深度學(xué)習(xí) 讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生

文 /錢秀梅

引 言

為促使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識，形成高階數(shù)學(xué)思維，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、深入探究，以此實(shí)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度參與，使其獲得深度思維，從而達(dá)到深度學(xué)習(xí)的層次。但是應(yīng)該選擇怎樣的問題驅(qū)動學(xué)生的深度學(xué)習(xí)？教師在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)當(dāng)做哪些引導(dǎo)？學(xué)生的深度學(xué)習(xí)有沒有限度？這些問題都需要教師進(jìn)行思考。文章結(jié)合筆者之前的一個教學(xué)片段，就驅(qū)動學(xué)生的深度學(xué)習(xí)展開討論。

一、深度學(xué)習(xí)，引發(fā)思考

在教學(xué)“圓的周長”一課時，筆者設(shè)計了這樣一個問題：“一個長方形木框的長是40厘米，寬是24厘米，一個半徑為2厘米的圓環(huán)在木框內(nèi)部沿著四條邊繞一圈，圓心經(jīng)過的軌跡長度為多少厘米？如果繞著木框的外面繞一圈，圓心經(jīng)過的軌跡長度又是多少厘米？”

在學(xué)生嘗試獨(dú)立解答時，筆者發(fā)現(xiàn)只有少數(shù)學(xué)生畫了圖。在組織學(xué)生交流時，筆者發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生輕松解決了第一個問題，而第二個問題不出意外地“全軍覆沒”了。于是筆者提示學(xué)生利用手中的模型模擬圓環(huán)滾動的過程，觀察圓環(huán)繞木框內(nèi)部和外部滾動一圈時的運(yùn)動軌跡是不是相似的。一段時間之后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了以下問題。如圖1所示，圓環(huán)在木框內(nèi)部滾動時，圓心運(yùn)動軌跡是一個小的長方形，其長度比木框的長短4厘米，寬度也比木框的寬短4厘米。但是當(dāng)圓環(huán)在長方形木框的外部滾動一圈時，其圓心最多到達(dá)長方形頂點(diǎn)的上方，無法到達(dá)圖示位置（如圖2）。所以，當(dāng)圓環(huán)繞木框外部滾動一周時，其圓心的運(yùn)動軌跡并不是一個長方形。結(jié)合圖示和操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓心到達(dá)長方形頂點(diǎn)正上方時，圓開始繞著長方形的這個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)四分之一周，結(jié)合四個頂點(diǎn)處圓心的運(yùn)動軌跡，學(xué)生可以知道圓心經(jīng)過的軌跡長度為一個完整的圓的周長與長方形的周長之和。通過解決這個問題，學(xué)生受到很多啟發(fā)。

圖2

圖1

學(xué)生最初為什么會“全軍覆沒”呢？經(jīng)驗(yàn)主義起到了絕對的作用，在解決圓環(huán)繞著木框內(nèi)部滾動一圈的問題時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了圓心能夠到達(dá)的極限位置，這讓他們在解決第二個問題時很自然地將之前的經(jīng)驗(yàn)遷移過來。在教師展示了幾個學(xué)生畫的靜態(tài)示意圖后，學(xué)生并沒有意識到這兩種滾動有什么不同，而只有在繼續(xù)深入探析圓心到達(dá)長方形的頂點(diǎn)正上方之后會不會繼續(xù)沿著原來的方向行進(jìn)到圖示位置時，才意識到圓心的運(yùn)動軌跡跟之前不同。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生的探究有了動力，有了基礎(chǔ)，有了方向。

回溯整個教學(xué)過程，學(xué)生解決這個問題時由淺入深，對問題的認(rèn)識逐層遞進(jìn)，這樣的學(xué)習(xí)是有深度的、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的。

二、深度學(xué)習(xí)，“深”在何處

深度學(xué)習(xí)的“深”不應(yīng)當(dāng)是艱深的意思，不是指在教學(xué)過程中要有意加強(qiáng)練習(xí)的難度和繁雜程度，適合學(xué)生的教學(xué)才是最有效的。教師在教學(xué)時，要根據(jù)不同年齡段學(xué)生的認(rèn)知能力和心理發(fā)展水平，把握教學(xué)的“度”，力求切合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，而不是超越學(xué)生的認(rèn)知“天花板”，這樣的教學(xué)才能令學(xué)生感到有價值、有意義[1]。因此，深度學(xué)習(xí)的“深”應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容能引發(fā)學(xué)生的真思考，推動學(xué)生的思維向縱深處發(fā)展；應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在教學(xué)方式能推動學(xué)生的真探究，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中體驗(yàn)真實(shí)的問題解決過程；應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在需要通過集思廣益才能解決的較高難度問題的探討環(huán)節(jié)；應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程后的深入的體會和深切的啟發(fā)[2]。

