從誤到悟：指向數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)策略探討
——以“三角函數(shù)”習(xí)題課為例

文∣陳姍姍

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》把數(shù)學(xué)運(yùn)算定為六大核心素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段。數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理，是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要性得到了廣大師生的高度認(rèn)可，但是落實(shí)不夠。盡管師生都知道運(yùn)算非常重要，但卻不愿意花時(shí)間和精力培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng)。主要原因不外乎兩方面：一是混淆運(yùn)算錯(cuò)誤的歸因，二是忽視從錯(cuò)誤中得到啟示。數(shù)學(xué)運(yùn)算尤其是三角函數(shù)，涉及公式多，運(yùn)算量大，學(xué)生常把精力放在記憶公式上，忽視對(duì)運(yùn)算的要求。本文以三角函數(shù)習(xí)題課為例，探究培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的教學(xué)策略。

一、誤的表現(xiàn)及原因

“誤”的歸因有很多，但不少學(xué)生習(xí)慣把運(yùn)算錯(cuò)誤歸為“失誤”，從而降低了對(duì)運(yùn)算的要求。學(xué)習(xí)本來(lái)就是一個(gè)不斷出錯(cuò)的過(guò)程，我們總是期待學(xué)生不要出錯(cuò)，這是不可能的。不回避錯(cuò)誤，善待錯(cuò)誤才能解決問(wèn)題，學(xué)生的錯(cuò)誤也是思維的一種體現(xiàn)。

(一)會(huì)而不對(duì)：運(yùn)算對(duì)象不明確

考試結(jié)束后學(xué)生常常感到很懊惱，會(huì)而不對(duì)；也有學(xué)生會(huì)輕視這個(gè)問(wèn)題，他們覺(jué)得這不是什么大問(wèn)題，下次注意就行了；還有的學(xué)生會(huì)把丟失的分加到自己的分?jǐn)?shù)中，認(rèn)為自己應(yīng)該考這么多分。這樣的僥幸心理會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中對(duì)運(yùn)算的不重視。學(xué)生可以如此，但是教師卻不能，教師應(yīng)該針對(duì)學(xué)生的每一個(gè)錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，引導(dǎo)其深刻的反思，“會(huì)”了什么，“不對(duì)”又是怎么造成的。例如已知同角三角函數(shù)sinα,cosα,tanα中的一個(gè)值求另外兩個(gè)值的問(wèn)題，該類問(wèn)題要根據(jù)角的范圍對(duì)三角函數(shù)的取值進(jìn)行判斷。但由于學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象理解不到位，會(huì)因不明確運(yùn)算對(duì)象的具體意義而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。準(zhǔn)確理解運(yùn)算對(duì)象是正確進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的必要條件，準(zhǔn)確理解運(yùn)算對(duì)象即學(xué)生通過(guò)閱讀、審題，厘清題目情境、設(shè)問(wèn)、條件與結(jié)論，正確表征題目的條件與結(jié)論，這是數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要環(huán)節(jié)，直接決定著數(shù)學(xué)運(yùn)算質(zhì)量的高低、效果的好壞，學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算中的錯(cuò)誤往往都是由此引起的。因此，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的第一步就是明確運(yùn)算對(duì)象。

大黃魚(yú)體色按照國(guó)際發(fā)光照明委員會(huì)CIE（CIE,1976）的規(guī)定測(cè)定，L*代表亮度值、a*代表紅色值、b*代表黃色值。使用CR-400型色彩色差計(jì)（柯尼卡-美能達(dá)，日本）于夜間20:00至24:00進(jìn)行測(cè)定，避免外源性光照對(duì)大黃魚(yú)體色的影響。每個(gè)網(wǎng)箱隨機(jī)取5尾魚(yú)，在背部和腹部皮膚分別選取2個(gè)點(diǎn)測(cè)定體色值，盡量保證檢測(cè)部位的一致性。

(二)對(duì)而不全：運(yùn)算法則不清晰

“對(duì)而不全”的現(xiàn)象比較嚴(yán)重，其主要原因是學(xué)生對(duì)知識(shí)一知半解，如概念模糊，公式記不全，定理不理解等。所有這些都會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算法則不清晰。

適當(dāng)提早播種。山地油菜應(yīng)在9月中、下旬播完，爭(zhēng)取冬前長(zhǎng)出較大的營(yíng)養(yǎng)體，使其扎根深、早封行，從而提高抗旱能力。

(三)全而不優(yōu)：運(yùn)算結(jié)果不嚴(yán)謹(jǐn)

