合理創(chuàng)設結(jié)構(gòu)不良試題
——以解三角形問題為例

?安徽省績溪中學 樊 榮

結(jié)構(gòu)不良試題是新高考數(shù)學2020年開始出現(xiàn)的一類開放性創(chuàng)新題型，創(chuàng)設沒有明確的結(jié)構(gòu)或者解決途徑的“另類”數(shù)學試題，契合現(xiàn)實生活中的問題形式，具有很好的開放性與創(chuàng)新性.結(jié)構(gòu)不良數(shù)學試題，條件或結(jié)論等存在變數(shù)，是否有解也不確定，變化多端，形式各樣.

而解三角形問題，比較吻合結(jié)構(gòu)不良數(shù)學試題的基本特征，是考查此類題型的常見形式.通過解三角形知識的綜合、交匯與應用，結(jié)合選擇條件型與探索條件型這兩種比較常見類型來展示，具有很好的開放性與創(chuàng)新性，能有效考查學生分析問題、解決問題的能力，對理解能力、探究能力、創(chuàng)新能力與應用意識等的考查也是積極和深刻的.

1 選擇條件型結(jié)構(gòu)不良試題

(1)求角B；

(2)求△ABC的面積.

分析：(1)從已知三個條件中選取一個，若選①，由余弦定理即可得解；若選②，利用正弦定理將相應關(guān)系式中的邊化為角，可求得tanB的值，從而得解；若選③，結(jié)合輔助角公式的轉(zhuǎn)化與應用，從而得以求解；(2)由正弦定理求出a的值，由兩角和的正弦公式求出sinC，再利用三角形的面積公式即可求解.

何良諸回過神兒，說：“我走進你的辦公室時，進進出出還有人，你說：‘何良諸同志，來了。’咱們倆素昧平生，你怎么認識我？”

點評：此類解三角形問題中選擇條件型結(jié)構(gòu)不良試題，可以從三角形的角、邊、關(guān)系式等不同情境構(gòu)建相應的條件，從給出的多個條件(一般三個)中選一或選二，結(jié)合其他已知條件來分析與處理.不同的選擇，破解過程與對應的知識點有時可能不相同，結(jié)論有時也不盡相同.

2 探索條件型結(jié)構(gòu)不良試題

解三角形中的探索條件型結(jié)構(gòu)不良試題，屬于題干條件不充分或不完整，需要根據(jù)相應的一些條件來探索原題目中的某些條件，通過邏輯推理、代數(shù)運算等加以補充完整；或者通過補充一些相關(guān)的條件，結(jié)合運算與推理，并根據(jù)補充條件的題目進行合理探究與分析，形成相應的判斷或決策等.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

分析：結(jié)合已知可選的條件，選①時通過正弦定理、誘導公式以及兩角和的正弦公式等確定角A的值；選②時通過正弦定理、余弦定理等，確定角A的值；選③時通過誘導公式、余弦定理等確定角A的值.在角A確定后，利用三角函數(shù)關(guān)系式的變形以及輔助角公式的應用，結(jié)合條件確定三角函數(shù)關(guān)系式的最值問題，進而探究關(guān)系式是否成立.

解析：選①，問題中的C不存在.理由如下：

選②，問題中的C不存在.理由如下：

選③，問題中的C不存在.理由如下：

點評：解三角形問題中探索條件型結(jié)構(gòu)不良試題，根據(jù)題目條件的選擇并結(jié)合已知條件通過探究與判斷來確定一些相關(guān)結(jié)論的成立性與存在性.破解的關(guān)鍵在于合理化歸與轉(zhuǎn)化，巧妙借助逆向思維等，對條件與答案之間的相互關(guān)系進行合理探究與分析，進而得以判斷與決策.

涉及解三角形問題中結(jié)構(gòu)不良試題的命制與創(chuàng)設，是對解三角形知識的進一步深入與拓展，也是知識與思維密切聯(lián)系與交匯的一個典范.通過解三角形，將三角函數(shù)、平面幾何、不等式等相關(guān)知識加以融合與交匯，同時滲透開放性思想與創(chuàng)新性思想，巧妙創(chuàng)設，創(chuàng)新應用，引導學生從數(shù)學知識的習得與記憶轉(zhuǎn)向問題的分析與解決、策略的選擇與應用，使數(shù)學應用、創(chuàng)新應用在思維層面得以真正地發(fā)酵、發(fā)生.