分類討論思想在“相交線”概念教學中的應用

黃華

[摘 ?要] 分類討論常用于較復雜的數學概念、運算、動點或圖形不確定等情況的分析，它能有效簡化問題，降低難度，文章以“相交線”概念教學為例，闡述分類討論思想在概念教學中的應用策略：創設情境，初步感知分類思想;合作交流，切實體會分類過程;適當練習，形成分類討論思想.

[關鍵詞] 分類討論;概念教學;合作交流

分類討論是指將復雜的問題分割成幾個基礎性的小問題，再逐個突破的思想策略，常用于較復雜的數學概念、運算、動點或圖形不確定等情況的分析. 它需有確定的分類對象，按照統一的標準進行分類，做到不重復、不遺漏. 將分類討論思想應用于數學概念教學中，能有效地簡化概念的難度.

“相交線”章節涉及較多關于角的位置關系的概念，因位置關系多而導致了概念數量也很多，學生一不小心就會出現概念的混淆. 為了幫助學生在學習初始階段就能厘清各個概念之間的關系，避免后期因概念不清而在幾何證明中漏洞百出，筆者特將教學內容與分類討論相結合.

創設情境，初步感知分類思想

教學應關注學生對知識的理解程度，讓學生感知知識與知識間存在的內在聯系. 概念作為每個知識點的起點與基礎，在教學中具有無可替代的重要作用. 在概念教學的初始階段，創設豐富的情境可讓學生在心理上對概念產生共鳴，讓學生在知識與生活的交互中感知概念的形成與發展過程.

對于一些復雜的概念，我們可在情境中設置相應的分類點，讓學生在探索中自主發現分類的標準，并將自身的生活經驗、記憶與思維凝聚到一起，增進對概念的理解. 如“相交線”涉及的概念教學，可創設以下情境進行課堂導入.

教師結合剪刀、鐘表指針、夾鉗等常見的生活物品創設情境，讓學生從中抽象出兩根直線相交的基本模型.

師：觀察圖1，你們看到什么？

生1：看到公路、高架橋等呈交叉的關系.

師：現在我們一起將圖中標注了AB與CD的兩根直線畫出來. 根據圖1抽象而來的圖像見圖2.

師：觀察圖2，你們能看到幾個角？

生2：4個角.

師：若兩兩分組，一共可組成幾組？

生3：六組.

師：如果將這六組角分類，可用什么標準分？（小組合作討論）

生4：有相鄰的和相對的兩種分類方式.

師：不錯. 分類后角與角之間的度數是否有什么特別的地方？

生5：處于相對位置上的兩個角的邊在一條直線上，互為反向延長線，同時它們的頂點與角度大小都一樣;處于相鄰位置上的兩個角有一條公共邊，還有一條邊是互為反向延長線的關系. 它們擁有共同的頂點，且兩角度數相加為180°.

師：非常好！這就是我們今天所要認識的鄰補角和對頂角. 如表1，是兩直線相交的分類討論情況及角與角之間的位置關系.

師：根據表1可知，對頂角是相等的關系. 那么，我們怎么能確定它們相等呢？有沒有辦法加以證明？

生6：如圖2，已知∠AOC+∠COB=180°，∠COB+∠BOD=180°，所以∠AOC=∠BOD，同理可證得∠AOD=∠COB.

師生有效互動，激發了學生對“相交線”的學習興趣. 學生在教師逐層遞進的引導下通過自主討論，獲得六組角的分類標準分別有相鄰的與相對的兩種. 在這兩類角的觀察中，逐漸獲得相應的概念. 由此可見，分類討論思想在概念形成的初始階段就具有開拓學生思維的作用，教師可多加引導，幫助學生快速獲得概念的內涵與相應的數學思想.

合作交流，切實體會分類過程

為了強化學生對概念的認識，可選擇小組合作的方式鼓勵學生在交流中共同完成學習任務. 當相交線為三根時，會出現更多的角，這些角之間具有怎樣的關系，該如何分類進行討論是合作交流的主題. 為此，課堂呈現出以下教學片段.

首先向學生介紹截線和被截線的定義，為接下來的教學做好鋪墊.