二、悟的內(nèi)涵及策略

(一)悟本質(zhì)：追本溯源

理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)是深度學(xué)習(xí)的前提，而理解數(shù)學(xué)既不能僅靠教師的講解，也不能靠大量地做題，而是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的領(lǐng)悟。

按照管理和業(yè)務(wù)職能分開(kāi)的原則，同時(shí)結(jié)合人影業(yè)務(wù)五段式業(yè)務(wù)流程，調(diào)整了市級(jí)人影部門內(nèi)部機(jī)構(gòu)，市級(jí)人影部門分為人工影響天氣管理辦公室和人工影響天氣指揮中心，徹底結(jié)束了既當(dāng)裁判員又當(dāng)運(yùn)動(dòng)員的模式，完全實(shí)現(xiàn)管辦分離，提升了工作效率。市局人影中心分為：綜合保障股、業(yè)務(wù)管理股、預(yù)報(bào)與評(píng)估股、指揮調(diào)度股、飛機(jī)增雨股、飛行觀測(cè)股、科研管理股、空域請(qǐng)示股、緊急聯(lián)絡(luò)股等。

講解此類題時(shí)，并不是復(fù)述等式的性質(zhì)，而是追問(wèn)一句：為什么c≠0？從而找到問(wèn)題的本質(zhì)。

(二)悟方法：一題多解

對(duì)于同一道題，不同的學(xué)生會(huì)選擇不同的方法來(lái)解答，每個(gè)學(xué)生觀察問(wèn)題的差異和觀察問(wèn)題的角度不同，而且知識(shí)儲(chǔ)備不同。一題多解也恰好反映了不同知識(shí)點(diǎn)的魅力所在，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化，構(gòu)建有效的知識(shí)體系。

(三)悟規(guī)律：變式教學(xué)

欣竹走后，思雨就有些后悔，因?yàn)樗?dāng)時(shí)想向欣竹要一根頭發(fā)，然后把兩根頭發(fā)放在一起認(rèn)真地比較一下，看看究竟是不是欣竹的長(zhǎng)發(fā)。可當(dāng)時(shí)他沒(méi)有張開(kāi)口。他也的確不知道怎么張口向欣竹要一根頭發(fā)。思雨這么一想，竟然嚇了一跳，如果這根長(zhǎng)頭發(fā)真的是欣竹的，那不更加麻煩了？在妻子面前就真的是跳進(jìn)黃河洗不清了。但剛才看欣竹的頭發(fā)時(shí)，又的確覺(jué)得那根長(zhǎng)發(fā)絲跟欣竹的頭發(fā)一樣。那根長(zhǎng)發(fā)絲如果真的是欣竹的，又怎么會(huì)沾到自己的毛衣上呢？同欣竹根本就沒(méi)有過(guò)什么近距離的接觸。他跟欣竹就是上下級(jí)的嚴(yán)肅關(guān)系，連手都沒(méi)碰過(guò)。思雨覺(jué)得自己是越想越多了，應(yīng)該先把這根頭發(fā)搞清楚是誰(shuí)的再說(shuō)。找到了這根長(zhǎng)發(fā)絲的主人，其他的事以后再說(shuō)。

兩天后，他帶著絲縷的愧疚百分的底氣給辛娜打了一個(gè)電話，彼時(shí)，兩人緩解了冷戰(zhàn)級(jí)別，建立了對(duì)話平臺(tái)，此時(shí)，坐在沙發(fā)上百無(wú)聊賴的王樹(shù)林突然靈感激發(fā)，產(chǎn)生了某種原始的亢奮。他拿起手機(jī)，撥通了辛娜的電話，滿腦子是互信共建和共贏，滿肚子是點(diǎn)火掛擋和起步。他太想證明自己有按時(shí)下課的能力了。

變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教學(xué)方法，能有效培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，深受廣大教師的歡迎。但是如果不從變式教學(xué)中悟出規(guī)律，是達(dá)不到以點(diǎn)帶面效果的。

抗戰(zhàn)開(kāi)始以后，南京政府摒除社會(huì)力量，建立起統(tǒng)一的合作行政體系，將農(nóng)業(yè)合作事業(yè)置于政府控制之下，形成對(duì)農(nóng)業(yè)合作事業(yè)的強(qiáng)制性制度推進(jìn)。在強(qiáng)制性制度安排之下，中國(guó)農(nóng)業(yè)合作事業(yè)完全喪失發(fā)展的自主性，無(wú)論從發(fā)展模式、發(fā)展速度亦或業(yè)務(wù)經(jīng)營(yíng)等方面，均服從于政府的行政指令，農(nóng)業(yè)合作組織也被作為政府推行經(jīng)濟(jì)政策，維護(hù)政治統(tǒng)治的工具之一。在此背景之下，早期農(nóng)業(yè)合作事業(yè)的自助與互助性質(zhì)喪失殆盡。迄今為止，對(duì)抗戰(zhàn)以后農(nóng)業(yè)合作事業(yè)及合作金融問(wèn)題尚缺乏系統(tǒng)性研究，尤其是1946—1949年間的研究基本處于空白。通過(guò)探討政府壟斷模式下農(nóng)業(yè)合作金融的興衰變革，透視在強(qiáng)制性制度安排下，中國(guó)農(nóng)業(yè)合作事業(yè)的被動(dòng)發(fā)展歷程。

