極限思想在教學中的漸進理解

河北正定師范高等專科學校 楊曉然 賈小玲

在數學 的發展 過程 中，極限 的概 念有著舉足輕重的地位。這決定了在數學教學中，極限的教 學必須 要深 入淺出 。極 限是高中數學與大學數學的銜接部分。透徹理解極限，對于 大學微 積分的學習 也起到 了至關重要的作 用。 因此，極 限的 學習與 教學顯得尤為重要。

一、極限思想發展與演變

極限的思想早在古代就已萌生。古希臘數學家阿基米 德“窮 解法”求拋 物 弓 形的面 積，構造 了一系列 三角形 ，使 它 們 的面積和不斷接近拋物弓形的面積。中國古代數學家劉徽 （公元 3 世紀）“割圓術”利用圓內接正n邊形邊數n無限增大，則正多邊形面積無限接近于圓的面積。這些都是極限最初的形式。

十 九 世紀法 國 數 學家柯 西 從 定 性 的角度比較完 整地說 明 了 極限概 念 及 其理論。之后，德國數學家維爾斯特拉斯給出了極限的定量定義。

了解極限思想的發展史，可以使學生在理解極限 時更有 興 趣 ，也更 有 數 學根據。只有這樣才能使極限更好地融入學生的心理。

二、極限 概念和 高等 數學中 微積 分學的關系

數學是 一門基 礎學 科 ，它的 基礎性 與應用廣泛性是任何學科所無法比擬的。一切的自然科學 ，各個 經濟生 活領 域都有 數學留下的足跡 ，因此 可以說 數學 是學科 界的“學科先 驅”。運用 數學 思想，數 學方 法思考和解決問 題，不僅 可以 培養人 們科 學的世界觀，而且 可以使 人們 在解決 任何 實際問題時具備嚴謹的科學態度。如果把整個高等數學 看作 一個人 體，那 么極限 是高等數學中微積分的主動脈。導數與微分可以看到定義 的新 運算，這 種運算 類似 小學所 學 的 加 減 法 和 乘 除 法 中 互 為 逆 運 算 一樣。導數和 微分 也應該 有逆 運算，可 以說“ 不 定 積 分 ”與“ 定 積 分 ”是 導 數 的 兩 種 不同的逆運算。導 數、微 分、不定 積分 、定積分這四個概 念雖然 各不 相同，但 它們 存在著極其密切 的 關系 ，即它們 的概 念中都 貫穿了極限概念。

三、極限思想的教學演變

在新課程改革 （人教 A 版 2007 與人教 A 版 2017 數學課本） 中都將微積分放在了高中數學課程的重要位置上，并且在內容上都體現出了極限思想這一數學思想，說明了極限思想在高中數學教學中的重要性。本文從極限的概念出發，闡述極限教學中學生的學與教師的教的難點與重點并結合高中數學與大學數學的理解差異，比較兩者教學差異，讓學生能更好地理解極限的思想。

四、學生學習現狀分析

在 2007 年 新課 程改革 中， 之 前 很 多傳 統 上 在 高 校 數 學 課 堂 中 講 解 的 內 容 也成為了高中 數學的 重點 。比如 ：極限 ，導數 ，定 積 分 等 。 實 際 上 ，由 于 高 考 指 揮 棒中，要求學生必須會應用這些知識。但是，是否能夠真正 理解 ，這有待 考究 ？由于 高中應試教育背 景下 ，學生對 于應 用導數 來解 決 單 調 性 ，極 值 ，最 值 ，零 點 ，不 等 式 等問題比較熟練 。但是 學生 對于極 限，導 數等的概念的理解卻深淺不一。

實際上，這 樣的教 學會 使學生 產生 很多誤區。學生對于初等數學與高等數學在思維方法，研究 內容的 側重點 的差 異認識不夠。盡管學生們對于極限部分有一定的基 礎 ， 但 是 這 種 基 礎 能 起 到 什 么 樣 的 作用？這些都是 有待對 學生 的了解 和分 析 。倘若學生思維認 識不 到位 ，問 題可 能就會想不明白。如果 沒有 清晰和 明確 的認知 ，就不會去直觀地 理解 ，更別說 用數學 精確語言去描述極限概念了。

種種問 題與 困惑交 織在 一起，使 得學生對極限的學習比較迷茫。感覺自己好像學過，但是 好像 又 沒有 學過 。 學習 中表現出來的是：一方 面，感 覺已經 懂了 ，不屑于聽 ；另 一 方 面 ，接 觸 高 等 數 學 中 極 限 定 義之后發現 自己又 一無 所知，顛 覆了 之 前對于極限的所 有認 識，感覺 像天 書一樣 難以理解。在高 等數 學的教 學實 踐中，往 往會發現學生有 上述 兩種表 現。 因此，需 要引導學生端正 學習態度，走 出認識 和學 習誤區就顯得尤其重要了。

