聯通融通變通，打造精準高效的復習課堂
——以“因數和倍數”整理與復習為例

江蘇省無錫市經開區東絳第二實驗學校 趙 紅

復習課是數學課堂教學的重要課型之一，而在日常教學活動中，教師往往更多地關注單元新授課的教學，對單元復習課或大單元的整理與復習課“敬而遠之”，題海式、講練式的復習課屢見不鮮，究其原因：復習課的教學設計對教師的教材把握能力和整合能力要求更高，教師需要引導學生將平時相互割裂的知識點再現、梳理、整合、歸納……使之系統化、體系化，并通過組織高效的教學活動，幫助學生加深對知識的理解與內化，積累解決問題的經驗方法，實現學生思維品質與學習能力的提升。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確提出：“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性……”數學是一門具有嚴密知識結構和邏輯體系的學科，每一個知識點都不是孤立存在的，而是處于一個聯通的整體體系之中。因此，教師在進行復習課教學時，首先，應對復習課進行整體的“頂層”設計，借助知識之間的整體脈絡結構，引領學生將碎片化的知識點串聯起來，構建知識體系；其次，以學生思維和能力的發展為統領，對復習內容進行全面系統設計，引導學生加強對數學方法的歸納總結，提煉學習策略，將數學思維進行融通；最后，通過具有針對性、綜合性和開放性的習題設計，幫助學生舉一反三，觸類旁通，提高其分析問題、解決問題的能力，發展數學核心素養。

一、精選素材，喚醒復習初認知

“因數和倍數”單元涉及的知識點較多：因數和倍數，質數和合數，公因數和公倍數，質因數和分解質因數……并且這些知識點之間的聯系比較隱蔽。而復習課的一大任務就是要將這些零散的知識點進行關聯，使學生形成知識體系，加深對概念的理解與認識。因此，本課伊始，教師出示“1、4、5、9、12、23、36、45、51、60”這10個數，讓學生用“因數和倍數”單元的相關知識來描述這些數。這10個數囊括了“因數和倍數”單元的相關知識點，學生可以多角度、靈活地選擇數字進行表達。如：1、5、9是奇數，4、12是偶數；1既不是質數，也不是合數；4和9是合數，5和23是質數；5和9是45的因數，5也是45的質因數；36是4和9的公倍數……溫故而知新，教師以10個數帶領學生回憶“因數和倍數”單元的相關知識，一些“點狀”的、熟悉的知識點逐漸在學生的腦海中一一浮現。

二、知識重組，梳理融通連體系

教學片段：

師：如果要把這10個數分一分類，同學們，你們想怎么分？

生：我想分成奇數和偶數。

師：按照這個同學的想法，我們一起來分一分，奇數有_____________ ，偶數有_____________ 。

師：把自然數分成奇數和偶數，分類的依據是什么？

生：按照是不是2的倍數來分，是2的倍數的數是偶數，不是2的倍數的數就是奇數。

師：你的思路很清晰。在研究了2的倍數以后，我們還研究了3、5的倍數特征。還記得它們的倍數特征嗎？

生1：個位上是0或5的數，就是5的倍數。個位上如果是0的話，那么這個數既是2的倍數又是5的倍數。

生2：判斷一個數是否是3的倍數，不可以只看個位上的數，要把各個數位上的數相加，看和是不是3的倍數。

師：同學們對于倍數的特征掌握得真不錯！剛才我們按照是不是2的倍數把這10個數分成了奇數和偶數，還可以怎么分類？

生：按照因數的個數，我把它們分為了質數、合數和1。

師：為什么分為這三類？

生：因為質數的因數只有1和它本身兩個因數；合數除了1和它本身以外還有其他的因數，至少有3個因數；而1最特殊，它的因數只有一個，就是1。

師：是呀，根據因數的個數也可以將自然數進行分類。這10個數中，哪些是質數，哪些是合數呢？和同桌比一比，看看誰找得又快又準確。

師：把這10個數進行分類，同學們從不同的角度進行聯想，從因數的角度思考，想到了可以把它們分為質數、合數和1；從倍數的角度研究，又想到了奇數和偶數，繼而聯想到2、3、5的倍數特征。那么，關于因數和倍數，我們還要復習什么知識點呢？

生1：我覺得還要去找一個數的因數和倍數。

生2：還找公因數和公倍數、最大公因數和最小公倍數。

生3：還有質因數，把一個合數進行分解質因數。

師：是的！給一個自然數，就可以找到它的因數和倍數；給兩個自然數，又可以找它們的公因數和公倍數。接下來，請同學們從這10個數中任意挑選一個數，列舉出它的因數和倍數；再任意挑選兩個數，用你喜歡的方法找一找它們的公因數和公倍數，以及最大公因數和最小公倍數。開始吧！

