線性代數(shù)案例教學(xué)實(shí)踐與探索

楊立星 李玉霞

摘 要：本文從案例教學(xué)的角度探索線性代數(shù)課程的教學(xué)，通過(guò)引入與實(shí)際有關(guān)的案例，可以有效降低課程的抽象性和理論性，加強(qiáng)應(yīng)用性，引起學(xué)生學(xué)習(xí)本門(mén)課程的興趣，提高課程的教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù);案例教學(xué);行列式;矩陣;線性方程組

一、概述

線性代數(shù)課程是一門(mén)重要的公共基礎(chǔ)課程，為經(jīng)管類、理工類學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課程提供必要的知識(shí)儲(chǔ)備，也是各專業(yè)學(xué)生升學(xué)考試的考試科目，本門(mén)課程的重要性不言而喻。另一方面，和其他數(shù)學(xué)課程相比，本門(mén)課程在多數(shù)高校里面學(xué)時(shí)短、內(nèi)容抽象、理論性很強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)本門(mén)課程具有一定的難度。

通過(guò)引入有實(shí)際背景的案例或蘊(yùn)含課程思政元素的案例，可以有效地降低課程的抽象性，而且可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到課程的重要性，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力，達(dá)到“學(xué)以致用”“立德樹(shù)人”的目的。從而提高學(xué)習(xí)本門(mén)課程的興趣和學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，提高本門(mén)課程的教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

二、案例舉例

（一）案例1：線性方程組、克拉默法則的應(yīng)用

《九章算術(shù)》在公元一世紀(jì)左右成書(shū)，在書(shū)中第8章方程中提到線性方程組，并給出了求解方程組的方法。書(shū)中提到谷物稱重問(wèn)題：在已有的三種谷物中，如果第一種谷物的數(shù)量有3袋、第二種谷物的數(shù)量有2袋、第三種谷物的數(shù)量有1袋，以上三種谷物重量總計(jì)是39個(gè)重量單位;如果第一種谷物的數(shù)量有2袋、第二種谷物的數(shù)量有3袋、第三種谷物的數(shù)量有1袋，以上三種谷物總重量總計(jì)是34個(gè)重量單位;如果第一種谷物的數(shù)量有1袋、第二種谷物的數(shù)量有2袋、第三種谷物的數(shù)量有3袋，以上三種谷物總重量總計(jì)是26個(gè)重量單位。請(qǐng)問(wèn)，每種谷物一袋重量是多少？

解：三種谷物重量分別設(shè)為：x，y，z，則可建立線性方程組：

利用克拉默法則可解的：x=374，y=174，z=114。

通過(guò)這個(gè)案例，弘揚(yáng)了中國(guó)文化，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到我國(guó)文化的博大精深和先人的聰明智慧，增強(qiáng)了學(xué)生的民族自豪感和文化自信息、愛(ài)國(guó)情懷。

（二）案例2：行列式的應(yīng)用

（三）案例3：經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用案例

1.矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用：列昂惕夫投入產(chǎn)出模型

設(shè)經(jīng)濟(jì)體系由三個(gè)部門(mén)組成：制造業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)（下圖），單位消費(fèi)的向量矩陣（下表）：

如果制造業(yè)決定生產(chǎn)100單位產(chǎn)品，它將消費(fèi)多少？

計(jì)算：100C1=1000.500.200.10=502010，也就是表明，為生產(chǎn)100單位產(chǎn)品，制造業(yè)需要消費(fèi)制造業(yè)其他部門(mén)的50單位產(chǎn)品，20單位農(nóng)業(yè)產(chǎn)品，10單位服務(wù)業(yè)產(chǎn)品。

若制造業(yè)決定生產(chǎn)x1單位產(chǎn)出，則在生產(chǎn)過(guò)程中消費(fèi)掉的中間需求是x1C1，類似的，若x2，x3表示農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)的計(jì)劃產(chǎn)出，則x2C2，x3C3為他們的對(duì)應(yīng)中間需求，三個(gè)部門(mén)的總中間需求為：

78，即需要制造業(yè)約226單位，農(nóng)業(yè)119單位，服務(wù)業(yè)78單位。

2.某華為專賣(mài)店有四種型號(hào)的手機(jī)H、M、N、P

現(xiàn)知道第一季度三個(gè)月每一種型號(hào)手機(jī)的銷售量如下（單位：臺(tái)）：

通過(guò)上面矩陣的乘積可以看出一月、二月、三月該手機(jī)專賣(mài)店的銷售總額分別為731600元、790500元、711400元，銷售總利潤(rùn)分別為79300元、92400元、78500元。

（四）案例4：逆矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用

建立26個(gè)英文字母與數(shù)字之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：

通過(guò)這個(gè)矩陣，巧妙地引出“1921”“1949”兩個(gè)重要年份和兩個(gè)一百年，引出思政元素，增加學(xué)生對(duì)現(xiàn)在和平年代來(lái)之不易的認(rèn)識(shí)和當(dāng)下國(guó)家發(fā)展的自豪感。

（2）從馬克思主義哲學(xué)思想出發(fā)，挖掘思政元素。例如在講解矩陣和行列式的定義時(shí)，因?yàn)閷W(xué)生經(jīng)常將行列式和矩陣表示方法混淆，為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)兩個(gè)概念的本質(zhì)，行列式本質(zhì)上是一個(gè)“數(shù)”，而矩陣是一個(gè)“表格”，通過(guò)哲學(xué)概念“現(xiàn)象與本質(zhì)”加深對(duì)行列式與矩陣定義的認(rèn)識(shí)。又如，在講解矩陣的初等變換時(shí)，可以引入“變與不變”的哲學(xué)概念，對(duì)一個(gè)矩陣進(jìn)行初等行變換，矩陣雖然發(fā)生了變化，但是矩陣的秩、矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解均不發(fā)生變化。

結(jié)語(yǔ)

通過(guò)引入有實(shí)際背景的案例或蘊(yùn)含課程思政元素的案例，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到線性代數(shù)本門(mén)課程的廣泛應(yīng)用，通過(guò)實(shí)際案例，學(xué)生更容易地理解相應(yīng)的理論，提升了用理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，達(dá)到了課程育人的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]David C.Lay.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2017.

[2]羅增儒.行列式的簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1983（07）.

[3]楊立星.行列式的幾個(gè)應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（01）.

[4]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2017.

[5]李乃華，等.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2006.

[6]張猛，賈麗娜，于金倩，王芳.應(yīng)用型本科環(huán)境下線性代數(shù)課程教學(xué)改革探究[J].教育教學(xué)論壇，2017.

[7]何郁波，程婧嬌.高等代數(shù)案例教學(xué)中幾個(gè)教學(xué)案例的設(shè)計(jì)[J].高師理科學(xué)刊，2017.

[8]江蓉，王守中.矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用及其教學(xué)方法探討[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012（8）.

[9]狄勇婧.面向?qū)嶋H工程應(yīng)用的線性代數(shù)教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇，2017（26）.

基金項(xiàng)目：2021年度山東省青少年教育科學(xué)研究院，山東省教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目“應(yīng)用型高校《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程思政育人機(jī)制的探索與實(shí)踐”（21JG169）

作者簡(jiǎn)介：楊立星（1986— ），男，漢族，山東東平人，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)。