五、揭示本質屬性，加深理解

對高等數學中微積分的極限概念的理解，從數列極限，函數極限（x→+ ∞,x→x0）的順序進行教學，并要 對三種 極限 在概念方面進行差異的比較。

1 .數列極限。

（1）直觀描述——定性定義。

如果數列{an}的項數n無限增大 時，其一般項{an}無限接近于某個確定的常數a，則稱a為數列{an}的極限，或稱數列{an}收斂于a，記作

數列{an}的極限為a的幾何解釋：

數列 {an} 中的項對應數軸上無數個點，點an與a接近的程度可以用它們之間的距離 |an-a|來衡量an無限接近于a，就意味著距離 |an-a|可以任意小.

（2）精確定義——定量定義。

若對任給的正數 ε（不論它多么小），總存在正整數N，使得當n＞N時有 |an-a|＜ε，

則稱數列{an}收斂于a，記作

ε-N定義：N+，當n＞N時，有 |an-a|＜ε.

關于 ε-N定義，從以下理解：

①ε 的任意性。盡管 ε 有其任意性，但一經給出，就被暫時確定下來了，以便依靠它來求出N。又 ε 是任意小的正數，因此定義中 ε 的可以用等來代替。

②N的相應性。一般說，定義中的正整數N是一個與 ε 密切相關的項數，與N相對應的項是an。因此，常把N寫作N（ε），來強調N是依賴于 ε 的。但是，這種依賴關系，也不意味著N是由 ε 所唯一決定的。這里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小。

從 幾 何 意 義 上 看 ，“ 當n＞N時 ，有|an-a|＜ε.”表示點an與a之間的距離可以為任意小的正數 ε，它可以是 0.1 、0.01 、0.001 或更小。但不管多么小，數列{an}與a的距離 |an-a|，當n→∞ 時，總比 ε 還小，因而an與a可以任意接近。也就是說，在U（a；ε）之外，數列{an}中的項至多只有N個（有限個）。

通過直觀定義 與精 確定義 ，可以 使得學 生 們 對 于 數 列 極 限 概 念 的 理 解 更 加 深刻。初等數學研究 的是 固定的 ，靜態 下量與量之間的數量關 系。 然而，高 等數學 研究 的 是 量 與 量 在 運 動 變 化 過 程 中 的 數 量關系，這是初等 數學 與高等 數學 的根本 差異。因此，學生們由高中到大學的過渡，需要一個過程與時間。如果學生們有清楚與明確地認識到量與量之間的“運動”。在以后的高等數學 的學 習中，可 能相 對會容 易些。這就要求學生們應該從思維認識上要突破從有限過 渡到 無限，學 會并 習慣使 用數學語言描述 問題，使 得學 生的 思 維變 得更加嚴密。

基 于 以 上 學 生 們 可 能 在 初 入 大 學 時存在的問題，在教學中有哪些應對措施呢？一方面通過有 趣的 例子提 高學 生 認識 ，另一方面還是要幫助學生理清極限概念出現的內在邏輯過程，把握極限概念本質，引導學生能用以上的精確定義來描述極限。

找N可能出現兩種情況：

①如果n＞N（ε），則即為所求。

②如果 |xn-a|＜ε 較繁瑣時，可適當放大。如 何放大 ？可 以 放 大 為 如 下 形 式 ：|xn-a|＜g（n）。只要有，放大就是適當的！

由此可見，極限 的證 明步驟 幾乎是 模板化的格式。以下就是證明的格式模板：

證：對?ε＞0，要使 |xn-a|＜ε.

……這里是解 |xn-a|＜ε 的過程，得結果n＞ 某個數 （關于 ε 的表達式）；或當|xn-a|＜ε 比較繁瑣不易解得，則在這里將|xn-a|作適當的放大，使 |xn-a|＜g（n），然后從g（n）＜ε 中解得n＞ 某個數。

取N= 某個數 （關于 ε 的表達式）或N= max{[某個數（關于 ε 的表達式）]，N0}，

則當n＞N時，有 |xn-a|＜ε 成立，

歸納出數列極 限的 一般證 明方 法，這樣學生可能未必能夠理解。但是，學生可以先模仿，在做題過程中可以邊做邊理解。最起碼學生能夠去做，可以有法可循。這樣可以慢慢培養學生的興趣。先做，再慢慢理解。數學也是一個理解和消化的過程。這樣從定性理解，到定量計算。全方位的去理解，可以使得學生能夠更好地接受。

“ 好 的 開 始 ，是 成 功 的 一 半 ”，數 列 極限 的 充 分 理 解 可 以 幫 助 學 生 更 好 地 理 解函數極限。

2.函數的極限。

（1）當x→+ ∞ 時，函數f（x）的極限。

①直觀描述—定性定義。

當x→+ ∞ 時，函數f（x）的極限：

此種情況與數列類似，不同之處在于n→+ ∞ 是整序變量（n只取 1、2、3、……）等離散的正整數點變到 + ∞。而x→+ ∞時，函數f（x）的極限，自變量x可以沿x軸的正方向，負方向連續地無限增大，正因為如此，此處的N不一定要求必是正整數，僅要求N是正數即可。如（圖1）當無限增大時的變化趨勢。自然引出：當x→+ ∞ 時，y→0；

圖1

當x→-∞ 時，y→0.