在教學(xué)“認(rèn)識百分?jǐn)?shù)”時，筆者設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)首先想到的就是讓學(xué)生深入生活，探索生活中有哪些百分?jǐn)?shù)，用在什么地方，這些數(shù)與分?jǐn)?shù)有什么不同，用法上有什么差別。因此，筆者先預(yù)設(shè)導(dǎo)學(xué)案，要求學(xué)生收集一些生活中典型的百分?jǐn)?shù)，結(jié)合具體的百分?jǐn)?shù)體會其含義，并將自己的收獲及遇到的疑難問題記錄下來。學(xué)生很快辨析出百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的不同，百分?jǐn)?shù)只用來表示分率，而不能表示具體的數(shù)量。在交流“百分?jǐn)?shù)不能表示具體的數(shù)量，所以百分?jǐn)?shù)后面不加單位名稱”這個知識點(diǎn)時，一個學(xué)生的分享內(nèi)容給筆者帶來了驚喜。這位學(xué)生表示自己在收集百分?jǐn)?shù)時發(fā)現(xiàn)百分?jǐn)?shù)后面都沒有單位，所以他意識到百分?jǐn)?shù)只能表示兩個量之間的關(guān)系，不能表示某一個具體的數(shù)值。但是他無意中發(fā)現(xiàn)酒瓶上的百分?jǐn)?shù)后面有“vol”字樣，于是通過查閱資料來驗(yàn)證“vol”是不是單位名稱，然后找出了該字符的具體含義。他列舉的這個案例不僅驗(yàn)證了其他學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，還拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有力地詮釋了什么是好的學(xué)習(xí)、有效的學(xué)習(xí)，同時也給其他學(xué)生帶來了啟發(fā)。

在這節(jié)課上，筆者也展示了自己收集到的一些百分?jǐn)?shù)，這些百分?jǐn)?shù)來自一種飲料的營養(yǎng)成分表。最初，學(xué)生認(rèn)為這里的百分?jǐn)?shù)表示的是某一種元素在整個飲料中的配比，但當(dāng)他們看到其中一個營養(yǎng)元素的百分?jǐn)?shù)超過100%時，立即推翻了自己之前的想法。當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生困惑時，筆者引導(dǎo)他們從不同角度猜想這里的百分?jǐn)?shù)含義。學(xué)生的猜想集中指向飲料不是單位“1”。對此，筆者表示贊許，隨后解開了學(xué)生的疑問，讓他們知道這些百分?jǐn)?shù)的單位“1”是正常人一天對該元素的需求量。

三、深度學(xué)習(xí)，如何去“深”

（一）深度經(jīng)歷

方法比知識重要，過程比結(jié)果重要。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不僅需要知道一類問題的解法，還要把握知識的來龍去脈，從根本上理解問題，這樣的學(xué)習(xí)才是有效的、有價值的、有深度的。換個角度來看，當(dāng)學(xué)生忘記了具體的知識時，如果能夠從根源出發(fā)，將知識和規(guī)律再現(xiàn)，也可以達(dá)成培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

例如，在一年級“十幾減九”的教學(xué)中，一些學(xué)生在學(xué)習(xí)新課之前已經(jīng)能夠熟練計算減數(shù)是9的減法，同時，他們知道可以用被減數(shù)個位上的數(shù)加上1求得答案，但是這只能說明學(xué)生具備了一定的運(yùn)算技能。教師如果只通過強(qiáng)化訓(xùn)練來鞏固學(xué)生的運(yùn)算技能，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)只能流于表面。在實(shí)際教學(xué)中，教師只有讓學(xué)生面對“十幾減九”的實(shí)際情況，經(jīng)歷探索算法的過程，逐步優(yōu)化算法，才能使學(xué)生的學(xué)習(xí)落到本質(zhì)上。因此，在教學(xué)這部分內(nèi)容時，筆者首先創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生列出“13－9”這個算式，然后自己想辦法從13中把9分出去。學(xué)生提出幾種不同的思路：（1）看圖數(shù)一數(shù)；（2）“破十法”，先將13分成10與3，用10減去9得到1，與剩下的3相加得到4；（3）“平十法”，先從13中減去3，再減6，這樣得到4；（4）“想未知加數(shù)法”，思考加法中9＋（ ）＝13，就知道減法算式的差是4。在交流了這些方法后，大部分學(xué)生選擇的方法是“破十法”，也有學(xué)生選擇其他方法。對此，筆者不置可否，將被減數(shù)從11到18依次列出來，讓學(xué)生計算減去9后的差是多少。在羅列出所有算式的答案后，筆者再引導(dǎo)學(xué)生去觀察和比較，使其發(fā)現(xiàn)“差比被減數(shù)個位上的數(shù)大1”這個規(guī)律。由此，筆者再追問學(xué)生“1從何而來”？結(jié)合“破十法”，學(xué)生就理解了“1”是10減去9得到的。在探析規(guī)律的過程中，學(xué)生對“破十法”有了更深刻的認(rèn)識，自然而然地選擇使用這個方法來計算。這就為之后學(xué)生學(xué)習(xí)20以內(nèi)的退位減法打下了基礎(chǔ)，同時，其他方法的出現(xiàn)也拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。學(xué)生在這樣的課堂上收獲滿滿。

（二）深度建構(gòu)

