用“點差法”解題，切記嚴謹*
——兼談二次曲線的另一種分類方法

?北京豐臺二中 甘志國

1 引言

“點差法”是平面解析幾何的一種重要解題方法，特別是在求圓錐曲線的中點弦所在直線的斜率時很簡潔且程序化，備受青睞.但筆者欲闡述的觀點是：用“點差法”解題，切記嚴謹！

2 用“點差法”解題，切記嚴謹

命題者給出的參考答案如下：

b2(x1+x2)(x1-x2)=-a2(y1+y2)(y1-y2)

①

②

分析:由①到②必須先說明②中的兩個分母均不為0.若x1=x2或y1=-y2，則均可得該橢圓上的兩點A,B關于x軸對稱，這與“點M(-1,1)是線段AB的中點”矛盾！所以②成立.

解:設兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，同題1的“解”可得②成立，所以線段AB的垂直平分線方程為

由線段AB的垂直平分線過點P(x0,0)，可得

分析：由“線段AB的垂直平分線與x軸相交”可得直線AB的斜率存在，所以②在這里成立(但在解題過程中應交代清楚).

當且僅當直線AB的斜率不為0即x1+x2≠0時③成立，從④推得⑤還要說明y1+y2≠0.當然這可由⑤成立(但在解題過程中應有所交代)，此時以上解答正確.

當直線AB的斜率為0即x1+x2=0時，由橢圓的對稱性及“線段AB的垂直平分線過點P(x0,0)”可得x0=0，此時欲證結論也成立.

綜上所述，可得欲證結論成立.

題3[《普通高級中學教科書·必修·數學·第二冊(上)》(人民教育出版社，2006)第133頁第7題的反問題]設直線l與拋物線y2=2px相交于兩點P(x1,y1),Q(x2,y2)，若y1y2=-p2，求證：直線l過該拋物線的焦點.

(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2) ⑥

綜上所述，可得欲證結論成立.

總之，用“點差法”解題，切記嚴謹：

(1)把等積式變成比例式時(比如把①變成②，⑥變成⑦)，要注意分母不為0(若分母的值為0，則中點弦所在直線的斜率不存在，須另行研究，比如題3)；

(2)除非題設中有“中點弦所在的直線與圓錐曲線交于不同的兩點”(比如題2與題3)，否則要檢驗中點弦所在的直線與圓錐曲線確實交于不同的兩點(比如題1)；

(3)遇到中點弦的垂線問題時，中點弦所在直線的斜率為0的情形要單獨討論，因為此時中點弦的垂線的斜率不存在(比如題2).

3 眾多文獻給出的“二次曲線中點弦所在直線的方程”欠嚴謹

定理1[3][4]設f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A2+B2+C2≠0)，若P(x0,y0)是二次曲線f(x,y)=0的弦P1P2的中點，則直線P1P2的方程是

⑧

證法1[3]：設點P1(X,Y)，由P(x0,y0)是弦P1P2的中點，可得點P2(2x0-X,2y0-Y).再由兩點P1,P2均在二次曲線f(x,y)=0上，可得

AX2+BXY+CY2+DX+EY+F=0，

A(2x0-X)2+B(2x0-X)(2y0-Y)+C(2y0-

Y)2+D(2x0-X)+E(2y0-Y)+F=0.

把它們相減后再除以4，可得

由此可驗證兩點P1(X,Y),P2(2x0-X,2y0-Y)均在直線⑧上，再由“兩點確定一直線”可得欲證結論成立.

證法2[4]:設兩點Pi(xi,yi)(i=1,2)，由P(x0,y0)是弦P1P2的中點，可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.再由兩點P1(x1,y1),P2(2x0-x1,2y0-y1)均在二次曲線f(x,y)=0上，可得

A(2x0-x1)2+B(2x0-x1)(2y0-y1)+C(2y0-y1)2+D(2x0-x1)+E(2y0-y1)+F=0.

把它們相減后，可得

(2Ax0+By0+D)(x1-x0)+(Bx0+2Cy0+E)·(y1-y0)=0

⑨

再由(x0-x1,y0-y1)是直線P1P2的一個方向向量，可得直線P1P2的一個法向量是(2Ax0+By0+D,Bx0+2Cy0+E)，進而可求得直線P1P2的方程是(2Ax0+By0+D)(x-x0)+(Bx0+2Cy0+E)(y-y0)=0即⑧.

分析:由題文[5]例7(1)及例8(1)的結論可知定理1[3][4]、推論1～3[3]均欠嚴謹，因而，它們相應的證法1[3]、證法2[4]也均欠嚴謹.下面再給予分析.

“定理1[3][4]”及其“證法1[3]”必須建立在“關于x,y的方程⑧確實表示直線”(即

不成立)、“直線⑧與二次曲線f(x,y)=0確實是交于兩個不同的點P1,P2”(否則不能得出“兩點確定一直線”)這兩個前提下才是正確的，否則不正確.

