運用“合成與分解”思想巧解復雜的運動問題

姜葛 張云瑩

(北京市昌平區教師進修學校)

1 問題提出

“合成與分解”思想是高中物理中重要的思維方法.任何運動都可以分解為兩個分運動,如平拋運動可分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動;斜拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻變速直線運動;靜止也可以分解為兩個速度方向相反、大小相等的勻速直線運動.運動合成與分解遵循矢量的運算法則,即平行四邊形定則.運動的合成與分解本質上是描述運動的物理量,即位移、速度、加速度的合成與分解.利用合成與分解的觀點可以分析、解決物理中復雜的運動問題.

2 重力場中復雜的運動問題

在重力場中研究物體的運動是高中物理中常見的問題.在重力場中物體受到豎直方向的重力作用.

例1如圖1所示,一高度為h、內壁光滑的圓筒豎直放置,將一個小滑塊在圓筒上端O點以水平初速度v0沿圓筒內壁切線方向拋出.已知重力加速度為g,不計空氣阻力.

圖1

(1)求小滑塊從拋出到離開圓筒所用的時間t.

(2)如果沿虛線OO′將圓筒展開,以小滑塊初始位置為坐標原點O,初速度v0方向為x軸正方向,豎直向下為y軸正方向,建立直角坐標系xOy,如圖2所示.定性畫出小滑塊在圓筒內表面的運動軌跡.

圖2

解析

(1)小滑塊在圓筒內的運動可以分解為豎直方向和水平方向的兩個分運動.在豎直方向上,小滑塊在重力作用下做自由落體運動;在水平方向上,小滑塊在圓筒內壁支持力的作用下做速度大小為v0的勻速圓周運動.根據

(2)將圓筒展開,以小滑塊初始位置為坐標原點O,初速度v0方向為x軸正方向,豎直向下為y軸正方向,建立直角坐標系xOy.在x軸方向對應的是小滑塊沿圓筒切線方向的運動:速度大小為v0的勻速直線運動;在y軸方向對應的是小滑塊沿豎直方向的運動:自由落體運動.類比平拋運動,小滑塊在圓筒內表面的運動的軌跡為拋物線.設小滑塊在水平方向做圓周運動的周期為T.若t＝nT(n為整數,且n≥1),小滑塊在圓筒內表面的運動軌跡如圖3所示,小滑塊從O′離開圓筒.

圖3

若(n－1)T＜t＜nT(n為整數,且n≥1),小滑塊在圓筒內表面的運動軌跡如圖4所示,小滑塊從圓筒底邊離開(除O′以外),具體離開位置由t決定.

圖4

點評

本題情境為重力場中復雜的運動問題,運用“合成與分解”思想將復雜的運動分解為兩個熟悉的簡單分運動.小滑塊從拋出到離開圓筒所用的時間可由小滑塊豎直方向的分運動求得,通過分析小滑塊豎直方向的受力、加速度和初速度,再運用直線運動規律即可解決該問題.小滑塊在圓筒內表面的運動軌跡可以通過研究小滑塊豎直方向的分運動和沿圓筒切線方向的分運動獲得.

3 復合場中復雜的運動問題

由于電磁場和帶電粒子本身看不見、摸不著,對于初學者來說比較抽象,電磁場中的運動問題既是高中物理中的重點也是難點.電荷量為q的帶電粒子在電場強度為E的靜電場中,所受靜電力大小F＝Eq;如果q為正電荷,其受力方向與電場線(切向)方向一致.電荷量為q、速度為v的帶電粒子在磁感應強度為B的磁場中,所受洛倫茲力大小F＝Bqvsinθ,方向由左手定則判斷.

例2如圖5所示,在真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強電場.將一個質量為m、帶正電的小球從電場中某點以初速度v0豎直向上拋出.已知小球所受電場力與重力之比為.求小球從拋出到運動至最高點過程中電勢能的變化量ΔEp.

圖5

解析

小球從拋出到運動至最高點過程中,小球在豎直方向上只受重力,做豎直上拋運動.設小球從拋出點至最高點運動時間為t,則.小球在水平方向上只受電場力,做初速度為0的勻加速直線運動,加速度.在時間t內,其水平位移為

電勢能的變化量ΔEp＝－F電x,解得

點評

本題情境是帶電粒子在復合場(電場和重力場)中做復雜的曲線運動,直接求解困難.運用“合成與分解”思想,將這個復雜的曲線運動分解為兩個互相垂直的直線運動,化難為易,問題迎刃而解.

例3如圖6所示,在真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強磁場,磁感應強度大小為B.電子槍(圖中未畫出)發射出質量為m、電荷量為e的電子,經加速后以初速度v0射入磁場中,初速度方向與磁場方向夾角為θ.不計電子所受重力.求電子在垂直磁感線方向上運動一周的時間內,沿磁感線方向上運動的距離x.

圖6

解析

電子的運動可以分解為沿磁場方向和垂直磁場方向兩個分運動.在沿磁場方向上電子不受力,以速度v1＝v0cosθ做勻速直線運動;在垂直磁場方向上電子受到指向圓心的洛倫茲力,以速度v2＝v0sinθ做勻速圓周運動.洛倫茲力提供圓周運動的向心力,Bev2＝,周期T＝,電子在T時間內沿磁感線方向運動的距離x＝v1T,解得

點評

本題情境是帶電粒子在磁場中運動的一般情況,即帶電粒子進入磁場時,速度方向與磁場方向不垂直也不平行,帶電粒子(只受洛倫茲力)在磁場中做螺旋線運動.運用“合成與分解”思想將該運動分解為沿磁場方向的勻速直線運動和垂直磁場方向的勻速圓周運動,運用所學相關知識即可解決該問題.

例4如圖7所示,空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向里的勻強磁場及沿y軸負方向的勻強電場(電場未畫出).一帶電粒子在O點由靜止釋放,并開始計時.已知磁場的磁感應強度大小為B,電場的電場強度大小為E,帶電粒子的質量為m,電荷量為q(q＞0),重力不計.求:

圖7

(1)帶電粒子在運動過程中的最大速度;

(2)帶電粒子在x軸方向的速度vx隨時間t的變化關系.

解析

帶電粒子由靜止釋放,初速度可分解為沿x軸正方向的v1和沿x軸負方向的v2(v1＝v2),且v1對應的磁場力與電場力平衡,即Bqv1＝Eq,則v1＝v2＝.帶電粒子的運動可以分解為沿x軸正方向、速度大小為v1的勻速直線運動和在xOy平面、速度大小為v2、沿逆時針方向的勻速圓周運動.

圖8

點評

本題為復合場(磁場和電場)中復雜的運動問題,解決該問題依然是運用“運動的合成與分解”的方法,將該運動分解為x軸方向和y軸方向的分運動.通過分析分運動方向的受力、加速度和初速度,運用所學相關知識可求得相關物理量.

研究物質的運動是高中物理的重點內容,運動常用位移、速度、加速度等物理量來描述.在處理復雜的運動時,常常利用運動的合成與分解思想將復雜運動分解為幾個簡單的分運動,通過研究分運動的特征間接研究復雜運動.

(完)