巧解數學應用題 促應用能力提升

陸娟

[摘? 要] 提升高中學生的問題分析能力和數學應用能力是高中數學課肩負的一項重要使命. 為了更好地完成這個使命，需要廣大教師付出更多的精力和智慧. 文章以高中數學應用題為例，通過化歸轉化、數形結合、數學建模等形式將生活中的問題抽象為數學問題，進而在轉化過程中促進學生提升邏輯分析能力和數學知識運用能力.

[關鍵詞] 分析能力;應用能力;轉化

數學應用題往往與生活緊密相連，更能彰顯數學“學以致用”的真正價值，另外，其與其他題型相比，往往篇幅較長，更能考查學生的閱讀能力和建模能力，故在數學教學中應引起師生足夠的重視. 為了提升學生解決應用題的能力，在教學中應重視培養學生良好的閱讀習慣和分析能力，只有會閱讀懂分析，才能通過科學的建模使題目更加簡單化、直觀化和熟悉化，這對學生綜合素質的提升帶來了新的挑戰.

在素質教育的影響下，學生的數學應用能力有所提升，然長期受功利教育的影響，學生的大多時間不是上課就是刷題，生活經驗較少，對于生活中的數學往往關注較少. 因此在教學中，教師要多選取與學生緊密相連的問題進行滲透，讓學生在解題的同時領悟數學的真正價值，從而實現“以用促學”的目的. 基于此，為了讓學生在面對不同的生活問題時可高效地應用不同的解決策略，筆者結合教學實踐，談談幾點關于應用題的解答策略，供參考.

[?] 化歸轉化

數學應用題較其他題型的文字信息較多，然學生在數學學習時習慣于對數學符號、數學公式等簡單明了的數學語言的解讀，面對較多文字信息的干擾容易產生畏難情緒. 為此，在解決文字較多的數學應用題時，教師要引導學生找到問題的中心思想（關鍵詞），從而進行化歸轉化，逐層突破.

案例1 某公司因經濟效益下滑，為節省開支欲實施裁員. 若該公司共有2a名職工（140<2a<420），每人每年為公司創造的平均效益為b萬元. 實施裁員后，每裁1人，則每名留崗職工將為公司每年多創造0.01b萬元的效益，然實施裁員每年公司需支付給每名離崗職工0.4b萬元的補貼. 若保證留崗職工不少于總人數的前提下，你認為該如何設定裁員人數才能保障公司實現利益的最大化？

題目解析：從已知中可以發現，本題中有a，b兩個變量，將a，b從復雜的文字中提取出來并將其與已知建立聯系是解決本題的關鍵. 本題不妨設裁員x人，每年會獲得y萬元的經濟利益，則有y=（2a-x）（b+0.01bx）-0.4bx. 由此，將關鍵信息提取后，原問題就轉化為了學生熟悉的二次函數問題，解題思路更加清晰，問題更加熟悉、簡單.

本題是一個典型的數學應用問題，與生活息息相關，容易激發學生探究的熱情. 在解決問題時通過抓取關鍵詞將較復雜的邏輯關系用已知量和未知量表示出來，通過化歸轉化使問題更加清晰和簡單. 同時，解決此類問題時學生習慣于應用函數、方程或不等式，顯然本題應用函數較其他兩種方法有著明顯的優勢，因為函數圖像可以給學生提供更加直觀的信息. 另外，值得注意的是，學生在提取關鍵詞時應找好變量，利用好已知條件，圍繞關鍵詞進行建構，可有效地提高問題轉化效率和解題效率.

[?] 數形結合

數形結合在數學學習中有著較廣泛的應用，如求物體體積時常與立體幾何知識相結合，解決增長率問題時常與等差數列或等比數列相結合，求最值問題時常與不等式、函數等相關知識相結合，涉及路程計算時常與方程相結合，等等. 這樣在解決復雜、陌生的生活問題時，與熟悉的數學符合、數學圖形相結合，往往會獲得意外的驚喜.

案例2 某城區監測中心設置了A，B，C三個監測點來監測城市噪音（A監測點在正西，B監測點在正東，C監測點在正北），為做到及時追蹤及時監管，三個監測點將定時發送數據到監測中心. 某天上午10時左右三個監測點都監測到了汽車鳴笛聲，C站檢測員和A站監測員同時聽到了汽車鳴笛聲，而B站監測員延遲3 s后聽到了該鳴笛聲. 若已知A，B，C三個監測點與監測中心的距離均為1524米，聲音在空氣中的傳播速度為320 m/s，你能根據監測的數據判斷出鳴笛聲的具體地理位置嗎？

題目分析：本題文字內容較多，若直接求解不僅抽象而且較復雜，故需要進行轉化. 由已知分析可以將其轉化為雙曲線，故假設監測中心為坐標原點O，則A，B，C三個監測點的坐標分別為A（-1524，0），B（1524，0），C（0，1524）. 令鳴笛聲發出的位置的坐標為K（x，y）. 因為A，C兩個監測點同時監測到了鳴笛聲，所以KA=KC，所以K在AC的垂直平分線KO上，KO的方程為y=-x. 又B監測點在3秒后聽到了鳴笛聲，故KB-KA=960. 將復雜的文字內容轉化為了雙曲線后，已知條件變得一目了然，解決問題自然就水到渠成了.

