新高考背景下結構不良試題的教學實踐與反思

周炎

[摘? 要] 2020年新高考全國Ⅰ卷出現了結構不良試題，對教師和考生來講是一種全新的挑戰. 文章試結合高三一輪復習中結構不良試題微專題的教學實踐研究，談一談結構不良試題的功能及教學建議.

[關鍵詞] 結構不良試題;數學思維;情境

[?] 問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學教育要能促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展.對于這一課標精神，在近兩年的全國高考數學試卷中有了非常明顯的體現，其中2020年新高考山東卷第17題便引發了更多關注.

題目：在①ac=，②csinA=3，③c=b這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC，它的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA=·sinB，C=，________？（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

本題有如下幾個特點：①問題條件或數據部分缺失;②選擇不同，導致多種解決方法和途徑;③具有多種評價解決方法的標準. 這樣一種與以往有不同結構的試題，在認知心理學上稱為結構不良試題.它能夠有效考查學生多角度把握問題本質的能力，促進學生思維能力的發展，進而更好地發揮高考的選拔功能.

[?] 教學實踐

1. 情境導思，提出問題

用PPT呈現2020年高考山東模擬卷第17題和2020年新高考山東卷第17題.

提問：以上兩道試題與以往我們常做的試題有何不同，在結構上有何共同特征？

設計意圖：誘導學生進行比較，喚醒思維沖突，激發學習欲望，自然揭示課題.

2. 典例深思，建構數學

例1 （2020年高考山東模擬卷第17題）在①向量m=（sinωx，cos2ωx），n=

cosωx

，，ω>0，f（x）=m·n;②函數f（x）=sin（2ωx+φ）ω>0，φ

<的圖像向右平移個單位長度得到g（x）的圖像，g（x）的圖像關于原點對稱;③函數f（x）=cosωxsinωx

+-（ω>0）這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答.

問題：已知_________，函數f（x）的圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為.

（1）若0<θ<，且sinθ=，求f（θ）的值;

（2）求函數f（x）在[0，2π]上的單調遞減區間.

（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

例1由學生自行思考、完成解答，教師請學生代表上臺展示解答過程并對自己的選擇進行說明.對本題的作答情況統計如表1所示.

設計意圖：借助于例1初步收集學生對結構不良題的處理方法，明晰學生內心深處的真實想法. 通過展示，對各種選擇進行比較，如：條件①考查向量數量積及兩角和差公式，有一定的運算量;條件②考查三角函數圖像的平移變換及對稱性，運算量較小，但需對三角函數性質較熟悉;條件③考查升降冪公式及輔助角公式，運算量較大，需有扎實的基本功. 根據以上比較，形成共識，即在選擇前需初步判斷，再選擇自己擅長的、更有把握的及性價比高的條件.

3. 變式拓思，運用數學

變式1：在①cosA=，cosC=;②csinC=sinA+bsinB，B=60°;③c=2，cosA=三個條件中任選一個補充在下面問題中，并加以解答.

問題：已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=3，________，求△ABC的面積.

變式2：已知函數f（x）=Asin

ωx+

（A>0，ω>0）只能同時滿足下列三個條件中的兩個：①f（x）的最大值為2;②函數f（x）的圖像可由y=sin

x-

的圖像平移得到;③函數f（x）圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.請寫出這兩個條件的序號，并求出f（x）的解析式. （注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

設計意圖：（1）強化例1的研究成果，檢測學習效果;（2）由于例1雖是不同條件，但最終結果相同，為避免學生形成思維定式，給出變式1——不同條件不同結果;（3）結構不良試題不僅是“多選一”，還可能是“多選二”.進一步拓展學生的思維，更好地培養學生發現問題、解決問題的能力，提升學生應對創新挑戰和實踐的能力.

4. 鏈接高考，體驗數學

例2 2020年新高考山東卷第17題.

設計意圖：（1）高考題對學生來說是一種全真的體驗：體驗高考問題情境，明晰高考考查方向;（2）本題較之前的例題及變式題更靈活，若學生在選擇條件前能對問題中的已知條件先行分析，能達到事倍功半的效果.

對此題的作答情況統計如表2所示.

5. 歸納反思，理解數學

（1）本節課的知識框架：

設計意圖：由例題及變式訓練逐步總結提煉，形成知識網絡. 促使學生將解題的經歷轉化為思維活動的經驗，幫助學生掌握基本模型，感悟基本方法.

[?] 教學反思

1. 破傳統、融創新、提思維

一方面，以往高考中的數學試題的初始條件是現成的，目標狀態是已知的，考生通過高中三年的強化訓練對這些問題有明確的思路和模式化的解法. 結構不良試題的出現打破了傳統解題套路，迫使學生學會選擇、推理、評價與監控.如例1，需要學生事先做出選擇，而在明確選擇前要站在不同角度對每個選項進行初步推理，進而比較每個路徑的運算量、熟悉程度等，最終選擇自己認為最有把握、最高效的選項.

另一方面，結構不良試題由于選擇不同，導致最終的結果不同，改變了學生對傳統數學試題的認知.如變式1，三個不同的選擇導致三種不同的結果，這樣的設計，幫助學生認識到問題并非只有唯一正確的答案，只有相對較好或較差的解決方法;如例2，不僅有不同的結果，選擇條件③則三角形根本不存在，說明結構不良試題有較強的開放性和創新性;又如變式2，其呈現的是“多選二”不良結構，且不是任意選擇兩個條件都能解決問題，說明結構不良試題對學生思維能力的考查還可以進入更高、更深的層面，需要給基礎扎實、思維能力強的學生提供更好的展示平臺，更大程度地發揮考試的區分鑒別功能.

2. 強概念、重情境、促遷移

《中國高考評價體系》指出，高考的核心功能之一是引導教學，結構不良試題的出現對高中數學教學提出了更高的要求.

首先，從以上實例來看，從每個選項的選擇到完成整個問題的解答均源于學生對日常教學中書本上最基本的概念的深刻理解以及公式的靈活運用.作為一線教師，在概念教學時應重視概念的生成過程，引導學生主動地厘清數學概念的前世今生、把握數學概念的本質，從數學概念開始就要有意識地培養學生發現問題和提出問題的能力.若新授課中把大量時間與精力花在試題訓練上，那么培養出來的學生就成了做題機器，使其認知能力存在極大的局限性，無法很好地應對新高考中的新情境.

其次，結構不良試題往往呈現的是多種情境，迫使學生站在不同角度思考多種可能，這就要求平時教學中多設置開放性、多樣化的問題情境. 如例1，從向量、三角函數圖像變換、兩角和差公式等不同情境視角去解決同一個問題;又如，對于例2還可以做這樣的變式：“已知三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C=，c=2，在你現有的認知范圍內能解決與三角形有關的哪些量的最值問題（至少寫出兩個，并給出解答過程）？”這樣的問題情境，能有效地拓展學生思維的廣度和深度、激發學生的學習興趣和提升學生的創新能力.

強概念重情境的終極目標就是培養學生發現問題和提出問題的能力、提高學生分析問題和解決問題的能力，從而使學生將形成和發展的能力遷移到高考中，進而遷移到現實世界中，實現數學學科育人功能.