不少學(xué)生苦惱聽(tīng)得懂課而不會(huì)做題，而此問(wèn)題的根源是學(xué)生缺少“悟”。只有經(jīng)過(guò)“悟”的過(guò)程，數(shù)學(xué)知識(shí)才能從課本轉(zhuǎn)到自己的大腦，“悟”的過(guò)程也就是知識(shí)內(nèi)化的過(guò)程，對(duì)信息加工儲(chǔ)存的過(guò)程。教學(xué)過(guò)程中，教師要給學(xué)生“想”的空間，“悟” 的時(shí)間，“潤(rùn)”的氛圍，讓思悟數(shù)學(xué)落地生根。“悟”要如何做到？

變式3：已知sinα+sinβ+sinγ=0和cosα+cosβ+cosγ=0，則cos(α-β)的值是( )。

“不懂就問(wèn)”是很多家長(zhǎng)和教師給學(xué)生提的學(xué)習(xí)建議，但事實(shí)真的是這樣嗎？勤學(xué)好問(wèn)是好的，但“問(wèn)”能否代替“悟”呢？“悟”錯(cuò)誤就是重組大腦中的信息，對(duì)信息再加工的過(guò)程。因此，要誤中參悟、誤中頓悟、誤中省悟，以誤促學(xué)。

這幾道題均是人教版高中《數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)中的題目，把教材中的題目以變式教學(xué)的形式串講起來(lái)，真正做到用教材教，而不是教教材。通過(guò)變式的形式讓學(xué)生逐漸悟出和差公式逆用的規(guī)律，達(dá)到舉一反三的效果。

三、誤到悟的原則及反思

在電解相關(guān)的實(shí)際生產(chǎn)中,可以根據(jù)不同生產(chǎn)目標(biāo),綜合考慮以上各種情況來(lái)設(shè)計(jì)電解裝置。所以,遇到電解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,在分析電解過(guò)程中離子遷移情況時(shí)要結(jié)合題給信息,進(jìn)行綜合分析。

(一)誤中參悟：關(guān)注運(yùn)算對(duì)象的整體性

Alice (Bob)需要耗費(fèi)4比特的經(jīng)典信息將測(cè)量結(jié)果告知Bob(Alice)和Charlie,而Charlie需耗費(fèi)2比特經(jīng)典信息將測(cè)量結(jié)果告知Alice 和Bob,故本協(xié)議總的經(jīng)典信息耗費(fèi)為10比特。

(二)誤中頓悟：尋找數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性

數(shù)學(xué)是一個(gè)龐大的知識(shí)體系，所有的知識(shí)都不是碎片化的，而是有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，掌握了知識(shí)之間的聯(lián)系，才能形成穩(wěn)固的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。講題時(shí)不能就題講題，要能發(fā)散，也能歸類。

(三)誤中省悟：探究解題方法的共通性

學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)是學(xué)數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)知識(shí)隨著時(shí)間會(huì)被遺忘，但是數(shù)學(xué)思想則不會(huì)，所以數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透。通過(guò)不同的錯(cuò)誤分析，探究不同的數(shù)學(xué)思想。常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸。這些數(shù)學(xué)之間并不是獨(dú)立的，而是相通的。

總是有學(xué)生抱怨考試時(shí)間不夠用，其實(shí)運(yùn)算占了很大的原因，學(xué)生不習(xí)慣對(duì)運(yùn)算對(duì)象進(jìn)行分析，總是希望一看就會(huì)，但是往往是一做就錯(cuò)。“磨刀不誤砍柴工”，學(xué)生要舍得在分析運(yùn)算對(duì)象、設(shè)計(jì)運(yùn)算路徑上下功夫，很多題目從條件到結(jié)論之間很難看出它們之間的聯(lián)系，需要嘗試、試錯(cuò)，然后不斷地調(diào)整，在錯(cuò)誤中參悟、頓悟和省誤，才能逐漸走出誤區(qū)。