[?] 數學建模

解答應用題時往往需要通過閱讀文本信息將實際問題進行提煉，進而抽象為具體的數學問題，通過對文本信息的再加工、再抽象建立起數學模型. 在此過程中，要善于抓住問題的核心和本質，進而將看得到、摸得著的生活問題轉化為抽象的數學知識，以此提升解決實際問題的能力. 數學建模在生活中有著廣泛的應用，而應用題又與生活緊密聯系，因此在解決應用題時應用數學建模往往會獲得柳暗花明的效果.

案例3 上午9：00，有12名旅客要趕往距賓館40 km的火車站乘火車，火車發車時間為12：15（火車發車前15分鐘將停止檢票），若步行的速度為4 km/h，顯然僅靠步行很難到達火車站. 現賓館提供了一輛5座小汽車，若汽車的速度為60 km/h，問：12名旅客是否可以按時趕上火車呢？

題目解析：該題目看似簡單，卻蘊含著復雜的信息，因為題目并未明確12名旅客如何搭乘汽車，因此在解決此應用題時需要通過假設來建立數學模型.

方案1：僅以汽車接送. 因為有12名旅客，所以汽車需要跑3趟，由已知可以分析出汽車總共需要行駛200 km，則所需時間為200÷60=>3，因此該方案顯然無法按時趕上火車.

方案2：步行+汽車.

第一趟：設汽車往返的時間為x h，則4x+60x=40×2，解得x=1.25（h）;

第二趟：設汽車往返的時間為y h，由于8名旅客步行了1.25 h，旅客的步行速度為4 km/h，此時8名旅客步行了5 km，所以4y+60y=35×2，解得y=≈1.09（h）.

第三趟：此時4名旅客又走了1.09 h，故距離火車站35-×4≈30.63（km），汽車行駛的時間為30.63÷60≈0.51（h）.

綜合而言，總共花費的時間大約為1.25+1.09+0.51=2.85（h）.

雖然方案2可以讓12名旅客按時趕上火車，但是時間較緊，在實際生活中往往可能會出現一些意外狀況，如遇上紅綠燈、堵車、上下汽車等都需要時間，因此需要嘗試更快的方案. 從方案2可以看出，第一趟和第二趟到達火車站的旅客有較長的時間是在等待的，若可以讓3批旅客同時到達火車站顯然可以節省較多的時間. 因限于篇幅，在此不進行細致的分析，筆者在設計方案3時引導學生采用數形結合，先將具體步驟圖形化，再將圖形代數化，采用列方程組的方式進行求解，最快可以在2.53 h后到達火車站.

可見，通過數學建模，分情況進行假設可以為問題的解決帶來多種可能和便利. 那么，為了保障數學建模的順利實施，筆者認為還應注意以下幾點：第一，會梳理. 雖然高中數學章節有著明顯的劃分，然其并非毫無聯系，數學各知識點之間往往存著千絲萬縷的聯系. 因此，教學時應放眼于整體和全局，將知識點有效進行串聯，樹立宏觀意識. 第二，會閱讀. 在教學中發現有些學生基礎知識較好，然在解決應用題時常常感覺吃力，出現此現象的原因主要是學生不會閱讀. 面對較多文字信息的干擾，若閱讀能力差，學生缺乏抽象概況能力，難以看清文字所要表達的數學知識和數學思想，故在數學建模時常常碰壁. 第三，會創新. 因思維方式不同，學生掌握知識的水平不同，其數學建模能力也不同，因此教學中，在培養學生數學建模能力時應引導學生多角度觀察、多方位思考，通過細心引導使學生從簡單模仿到大膽嘗試再到創新，逐步提高建模的準確性和高效性，進而提升解題能力.

總之，在數學教學中提升學生的應試能力固然重要，然若不能聯系生活實際，不能讓學生體驗數學的真正價值，學生在數學學習時往往會出現厭倦心理和消極情緒，這顯然不利于學生學習能力的提升. 因此教學中要利用好應用題，讓學生在解題中充分感受“學以致用”的樂趣，從而激發學習動機，提升學習興趣.