師：大家對兩根線組成的四個角的關系已經有了一定的認識，現在我們在兩條線的基礎上再添加一條直線，大家來數一數有幾根線、幾個角.

生7：如圖3，有a，b，c三根直線，這些直線相交后得到8個角.

師：剛剛我們已經探究過有公共頂點的兩個角的關系（對角與鄰角），現在將沒有共同頂點的角進行兩兩分配，可組成多少組？（學生合作交流，得到有16組的結論）

師：那我們來逐組進行分析，先看看∠1和∠5，這兩個角之間的位置關系是怎樣的？

生8：∠1和∠5都在截線的同一側，且在被截線的同一個方向.

師：很好！那現在請大家將不同組別的角與截線的關系填到一個表格內.

（學生設計并填寫表格，結論見表2.）

師：現在請各小組討論，分別描述每組角（兩個角為一組）之間的位置關系，并分類.

（學生合作學習，教師引導.）

結論：根據角與角之間的位置關系，分別獲得同內角、同同角、同外角、異內角、異同角和異外角六種.

師：本節課我們學習其中的三種，即同內角、異內角和同同角. 我們分別給它們起一個新的名字為：同旁內角、內錯角與同位角. 現在請大家仔細觀察這三種角，說說它們有沒有什么能讓人一眼就看出來的特征.

生9：同旁內角呈現一個U字形，內錯角則呈現出Z字形，而同位角在同一個方向，差不多是一個F形.

學生在合作交流過程中對角的位置關系逐個進行分類，并針對教師所提出的三類角進行研究，獲得了一定的成效. 尤其是用大寫的英文字母表示不同類型角之間的位置關系，這種方式簡潔而又深入人心. 合作過程中，組內每個成員都切實體會到了數學分類的方法與過程，這為培養學生的數學思想奠定了一定的基礎.

適當練習，形成分類討論思想

課堂練習可促進知識的形成與鞏固，概念學習也離不開練習的輔助. 為了幫助學生形成良好的數學思想，練習設計時需有針對性地添加相應的元素，讓學生在獨立思考中實施分類討論，以靈活思維深化對概念的理解，達到學以致用的目的.

課堂小練：

1. 如圖4，已知直線AB，CD，EF相交于點O，則∠AOC的對頂角是______，鄰補角是______.

2. 觀察圖5，其中∠1，∠2互為對頂角的有哪些？

3. 觀察圖6，∠2，∠3稱為_____角;∠2，∠4稱為_____角;∠2，∠5稱為_____角;∠2，∠6稱為_____角;∠2，∠8稱為_____角.

4.如圖7，直線AB，CD，EF相交于點O，已知∠1=30°，∠2=65°，則∠3為多少度？

學生在完成練習的過程中再一次感知直線相交所形成角的位置關系，1、2兩題著重考查學生對對頂角與鄰補角的理解程度，其中第1題中的第2問∠AOC的鄰補角有哪些，不少學生只寫了一個答案，而根據鄰補角的概念，符合條件的角應有兩個. 學生只有在深刻理解了鄰補角內涵的基礎上，才不會漏解.

3、4兩題主要考查學生對同旁內角、同位角與內錯角的認識程度. 第3題看似題量大，其實只要掌握每種角相應的位置關系，答題并不困難. 筆者要求學生根據自己探究、總結出來的用英文字母表示的相交線形狀進行判斷，準確率較高. 第4題則考查學生對知識的掌握與應用程度，練習賦予角明確的度數，學生根據角與角之間的位置關系與度數關系可求出答案.

這一組試題的設計，從學生的認知經驗與授課內容出發，學生在練習過程中深化了對各個概念的理解，并實現了舉一反三、靈活應用所學知識. 解題中，學生需將每一種角的位置關系進行觀察、梳理、分類討論，從而有效地促進了學生分類討論思想的形成.

總之，數學思想方法的培養并非一朝一夕就能完成的，它需要教師緊跟新課改的步伐，不斷更新教育理念，充分發揮學生的主體作用，讓課堂成為學生思維成長的階梯. 當然，更重要的是讓學生深度參與課堂教學的全過程，感悟用分類討論的方法學習的過程，為數學核心素養的提升奠定基礎.