航空發動機燃油計量裝置穩定性分析

陳昭旸，肖玲斐，葉志鋒，胡文佳，吳忠敏

(1. 南京航空航天大學，江蘇 南京 210016；2. 中國航發貴州紅林航空動力控制科技有限公司，貴州 貴陽 550025)

0 引言

盡管航空發動機控制系統逐漸由液壓機械式控制發展為全權限數字電子控制，但是燃油計量裝置仍然是控制系統中不可或缺的重要組成部分。燃油計量裝置本身可以視為一個小閉環系統，其內部零部件較多，結構參數設計過程復雜[1-2]。事實上，我國長期以來對發動機燃油計量裝置的研發以仿制為主，缺少理論分析，在新型航空發動機控制系統的研發過程中出現了因燃油計量裝置輸出流量不穩定而引起的發動機轉速波動，影響了發動機的控制性能。

國內的研究人員一般通過在AMESim中建立仿真模型來對燃油計量裝置進行研究。余玲等對燃油計量裝置進行AMESim建模，通過仿真得到了燃油計量裝置的穩態及動態特性，并研究了燃油計量裝置的主要結構參數對其穩態及動態特性的影響[3]；周立峰基于AMESim建立了燃油計量裝置的模型，分析了燃油計量裝置所面臨的三種典型工況，通過仿真得到這三種工況下燃油計量裝置的穩態及動態特性，并構建了燃油計量裝置試驗系統，通過試驗驗證了模型的準確性和仿真結果的可信度[4]；李洪勝等研究了某型發動機燃油計量裝置壓差控制器的性能，分析并推導出其影響控制壓差能力的主要因素，通過AMESim仿真驗證了所得結論的正確性。在此基礎上對其進行合理的改型，為保證改型不影響系統的性能，用小偏差原理對改型前后的壓差控制器辨識，得到傳遞函數，確保改型并未損失其動態性能，最終得到改進壓差控制器壓差能力的理論依據[5]。

目前尚沒有看到關于燃油計量裝置穩定性的研究，當相關參數不合理的時候，就可能導致燃油控制精度低、輸出不穩定等問題。由于在AMESim中建立的仿真模型只能用于分析燃油計量裝置的穩態及動態性能，不易進行關于穩定性的研究。因此，本文通過建立燃油計量裝置的力平衡方程、流量連續性方程，并在MATLAB中建立其仿真模型。為了分析燃油計量裝置的穩定性，對所列方程進行線性化處理，之后分別應用特征方程根軌跡以及基于李雅普諾夫函數和遺傳算法的多參數穩定性設計方法，分析了主要物理參數對燃油計量裝置穩定性的影響。

1 燃油計量裝置工作原理

某型發動機研制的燃油計量裝置主要由電液伺服閥、帶位移傳感器的計量活門、等壓差活門、執行活門以及一系列節流孔、彈簧構成，工作原理如圖1所示(未繪出伺服閥及傳感器)。

圖1 燃油計量裝置原理圖

計量活門的主要作用是通過調節計量活門窗口的開度來控制發動機燃油量，計量活門出口的流量可用如下公式計算：

(1)

式中：Cd為流量系數；A為計量活門開口面積(由計量活門位移xj決定)；Δp1為計量前后的壓差；ρ為燃油密度。根據公式，若保持Δp1為常數，則流量僅與閥芯位移xj有關。

等壓差活門的兩端分別與計量活門前后的油壓相通，它的作用是感受壓差變化，根據兩端的壓差，等壓差活門閥芯產生相應的位移，從而改變等壓差活門節流口的面積，控制執行活門下腔的壓力，使得執行活門的閥芯產生相應的位移，從而改變執行活門節流口的開口面積，進而控制中腔也就是計量后的壓力，最終保持計量活門前后的壓差不變。所以燃油計量裝置本質上是壓差閉環控制，其穩態、動態特性及輸出穩定性主要取決于彈簧、節流孔等參數。

2 建模與仿真

由于伺服閥位置環的動態響應非?？?，故忽略其動態特性。根據燃油計量裝置的工作原理，建立等壓差活門、執行活門的力平衡方程及各節流口流量連續性方程[6-7]：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：x、p、q分別為位移、壓力和節流口(孔)i的流量；k、fy、a(A)、m、b、c、v、βe分別為彈簧剛度、預壓縮彈簧力、面積、質量、阻尼、泄漏系數、容積、有效體積彈性模量，下標d、z分別表示等壓差活門和執行活門。