（學生自主活動。）

在本單元，“因數”和“倍數”是兩個關鍵概念，由它們可以衍生出一系列子概念和方法。教師以“點”帶“面”，以問題驅動引領學生自主梳理，通過讓學生將這10個自然數分一分類，由不同的分類依據，引出奇數和偶數、質數、合數和1。接著，從奇數與偶數的分類回溯到2的倍數特征，接著聯想到3和5的倍數特征，補充完善倍數這一分支的相關知識點。從質數、合數出發，學生又可以聯想到質因數與分解質因數，實現小型知識體系的構建，至此，學生腦海中的“因數和倍數”單元知識點的脈絡結構已初具雛形。接著，教師啟發學生：“關于因數和倍數，我們還要復習什么知識點呢？”從而回歸到本單元的關鍵概念——因數和倍數，引發學生深入挖掘知識點之間的內在關聯：因數與倍數有什么聯系？一個數的因數和倍數有什么特征？什么是公因數和公倍數？怎樣找到兩個數的公因數和公倍數，以及最大公因數和最小公倍數……在這樣的教學過程中，教師引導學生主動將零散的知識點穿成串、結成網，從而打破各個概念間的孤立性，在縱橫關聯、聯通融通中把握數學概念，理清概念之間的關系脈絡，深化理解，形成對“因數和倍數”單元的整體把握。（如下圖）

三、梯度練習，問題解決拓思維

教學片段：

出示對比練習題組：

（1）如果把25塊水果糖和30塊奶糖分別平均分給一個組的同學，可以正好分完，那么這個小組最多有多少人？

（2）有一包糖果，如果7塊7塊地數正好數完，5塊5塊地數也正好數完，這包糖果有多少塊？

師：這樣兩道藏在糖果情境中的數學題目，你能解決嗎？先和同桌說一說，一起分析分析。

生1：第（1）小題把兩種糖果平均分給一個組的同學，如果正好分完，說明這個組的人數應該既能被25整除，也能被30整除，既是25的因數又是30的因數，也就是25和30的公因數。

生2：我要補充，問題中有“最多”兩個字，那么應該是要求這個數是25和30的最大公因數。

師：第一個同學說得很有條理，如果能思考全面就更好了！第（2）小題，你們知道這包糖有多少塊嗎？

生1：第（2）小題這個糖果的個數，應該既是7的倍數又是5的倍數，就是找7和5的公倍數，7和5是互質關系，這包糖果有35塊。

生2：我不同意，35是最小公倍數，但題目中沒有說最少有多少塊，答案不唯一，只要是7和5的公倍數都可以。

師：你真棒！思考得非常全面，正確分析問題才能有效解決問題。糖果店老板友情提示：這包糖果分給我們班同學的話，每人一塊肯定是夠的，但如果每人兩塊就不夠了。現在你們知道這包糖有多少塊了嗎？

生1：我們班42個人，每人一塊就是42塊糖，應該要大于42。每人兩塊糖的話一共要84塊，但比84塊少才行，那就是在42和84之間的一個數。

生2：7和5的最小公倍數是35，每人一塊都不夠。下一個公倍數是70，每人一塊夠了，每人兩塊還不夠，這包糖可能有70塊。

師：你們的推理能力讓老師驚嘆，為你們點贊！那如果不夠正好分完呢，有沒有信心繼續挑戰？在小組內交流，互相說說想法。

出示變式練習題：有一包糖果，7塊7塊地數還多4塊，5塊5塊地數又少3塊，這包糖果至少有多少塊？

生1：我們組是通過畫圖來表示的，第一幅圖是7個正方形為一組圈一圈，最后一組只有4個正方形。第二幅圖是5個正方形為一組，最后一組只畫了2個正方形。發現兩幅圖的最后一組和前面相比，都少了3個正方形。

生2：我們組是直接寫數字，777……4，555……2，最后的數字都是比前面數字少3。

生3：如果能夠正好分完就是7和5的最小公倍數35，但是最后一組都是少了3塊，所以只有32塊糖。

上面幾道練習題的設計，從學生熟悉的生活場景出發，以學生的整體發展為目標，具有層次性、綜合性、探索性，滿足了不同層次學生的學習需求，使學生的思維得到不同程度的拓展與延伸。在解決實際問題中，題中要求的是公因數還是公倍數，對于概念不清晰的同學來說難以分辨，通過第一組對比題，幫助學生加深對兩個概念的理解與辨析。在第（2）小題中又對公倍數和最小公倍數進行辨析，深化理解概念。在練習中加強變式，由糖果數量的不確定性到唯一性，由正好分完到有剩余或缺少，引導學生對比辨析、主動推理，思維含量逐漸加深，但仍處于學生的最近發展區，這樣具有挑戰性的練習題更能激發學生的探究熱情。在練習環節，通過加強變式融通，使學生能夠更加全面、深刻地理解最大公因數和最小公倍數，在厘清概念本質的基礎上進行實際運用，學生分析問題和解決問題的能力得到提升，體會到了數學的應用價值，催生了高階思維。

在“因數和倍數”的整理與復習課中，教師緊緊圍繞10個數展開復習教學，使學生對因數、倍數的相關知識進行回顧再現、鞏固深化，學生頭腦中的知識從零散走向系統，從點狀走向結構，提高了復習實效。通過層層遞進的練習設計，學生在掌握知識技能與方法的同時，學會了用數學的眼光看待問題、用數學的思維思考問題，提高了思維的靈活性和變通性，提升了數學核心素養。