主動磁懸浮軸承魯棒反步控制研究

葉志偉，徐龍祥

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

磁懸浮軸承也稱電磁軸承，由于其具有能量損耗低、無機械接觸、不需要潤滑以及使用壽命長等優點[1]，廣泛地應用于機械工業、能源交通、生命科學等領域[2]。而磁懸浮軸承系統中使用的控制器是影響其各種性能的一個比較重要的因素[3]。在實際工程中，PID控制在磁軸承控制中有舉重若輕的地位。由于磁軸承自由度之間的陀螺力矩耦合、電磁鐵之間的磁場耦合以及高速轉子模態激發時出現的穩定性問題等，PID控制無法解決這些問題以滿足需要的控制要求。因此，本文將為磁懸浮軸承系統設計基于反步法的魯棒控制器，反步法不但能使系統具備跟蹤性與穩定性，而且保留了系統中存在的非線性項，系統的精確性便能夠得到保證[4]。反步法在設計時是通過遞推的方式一步步地構造系統Lyapunov函數的，從而保證了系統的穩定性，并且其他方法如滑模控制、自適應控制等很容易與反步控制進行結合，因而可以設計出系統所需性能的控制器[5]。

1 系統設計磁懸浮軸承的數學模型

圖1為五自由度的磁軸承轉子受力分析模型圖，轉子是依靠磁懸浮軸承進行支撐的。系統工作時，轉子的位置由傳感器a和傳感器b進行檢測并且傳輸到使用的控制器中去。此時控制器對相應的偏差量根據不同的控制算法進行運算，然后將計算得到的控制電壓信號輸入到功率放大器中去，由功率放大器改變電流的大小傳遞給磁軸承線圈。因此磁軸承線圈的電流大小便會跟隨控制器的變化而變化，使得磁軸承轉子受到的合力不斷變化，經過多次控制后，轉子最終懸浮在中間。

圖1 磁軸承轉子受力分析模型圖

磁懸浮軸承在實際工作時，其運轉情況及結構都是很復雜的，這為建模帶來不便，所以要做如下假設：磁軸承在徑向方向上的結構和參數是一致的。轉子為剛性回轉體，并且轉子繞x軸的轉動慣量和繞y軸的轉動慣量是相等的。當轉子在運動時，可以忽略各個自由度之間的耦合作用，進行分散控制。依據以上假設可以得到轉子的運動方程：

2 反步控制理論

反步法由Kokotovic等于1991年提出，它是通過為原系統的子系統設計李亞普諾夫函數，不斷地滿足子系統的要求進而得到原系統的控制律[6]。本文將設計一種魯棒反步控制器，通過對實際系統的不確定性進行估計，使得系統可以獲得更好的動態性能。

磁軸承系統的空間狀態方程如下式所示。

假設系統的平衡點為xd，得到各個虛擬變量的定義：

其中ξ是設計的積分變量參數，可以減少外部的干擾所造成的誤差。在設計時會對一個子系統構造相應的Lyapunov函數，從而保證每個子系統都能保持漸近穩定的特性。

定義Lyapunov函數

可得V1的導數為

將z2的導數代入：

當忽略不確定項d，那么可得V2的導數為

那么可以得到系統的控制量

由Lyapunov穩定性定律可知原系統的跟蹤誤差是可以收斂到0的。

為了估計不確定項d，增加控制器的跟蹤性能和控制的魯棒性，可以將非線性阻尼引入到控制器，控制律重新定義為

那么V2的導數變為

加入非線性阻尼后，具有未知的不確定上界控制律仍能保證系統一致漸近穩定，而且確保系統狀態變量全局一致有界。通過調整各個確定干擾項對系統影響最小，達到系統全局漸穩定的目的：

