2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第18題解析

?江蘇省如東縣掘港高級(jí)中學(xué) 張必榮

解三角形問題經(jīng)常與平面幾何、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、平面向量、基本不等式等相關(guān)知識(shí)交匯與融合，充分落實(shí)新課標(biāo)中“在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題”的指導(dǎo)思想，是高考數(shù)學(xué)命題中的一個(gè)基本考點(diǎn)，倍受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

2 真題剖析

本題通過兩小題的合理設(shè)置，以題設(shè)中的三角函數(shù)關(guān)系式為背景，通過三角恒等變換公式的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化來求解對(duì)應(yīng)的角的大小；并通過角之間的關(guān)系構(gòu)建，以及正弦定理或平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，化邊為角，利用基本不等式來確定對(duì)應(yīng)代數(shù)式的最值等.

借助問題的設(shè)置，很好地考查邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).破解問題的關(guān)鍵在于善于審題，妙用定理(三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理等)，借助公式(誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式等)，采用有效的策略，合理化歸與轉(zhuǎn)化，優(yōu)化解題過程，提升解題效益.

3 真題破解

解法1：倍角公式法.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式，利用二倍角公式加以展開，通過兩角和的余弦公式進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合條件中角的信息求解即可；利用角之間的關(guān)系，綜合正弦定理化邊為角，結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式的轉(zhuǎn)化，利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值.二倍角公式是問題破解的關(guān)鍵，同時(shí)綜合誘導(dǎo)公式、兩角和與差公式等.

解法2：函數(shù)單調(diào)性法.

(1)由題意得

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式，利用誘導(dǎo)公式加以同構(gòu)化處理，利用求導(dǎo)法確定對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)建角之間的關(guān)系，并利用條件中角的信息來求解；利用角之間的關(guān)系，綜合正弦定理化邊為角，結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式的轉(zhuǎn)化，利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值.三角函數(shù)關(guān)系式的同構(gòu)并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的判定，合理構(gòu)建角之間的關(guān)系，是破解問題的關(guān)鍵.

解法3：半角公式法.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式，利用半角公式、兩角差的正切公式等加以變形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)建角之間的關(guān)系，并利用條件中角的信息來求解；而求解三角形的邊所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式的最值問題，同樣可以利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值問題.半角公式的巧妙應(yīng)用與轉(zhuǎn)化，為角之間的關(guān)系構(gòu)建提供更加廣闊的思路.

解法4：平面幾何法.

圖1

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式，利用三角形的內(nèi)角和公式加以轉(zhuǎn)化，通過兩角差的正弦與余弦公式以及二倍角公式加以展開，進(jìn)而化簡(jiǎn)三角關(guān)系式，求得對(duì)應(yīng)的角；確定角B的大小以及對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系后，要求解三角形的邊所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式的最值，可以借助平面幾何圖形，引入?yún)?shù)，結(jié)合三角函數(shù)的定義、勾股定理等，結(jié)合幾何直觀轉(zhuǎn)化，通過關(guān)系式的變形與參數(shù)的構(gòu)建，借助基本不等式來確定最值.利用平面幾何法分析與解決一些解三角形的相關(guān)問題，更加直觀形象.

4 教學(xué)啟示

4.1 思維視角歸納

破解解三角形問題的兩種常見思維視角：

①代數(shù)角度.根據(jù)題設(shè)條件，利用正弦定理或余弦定理等，實(shí)現(xiàn)三角形中邊與角之間的巧妙轉(zhuǎn)化，進(jìn)而構(gòu)建關(guān)于三角形的角或者邊等元素之間的關(guān)系進(jìn)行分析與求解；利用平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建，通過相應(yīng)的坐標(biāo)表示來尋找三角形的角或者邊等元素之間的關(guān)系來應(yīng)用.代數(shù)角度中，經(jīng)常還要綜合三角函數(shù)、不等式、平面解析幾何等相關(guān)知識(shí)來分析與處理.

②幾何角度.根據(jù)題設(shè)條件，作出相應(yīng)的平面幾何圖形，合理尋找平面幾何圖形中蘊(yùn)藏的邊或者角等元素之間的幾何關(guān)系，通過直角三角形以及平面解析幾何知識(shí)等來分析與求解.

4.2 思維能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只注重“刷題”，做題要注重質(zhì)量，少而精.通過做題掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)思維的多角度，避免思維定式，做到舉一反三，是我們“促雙減”過程中必須要思考的問題.