考慮最不穩定高壓大流量的工況，在額定穩態工作點，用泰勒級數展開的方法，對各個節流口的流量表達式進行小偏差線性化處理，然后代入力平衡方程與流量連續性方程中，為了簡單起見，仍用變量本身表示它們在某一穩態點的增量：

(8)

(9)

Kz4xz+(Kp1+Kp2)p1-(Kp1+Kp2+Kp3+Kp4+cz)p2+

(10)

(11)

(12)

式中：Kz4、Kd8分別為可變節流口4、8的流量增益，由于其他節流裝置均為固定節流孔，所以其流量增益近似為常數；Kpi為節流口i的流量-壓力系數(i=1～8)，具體的數值由式(2)-式(7)中的相關系數計算得出。

為了驗證方程線性化的動態精度，在計量活門位移xj為9mm、進口壓力為9MPa、出口壓力為7MPa的穩態工作點，給計量活門位移加一個Δxj=0.1mm的階躍信號，用MATLAB進行仿真，比較方程線性化前后計量裝置輸出流量q4、等壓差活門位移xd的參數階躍響應，結果如圖2所示。

圖2 燃油計量裝置對計量活門位移的階躍響應

由于燃油計量裝置的強非線性，通過線性化之后的方程與原始方程的動態響應存在一定誤差，但兩者總體上相符。

3 根軌跡穩定性分析

求解線性化后的式(8)-式(12)，將壓力p2、p3、p6和位移xd、xz作為變量，得到一個含有變量的7階閉環傳遞函數。對傳遞函數的分母即閉環特征方程進行分析，發現影響系統穩定性且可調節的設計參數有7個：節流孔面積a2、a3、a5、a6、a7及壓差活門和執行活門的彈簧剛度kd、kz。

根據特征方程根軌跡判斷穩定性的原理，對燃油計量裝置上述7個參數由0變化到正無窮，觀察特征方程的根軌跡。

等壓差活門彈簧剛度kd的值由0變化到正無窮(原始值為4.8×104N/m)，其他參數保持不變時，閉環特征方程的根軌跡在復平面上，如圖3所示。其中：圓圈代表0點；叉號代表極點；B點為kd取原始值4.8×104N/m時的根所在的位置；A點為kd擴大為4.84×104N/m時的根所在的位置；C點為kd縮小為4.75×104N/m時的根所在的位置。根據特征方程根軌跡判斷穩定性的原理，因B點處于右半復平面，所以燃油計量裝置是不穩定的，出口流量、壓力出現了振蕩現象。

通過根軌跡圖，可以判斷出在一定范圍內，kd逐漸增大，可以使得B點逐漸向左移動，出口流量、壓力的振蕩幅值逐漸減小，當B點穿過虛軸進入到左半復平面后，系統將處于穩定狀態，理論上振蕩現象將完全消失；kd逐漸減小，將使得B點向右移動，振蕩幅值將會增大。

圖3 kd作為參數的根軌跡

在原始值4.8×104N/m的基礎上增大和縮小kd，通過MATLAB仿真觀察振蕩幅值的變化，結果如圖4所示?？梢钥闯觯琸d增大，振蕩幅度減小，反之亦然。這與根軌跡圖得到的結論相一致。

但是，kd的值也不能過大，因為隨著kd的增加，等壓差活門控制的穩態誤差也會隨之增加。圖5為等壓差活門的輸出值(壓差)在不同kd值下隨計量活門位移(對應流量)變化的曲線?？梢娫龃髃d要兼顧穩定性與穩態精度的平衡。

圖4 出口壓力振蕩幅值隨kd的變化

圖5 kd對穩態誤差的影響

研究發現節流孔6的面積a6對穩定性影響十分明顯且不是單調的變化關系。圖6(a)、圖6(b)分別為a6從0到正無窮時的根軌跡和a6在原始值附近變化的輸出振蕩幅度。圖6(b)中，B點為a6取原始值8.171×10-7m2時的根所在的位置；A點為a6縮小為3.109×10-6m2時的根所在的位置；C點為a6擴大為7.234×10-7m2時的根所在的位置，點為a6擴大為5.049×10-6m2時的根所在的位置。

