單變量廣義系統的能觀規范型

李 瑩，龔成博

（吉林師范大學 數學學院，長春130000）

0 引言

1960年卡爾曼［1］提出能觀性這一控制理論中的基本概念.通常在分析或者綜合一個控制系統時，都要判定該系統是否具有能觀性.對多變量廣義系統能控規范型和能觀規范型的問題，眾多學者結合控制理論對單輸入單輸出系統做出研究，例如，王永超等［2］完善了多變量廣義系統的能觀規范型問題；任夏楠等［3］闡述了非奇異變換矩陣與Luenberger能觀規范型的關系，提出了將Luenberger能觀規范型按照結構差異劃分為廣義和狹義兩種規范型的觀點，并且給出了完全能觀線性MIMO 系統的Luenberger能觀規范型實現的充要條件；王治銘等［4］對不同的規范型及辨識方法進行了統一的研究，最后得出了結構辨識與采用哪一種規范型是無關的結論；江寧強等［5］證明了在完全能控的情況下，用Luenberger 能控規范型方法進行極點配置有一定的局限性等等.但是在以上的研究中均未考慮單變量廣義系統能觀規范型問題.因此，本文以單輸入單輸出的正則廣義系統為研究對象，利用受限等價變換的方法將廣義系統分為快子系統和慢子系統兩部分，然后給出快子系統和慢子系統能觀的條件以及兩個等價命題，并且得出單變量廣義系統的能觀規范型.

1 預備知識

對于正則的廣義系統

其中：x(t)∈Rn,u(t)∈Rn和y(t)∈Rn分別為狀態、輸入和輸出向量，對狀態向量x(t)求導，記為x?(t)；E，A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rl×n為定常矩陣；E為奇異矩陣，且假定degdet(sE-A)=r.

首先，系統(A,B)能觀的充要條件為rank[C/CA/…CAn-1]=n.考慮單輸入單輸出的正則廣義系統（1）且rank(E)=q≤n.

如果

則稱式（2）為單變量廣義系統（1）的能觀規范型，其中a0等于1或0.

其次，對廣義系統（1）進行線性非奇異變換xˉ(t)=Q-1x(t)，可以得到

當矩陣對(E,A)正則時，總存在可逆實矩陣P和Q，使得

其中：N∈R(n-r)×(n-r)是冪零矩陣.

進而得到

這種分解通常稱為快慢子系統分解，又稱為第一種受限等價形式.

引理 對于廣義系統（1），下述結論成立：

（3）下面兩個命題等價：（a）廣義系統（1）是能觀的；（b）它的快子系統和慢子系統都是能觀的.

2 主要結果

定理 廣義系統（1）能觀的充要條件是廣義系統（1）受限等價于廣義能觀規范型（2）.

且

由引理知廣義系統（1）是能觀的.

如果rank(E)=n，則a0= 1，否則a0= 0.則有

其中：g，p是行向量；g1是常數；A1是(n- 1 )×(n- 1 )階矩陣［6］.

由初等變換可知，存在可逆矩陣P4和Q4，使得

3 結論

本文利用受限等價變換的方法將正則的廣義系統分為快子系統和慢子系統兩部分，在受限等價變換的基礎上，通過引理來判斷快子系統和慢子系統的能觀性，并對整個系統是否能觀加以判斷，進而推導出單變量廣義系統的能觀規范型.