數(shù)學(xué)知識本身的關(guān)聯(lián)性和邏輯性對學(xué)生構(gòu)建整體數(shù)學(xué)體系是有幫助的。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師不能著眼于單個知識，而是要將知識放到合適的背景中，讓知識回歸本原體系，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)時才能觸類旁通，建構(gòu)完整的知識體系。學(xué)生在建構(gòu)知識體系時，對數(shù)學(xué)的認(rèn)知一定是立體的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定是深入的、深刻的。

例如，在“認(rèn)識公頃”的教學(xué)中，筆者單刀直入：“今天我們將一起來學(xué)習(xí)一個新的面積單位。”同時，板書課題“認(rèn)識公頃”。隨后，筆者引導(dǎo)學(xué)生提出在看到這個課題后想到哪些問題。學(xué)生立即回憶起之前學(xué)過的幾個面積單位，提出了一些有價值的問題，如“這個面積單位比平方米大還是比平方米小”“它和之前學(xué)習(xí)的面積單位有什么關(guān)系”“為什么這個面積單位不叫作平方什么”等。在記錄下學(xué)生的問題后，筆者引導(dǎo)學(xué)生從平方米入手，將面積單位與正方形的邊長對應(yīng)起來，并告知學(xué)生“公頃這個面積單位大小是一個邊長為100米的正方形的面積大小”。由此展開學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅想象出這個面積單位的面積大小，還得出公頃和平方米之間的換算關(guān)系，并根據(jù)“平方米和公頃之間還有一個邊長為100米的正方形大小的面積單位”得出“公頃不叫平方百米就是因?yàn)檫@個面積單位比較特殊”。筆者肯定了學(xué)生將公頃叫作平方百米的想法，并介紹了“公畝”這個單位，將整個知識體系補(bǔ)充完整。經(jīng)歷了這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生對“公頃”這個面積單位的認(rèn)識維度更多元，對整個面積單位體系的建構(gòu)更完備，此后對“平方千米”的認(rèn)識也就水到渠成。

（三）深層追問

追問是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種有效手段，可以促進(jìn)學(xué)生的深度思考，讓學(xué)生循著現(xiàn)象去探索內(nèi)在的、本質(zhì)的數(shù)學(xué)規(guī)律。因此，在教學(xué)過程中，教師要審時度勢，把握學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑難點(diǎn)，從學(xué)生的困惑出發(fā)，引出問題，通過深層追問推動學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

例如，在學(xué)習(xí)“間隔排列”的規(guī)律時，學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)兩種不同物體在間隔排列中可能出現(xiàn)的幾種排列方式，并用圈圓圈的方法將不同排列方式下物體的個數(shù)對應(yīng)起來，從而發(fā)現(xiàn)當(dāng)一種物體兩端都有時，個數(shù)比中間的物體個數(shù)多1，當(dāng)一種物體只有一端有而另一端沒有時，兩種物體的數(shù)量是相同的。由此，結(jié)合生活中的一些實(shí)例，學(xué)生不僅牢牢記住了規(guī)律，還能熟練運(yùn)用規(guī)律去解決相關(guān)的問題。

四、深度學(xué)習(xí)，意義深遠(yuǎn)

深度課堂是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的追求，在深度課堂上推動學(xué)生的深度學(xué)習(xí)對學(xué)生的學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的影響。

（一）深度學(xué)習(xí)讓學(xué)生更獨(dú)立

深度學(xué)習(xí)的形成有兩個基本維度，一是讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，讓學(xué)生遇到有價值的問題，圍繞問題展開研究、交流；二是讓學(xué)生通過各種形式展開深入思考，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，獲取數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)。真實(shí)的問題會讓學(xué)生更獨(dú)立。例如，在學(xué)習(xí)“認(rèn)識升和毫升”時，如果紙上談兵，學(xué)生的量感養(yǎng)成比較困難；如果讓學(xué)生走進(jìn)生活、走進(jìn)超市，讓學(xué)生從1毫升、10毫升再到100毫升和1000毫升去感知、體驗(yàn)，學(xué)生不僅會對這樣的容積單位有深刻的認(rèn)識，還可以增強(qiáng)量感，并在學(xué)習(xí)的過程中掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。

（二）深度學(xué)習(xí)讓學(xué)生更自信

數(shù)學(xué)是思維的“體操”，有效的數(shù)學(xué)活動不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的思維靈活度，還能滿足學(xué)生的內(nèi)在需求，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信，培養(yǎng)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感。例如，教師在數(shù)學(xué)課上與學(xué)生一起玩“搶15”的游戲，規(guī)定一次可以按順序報一個或兩個數(shù)字，最終報到15的人獲勝。教師讓學(xué)生先報數(shù)，反復(fù)幾次，參賽的學(xué)生都以失敗告終。這時學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)就聚集到游戲規(guī)則上，從而領(lǐng)悟關(guān)鍵點(diǎn)，并由此展開探索。在學(xué)生成功發(fā)現(xiàn)“奧秘”之后，其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信會油然而生。

結(jié) 語

總之，深度學(xué)習(xí)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響意義非凡，能夠讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，讓學(xué)生獲益匪淺。因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)機(jī)會，引領(lǐng)學(xué)生去探索、辨析、建構(gòu)、領(lǐng)悟，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，打造卓有成效的深度課堂。