本思想和基本活動經驗，就是要引導我們在教學中關注那些潛在的、隱性的數學素養.基本活動經驗從本質上看是培養學生的一種數學直覺.基本思想中所說的抽象、推理和模型都是人的一般思維方式，它們對于人的影響遠遠超越數學學科.從人的長遠發展來看，這些遠比知識和技能本身更重要，意義更深遠.

參考文獻：

[1]

陳德燕.讓數學解題的思維過程更為理性——談數學理性思維的培養[J].福建中學數學，2016（10）：24-27.

[2] 錢軍先.例談稚化思維的教學策略[J].中學數學教學參考，2016（Z1）：38-42.

[責任編輯：李 璟]