“定理1[3][4]”及其“證法2[4]”必須建立在“直線P1P2的一個方向向量(x0-x1,y0-y1)不是0”[即Pi(xi,yi)(i=1,2)確實是兩個不同的點]、“直線P1P2的一個法向量(2Ax0+By0+D,Bx0+2Cy0+E)不是0”(即不成立)及“關于x,y的方程⑧確實表示直線”(即⑨不成立)這三個前提下才是正確的，否則不正確.

由定理1[3][4]或推論1[3]可得：橢圓4x2+y2-1=0以坐標原點為中點的弦所在直線l的方程是0x+0y=0[而該方程不表示直線.事實上，由文[5]例7(1)及(3)(i)的結論，可得直線l的方程是αx+βy=0(α,β是不同時是0的常數)].由定理1[3][4]或推論2[3]可得：雙曲線4x2-y2-1=0以坐標原點為中點的弦所在直線l的方程是0x-0y=0[而該方程不表示直線.事實上，由文[5]例7(1)及(4)(i)的結論，可得直線l的方程是y=kx(-2

注:若“關于x,y的方程⑧確實表示直線”(即⑨不成立)、“直線⑧與二次曲線f(x,y)=0確實是相交于兩個不同的點”，則定理1[3][4]正確.

定理2[4]若f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A2+B2+C2≠0)，則二次曲線f(x,y)=0在點P(x0,y0)處切線方程是

證明[4]:當二次曲線f(x,y)=0的弦P1P2的兩個端點Pi(xi,yi)(i=1,2)重合即三點P1,P,P2重合時，直線P1P2就是曲線f(x,y)=0在點P(x0,y0)處切線.再由f(x0,y0)=0及定理1[3][4]，可得欲證結論成立.

分析:因為定理2[4]的證明[4]是建立在定理1[3][4]的前提下的，而定理1[3][4]不嚴謹，所以定理2[4]及其證明[4]均不嚴謹.

由定理2[4]可得：二次曲線y2=0在坐標原點處的切線l的方程是0y=0[而該方程不表示直線.事實上，由導數的幾何意義可知直線y=kx+b(k,b均是常數)在該直線上任意一點處的切線均是該直線本身，可得切線l的方程是y=0].由定理2[4]可得：二次曲線x2-y2=0在坐標原點處的切線l的方程是0x-0y=0[而該方程不表示直線.筆者還不能斷定切線l的方程是什么.有兩種想法：(1)由二次曲線x2-y2=0以坐標原點為中點的弦所在直線是y=x或y=-x及“當中點弦兩個端點重合時的中點弦所在直線是切線”(參見定理2[4]的證明[4])，可認為切線l的方程也是y=x或y=-x；(2)由曲線y=|x|在坐標原點處的切線不存在及曲線x2-y2=0與曲線y=|x|的聯系，可認為切線l不存在].

注:若“關于x,y的方程確實表示直線”(即不成立)、“直線與二次曲線f(x,y)=0確實相切”，則定理2[4]正確.

證明:設兩個切點分別是Pi(xi,yi)(i=1,2)，由定理2[4]可得二次曲線f(x,y)=0在點Pi(i=1,2)處的切線方程是

由點P(x0,y0)同時在這兩條切線上，可得

所以兩點Pi(xi,yi)(i=1,2)均在直線上，再由“兩點確定一直線”可得欲證結論成立.

注:由定理1[3][4]及定理2[4]的“注”可知，定理3[4]及其證明均是嚴謹的.

4 二次曲線的另一種分類方法及其結果

設f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A2+B2+C2≠0)，記

則二次曲線f(x,y)=0的分類結果(共九種)如表1所示[5]：

表1 二次曲線f(x,y)=0分類結果

下面再給出其另一種分類方法及其結果.

參見定理1[3][4]證法2[4]的⑨式，可得二次曲線f(x,y)=0關于點(x0,y0)對稱的充要條件是f(x,y)=f(2x0-x,2y0-y)即(2Ax0+By0+D)(x-x0)+(Bx0+2Cy0+E)(y-y0)=0，也即

也即

(1)當關于x0,y0的方程組有唯一一組解即Δ≠0(參見)時，二次曲線f(x,y)=0(包括軌跡不存在的情形，下同)有唯一的對稱中心(即表1中的前兩個型別也即前五個類別)；

(2)當關于x0,y0的方程組有無數組解即Δ=Θ=0(參見)時，二次曲線f(x,y)=0有無數個對稱中心且這些對稱中心的集合是直線2Ax+By+D=0(即表1中的后三個類別)；

(3)當關于x0,y0的方程組無解即Δ=0,Θ≠0(參見)時，二次曲線f(x,y)=0無對稱中心(即表1中的第六個類別).