概率論在實變函數(shù)教學中的應用

鄭前前，楊文杰

（許昌學院數(shù)理學院，河南 許昌 461000）

1 古典概型理論構建

本文通過概率論相關知識加深學生對測度相關知識的理解，進而利用測度解決一些概率問題。概率論發(fā)展初期主要的研究對象為古典概型，具有樣本空間有限性及發(fā)生等可能性特點，下面我們討論測度論在古典概型中的應用。

同理，隨機事件B發(fā)生的概率為：

根據(jù)以上理論，同樣可以得到

總結可得

進而此方法也可以推廣到有限交、有限并、條件概率等情況。

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此外，我們考慮更特殊的有限集、可數(shù)集及不可數(shù)集之間的概率問題，不妨設全集為實數(shù)集和為實數(shù)集R的子集且根據(jù)勒貝格測度可知這里假設的高階無窮小，那么事件在實數(shù)集R的概率為

例如，一盒子里裝有4 個小球，其中有3 個是白色小球，1 個黑色小球。從其中取球2 次，每次任取1 個。設事件A為“第1 次取到的是白球”，事件B為“第2 次取到的是黑球”。（1）作放回抽樣情況下，求事件A,B的概率，事件A,B同時發(fā)生的概率。（2）作不放回抽樣情況下求 。

解：（1）易知此題為古典概率問題，將球進行編號，1,2,3為白球。4 為黑球。

以上就是理論測度論解決古典概率的一般方法展示。

通過以上理論構造，我們發(fā)現(xiàn)在經(jīng)典概率問題中，一些概率運算可以通過本文提出的理論進行簡單運算，當然可能會使計算過程更為復雜，但本文的主要落腳點在于如何簡化或者更容易使學生理解測度的定義及意義。古典概型問題的樣本空間都是有限的，故其測度均為零。但零測度并不意味著集合為空，即概率為零時，事件并不一定不會發(fā)生或者存在。如此就可以把古典概型問題和其測度統(tǒng)一，兩者相輔相成，從而克服實變函數(shù)教學中的困難。加深學生對所學知識的理解。同時我們規(guī)定

這也說明了在有限集、可數(shù)集、不可數(shù)集之間鴻溝的不可跨越性，即有限個有限集的并還是有限集，可數(shù)個可數(shù)集的并集還是可數(shù)集，不可數(shù)個不可數(shù)集的并還是不可數(shù)集。另外隨機變量及其分布也可按照以上規(guī)則進行定義。

2 幾何概型理論建立

幾何概型的概率問題主要體現(xiàn)在測度的大小，同時測度往往不為零，其概率問題可以歸結為簡單函數(shù)的勒貝格積分，即一個隨機事件可以表示為

下面考慮非負簡單函數(shù) 勒貝格積分原理為

以上方法的引入也是幾何概型理論的推廣，黎曼積分無法積分的狄利克雷函數(shù)。在概率論中也是如此，所以幾何概型的積分也可以進一步推廣到勒貝格積分上。因為勒貝格積分都可以轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的積分，以下我們就以簡單函數(shù)為例說明勒貝格積分在概率中的應用。

令

通過以上例子可知勒貝格積分在幾何概型分布函數(shù)理論中也可以得到廣泛的應用，利用勒貝格積分函數(shù)和簡單函數(shù)之間的關系，然后通過簡單函數(shù)得到積分面積及其概率，總之在概率論中一些常見的概率問題都可以通過勒貝格積分進行解決，甚至更為簡單、方便。

3 總結

實變函數(shù)作為數(shù)學分析的后續(xù)拓展課程，其理論同樣適用于數(shù)學分析理論的應用領域。如概率論中幾何概型的概率、期望及方差的計算。都可以使用勒貝格積分進行計算。以上理論的建立為實變函數(shù)論的教學方式形象化提供了理論依據(jù)。同時也是勒貝格積分廣泛應用的一個經(jīng)典案例，為學生進一步深度理解實變函數(shù)提供了可能。