3 仿真分析

根據上文設計的控制器在Simulink仿真環境進行了基于反步法的主動磁軸承控制系統仿真平臺的搭建，如圖2所示。為了驗證設計的反步控制器是否擁有良好的性能，搭建了基于PID控制的主動磁軸承控制系統仿真平臺與之進行對比分析，仿真平臺如圖3所示。假設磁軸承最終的平衡位置處于2.5V，初始位置為0V。系統進行仿真的參數是通過試湊法獲得的較優的一組參數。仿真結果如圖4所示。

圖2 反步控制系統仿真平臺

圖3 PID控制系統仿真平臺

圖4 反步與PID控制下的系統階躍響應圖

從圖4所示可知，設計的反步控制系統僅需0.01s便可以達到穩定狀態，而PID控制系統則需要0.02s才能達到穩定狀態，所設計的反步控制系統的響應速度是明顯優于PID控制系統的，并且，設計反步控制下的系統沒有表現出明顯的超調量，而PID控制系統有0.2V的超調量。所設計的反步控制系統的超調量亦是明顯優于PID控制系統的。

在實際的工作過程中，還有很多擾動因素會造成磁軸承系統無法保持穩定狀態，因此本文主要進行了以下幾個方面的擾動仿真：

1)階躍擾動仿真

磁懸浮軸承轉子實際工作時，可能出現突加負載擾動的情況，因此當轉子懸浮在平衡位置后進行干擾的施加，在0.25s時對系統施加階躍擾動信號，幅值為1A，如圖5所示。采用反步控制的磁軸承系統的轉子位移最大偏移值約為0.11V，PID控制下磁軸承系統的最大偏移值約為0.34V，反步控制相比PID控制轉子位移偏移值減小了67.6%，而且PID控制的轉子需要0.25s左右才能回到平衡位置；反步控制卻僅需0.03s便能回到平衡位置，相比PID減少了88%的恢復時間。因此，采用反步控制的磁軸承系統抵抗階躍擾動的性能是優于PID控制系統的。

圖5 施加階躍干擾仿真對比圖

2)周期性正弦擾動仿真

磁懸浮軸承轉子實際工作時，可能出現突加正弦擾動的情況。因此當轉子懸浮在平衡位置后進行干擾的施加，對系統施加頻率為100Hz，幅值為1A的正弦擾動信號，如圖6所示。采用反步控制的磁軸承系統轉子最大偏移值約為0.15V， PID控制下磁軸承系統的最大偏移值約為0.32V，反步控制相比PID控制轉子位移偏移值減小了53.1%。因此，采用反步控制的磁軸承系統抵抗正弦擾動的性能亦是優于PID控制系統的。

圖6 施加正弦干擾仿真對比圖

4 實驗分析

為了驗證設計的魯棒反步控制器是否擁有良好性能，進行了轉子四自由度的起浮實驗。本試驗使用的顯示設備是Labview組件，Labview檢測到的位移電壓信號為0V～+5V。因此，當轉子正常懸浮時，Labview顯示的位移電壓信號應該是2.5V。對于Labview顯示的初始位移電壓信號并不在0V，是因為使用了試驗臺轉子結構的原因。使用本文設計的魯棒反步控制器，對磁軸承系統試驗臺進行起浮試驗，試驗得到的磁軸承轉子四個自由度的起浮效果如圖7-圖10所示。

圖7 轉子第一自由度起浮曲線圖

圖8 轉子第二自由度起浮曲線圖

圖9 轉子第三自由度起浮曲線圖

圖10 轉子第四自由度起浮曲線圖

由圖7-圖10可知，所設計的反步控制器可使轉子的第一和第二自由度在500ms左右達到穩定懸浮的狀態，第三和第四自由度在450ms左右達到穩定懸浮的狀態，而且轉子在起浮時震蕩并不劇烈，基本沒有超調量。

5 結語

本文針對磁軸承系統設計了一種魯棒反步控制器，使用Matlab/Simulink仿真軟件對設計的控制器進行仿真驗證，其具備良好的響應速度和抵抗階躍以及正弦干擾的性能，并在磁懸浮軸承試驗臺上進行了轉子徑向四自由度的起浮實驗，實驗表明：所設計的控制器表現出了良好的控制性能。