通過根軌跡圖，可以判斷出在一定范圍內，a6逐漸減小，可以使得B點逐漸向左移動，出口流量、壓力的振蕩幅值逐漸減小，當B點穿過虛軸進入到左半復平面后，系統將處于穩定狀態，理論上振蕩現象將完全消失；a6逐漸增大，B點距離虛軸的距離先增大后減小，但是始終處于右半復平面，因此a6逐漸增大，振蕩幅值將會先增大后減小。

圖6 a6作為參數的根軌跡

通過仿真觀察增大和縮小a6時振蕩幅值的變化，結果如圖7所示。可以看出，a6減小，振蕩幅度減小；a6增大，振蕩幅度先增大后減小。這與根軌跡圖得到的結論相一致。由此可見a6的原始值正是處于穩定性不佳的取值范圍，因此改變這一設計參數可以有效改善燃油計量裝置穩定性。

圖7 出口壓力振蕩幅值隨a6的變化

類似地，可以用根軌跡法分析其余5個參數對穩定性的影響。限于篇幅，這里不再給出其根軌跡圖，分析結果見結論。

4 基于李雅普諾夫函數和遺傳算法的多參數穩定性設計方法

通過根軌跡的方法分析并找到了對系統穩定性有著較大影響的5個設計參數：等壓差活門和執行活門的彈簧剛度kd、kz以及節流孔面積a5、a6、a7。然而，該方法只能得到在其他設計參數保持不變時，單獨的某一個設計參數對系統穩定性的影響，進而通過改變這個參數來改善系統的穩定性。但是，如果僅僅通過改變一個設計參數的值來改善系統穩定性，有時需要對這個參數做較大幅度的改動，這可能在工程上不易實現。例如，將節流孔a5的面積擴大為原來的1.6倍后，出口燃油壓力還是存在小幅度的振蕩，如果想要完全消除振蕩，節流孔a5的面積需要繼續擴大，但是a5的面積如果較大的話會導致回油流量損失。為了研究多個設計參數同時作用時對系統穩定性的影響，從而通過同時調節多個參數來改善系統的穩定性，決定采用基于李雅普諾夫函數和遺傳算法的多參數穩定性設計方法[8]，令：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中矩陣A2是一個含有變量kd、kz、a5、a6、a7的7階方陣。依次計算出矩陣A2的各階順序主子式，令其滿足半負定矩陣的性質。利用MATLAB的工具包Optimization中的遺傳算法，將各階主子式設為目標函數，并限制這5個設計參數與原始值的差值分別在±5%、±10%、±30%、±50%以內，通過遺傳算法尋優可以得到4組不同的設計參數。接下來利用優化前后的設計參數對燃油計量裝置進行仿真，仿真條件是進口壓力為9 MPa，計量活門閥芯位移為11.3mm，得到優化前后的出口燃油壓力仿真結果如圖8所示。圖8(a)是參數優化前的出口燃油壓力響應曲線，可以看出，出口壓力存在振蕩現象，振蕩幅值大約是±430 kPa，頻率大約是10 Hz；圖8(b)是參數優化后的出口燃油壓力響應曲線(設計參數與原始值的差值限制在30%以內)，可以看出，參數優化后，出口壓力的振蕩很快衰減。

通過仿真研究了優化前后設計參數的調節時間，發現調節時間隨著限制差值范圍的增大而減小，當設計參數與原始值的差值限制在5%、10%時，調節時間較長，系統的動態性能較差；當差值限制在30%、50%時，調節時間明顯縮短。當然這意味著設計參數偏離原始值較大。

圖8 出口燃油壓力響應曲線

5 結語

1)燃油計量裝置是一個閉環控制系統，通過對非線性方程的線性化，利用閉環特征方程的根軌跡以及基于李雅普諾夫函數和遺傳算法的多參數穩定性設計方法分析其穩定性是可行的。

2)適當增大等壓差活門和執行活門的彈簧剛度kd、kz的值，可以改善穩定性，但是會增大穩態誤差，所以參數設計中要考慮兩者的平衡。

3)節流孔a6是對穩定性有重要影響的參數，且當前設計值(孔面積)處于不合理的區域。節流孔a2和a3對穩定性的影響不顯著；增大節流孔a5和a7能改善穩定性，但是不建議增大太多，因為會導致回油流量損失。

4)利用李雅普諾夫穩定性理論，研究了多個設計參數同時作用時對系統穩定性的影響，并利用MATLAB的工具包Optimization中的遺傳算法進行尋優，得到優化后的設計參數，提高了系統的穩定性。