定性定義：設函數f（x）在x＞M（M＞0）處有定義，當x無限增大（x→+ ∞）時，對于f（x）的函數值無限接近于確定數值A，則稱A為函數f（x）在x→+ ∞ 時的極限，

②精確定義—定量定義。

定量定義 ε—M：

設函數f（x）為定義在[a，+ ∞）上的函數，A為定數。若對任給的 ε＞0，存在正數M（≥a），使 得 當x＞M時 有 |f（x）-A|＜ε，則稱函數f（x）當x→+ ∞ 時以A為極限，

當x→+∞ 時函數f（x）以A為極限意味著：A的任意小鄰域內必含有f（x）在+ ∞ 的某個鄰域內的全部函數值。

定義的幾何意義如圖 2：對任給的ε＞0，在坐標平面上平行于x軸的兩條直線y=A+ε 與y=A- ε，圍成以直線y=A為中心線、寬為 2ε 的帶狀區域。

圖2

例1證明

證：任給 ε＞0，取

則當x＞M時有

以下就是證明的格式模板：

證：對?ε＞0，要使 |f（x）-A|＜ε.

……這里是解 |f（x）-A|＜ε 的過程，得結果M＞ 某個數（關于 ε 的表達式）；或當|f（x）-A|＜ε 比較繁瑣不易解得，則在這里將 |f（x）-A|作適當的放大，使|f（x）-A|＜g（x），然后從g（x）＜ε 中解得x＞ 某個數。

取x= 某個數 （關于 ε 的表達式），則當x＞M時，有 |f（x）-A|＜ε 成立，

高 中 數學中 給 出 的是函 數 定 性 的 定義，只是有助于理解極限定義就可以。而在大學數學中尤其是微積分中，不僅要求理解定性定義，定量定義也可以說是微積分的“頂梁柱”。只有更加深入地理解極限ε—M，才 能 更 好 地 理 解 導 數 ，微 分 ，級 數等更深入的微積分數學。

（2）當x→x0時，函數f（x）的極限。

對函數極限而言，自變量的變化過程有很多方式。在這里僅以x→x0為例。

①直觀描述—定性定義。

設函數f（x）在點x0的某個空心鄰域內有定義，A為定數。如果當自變量x→x0時對應的函數值f（x）無限接近于A，則稱A為函數f（x）當x→x0時 的 極 限 ，記作：

②精確定義一定量定義。

定量定義 ε- δ：

定義：設函數f（x）在點x0的某個空心鄰域U°（x0；δ′）內有定義，A為定數。

若對任給的 ε＞0，存在正數 δ（＜δ′），使得當 0＜|x-x0|＜δ 時有 |f（x）-A|＜ε，

則稱函數f（x）當x趨于x0時以A為極限，記作或（fx）→A。

在理解定義中，學生們的疑問有兩個方面：

第一方面：定義中“函數f（x）在點x0的某個空心鄰域有定義”強調的是函數f（x）在點x0的附近有定義即可，而在點x0是否有定義并不影響考察函數在該點的極限。

例2分別求f（x）=x+2 與f（x）=時的極限。

通過此例，使得學生們能夠更加深入地理解“空心鄰域”的意義。

第二方面：x→x0函數值f（x）無限接近于A，表示無論x是從x0左側趨向于x0，還是從x0右側趨向于x0，f（x），都無限接近于同一個數值A。

3.綜合分析函數極限的兩種。

函數極限中的 ε—M（圖 3）定義中，是尋找M，使得當 |x|＞M時，使得f（x）的值都落在區域D1與D2內。與函數極限的ε- δ（圖 4）定義中，是尋找 δ，當 0＜|x-x0|＜δ時，使得f（x）的值都落在某個區域內。

圖3

圖4

極限的 ε-N與 ε- δ 定義，雖然精確但是并未給出求極限的方法，只能用以證明某數是否為極限。證明極限問題，還是需要逐步引導。即使學生覺得理解起來困難 ，還是要 鼓勵學生 ，先 在例題 的 基 礎上給出類似的變式，證明過程也是類比的過程。這里也是運用了數學思想方法中的類比思想。給予學生鼓勵，隨著高等數學學習 的進一步深入，連續函數 、導 數、積分、無窮級數等等概念的引入，在逐步完整的實數理 論體 系 中，引 導 學 生更加 深 入 理解、體會極限思想。