函數(shù)零點(diǎn)問題解決策略

?四川省達(dá)州市第一中學(xué)校 向 峰 任宏昇 張 帥

人教版教材必修1第三章“函數(shù)與方程”內(nèi)容體現(xiàn)了聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想，方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、圖象的交點(diǎn)相互化歸轉(zhuǎn)換，就是將不能直接解決的問題向簡(jiǎn)潔、容易解決的問題轉(zhuǎn)化.教材上明確給出結(jié)論：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn).這個(gè)結(jié)論實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)的就是聯(lián)系轉(zhuǎn)化、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)習(xí)者綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)轉(zhuǎn)換思想，開拓解題思路，提高數(shù)學(xué)能力.

下面結(jié)合具體案例，對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問題的解決策略進(jìn)行探究.

1 轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題

由函數(shù)零點(diǎn)定義可知，方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，即為函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).于是，可直接通過函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況來研究函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)情況.

例1已知函數(shù)f(x)=xex-a(lnx+x),a∈R.若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：先研究函數(shù)f(x)的特征和性質(zhì)，得出函數(shù)f(x)的圖象，注意函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、界點(diǎn)，觀察函數(shù)f(x)圖象與x軸的交點(diǎn)情況，即可解決問題.

①易知a≤0不合題意.

②當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)g(x)=xex-a,x>0，則g′(x)=(x+1)ex>0，即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又g(0)=-a<0，當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→+∞.則存在唯一x0∈(0,+∞)，使g(x0)=0，即x0ex0-a=0.當(dāng)0x0時(shí)，g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；又當(dāng)x→0+時(shí)，f(x)→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞.

則由題意可知，只需

fmin(x)=f(x0)=x0ex0-a(lnx0+x0)<0.又x0ex0-a=0，則只需

a-a(lnx0+x0)=a(1-lnx0-x0)<0.

又a>0，則只需1-lnx0-x0<0.而t(x0)=1-lnx0-x0在(0,+∞)上單調(diào)遞減，又t(1)=0，故需x0>1.進(jìn)而研究a=x0ex0的值域，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e,+∞).

2 轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線y=a的交點(diǎn)問題

教材上“函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)”，體現(xiàn)了將函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=0有交點(diǎn).其中y=0是最為特殊的直線，而在具體問題中，有時(shí)候?qū)栴}轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=a有交點(diǎn)，解決過程更為簡(jiǎn)潔.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e,+∞).

3 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題

有時(shí)候，分析函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，可將函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解問題，再轉(zhuǎn)化為方程g(x)=φ(x)的實(shí)數(shù)解問題，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g(x)與y=φ(x)圖象的交點(diǎn)問題.

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=xlnx，直接可得零點(diǎn)x=1，符合題意.

圖1

4 轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)數(shù)解問題

函數(shù)零點(diǎn)問題本質(zhì)上就是方程的實(shí)數(shù)解問題.而有的復(fù)雜函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，基本轉(zhuǎn)化難以解決問題.要先把函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解問題，注意等式兩邊構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)；再把方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為方程g[h(x)]=g[t(x)]有實(shí)數(shù)解，通過g(x)的單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為方程h(x)=t(x)的實(shí)數(shù)解問題，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的；最后把方程h(x)=t(x)的實(shí)數(shù)解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=s(x)的圖象與直線y=m的交點(diǎn)問題(或函數(shù)y=φ(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)問題).

例3已知f(x)=xex+x-axalnx-alnx在(1,+∞)上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：此函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，直接求導(dǎo)研究單調(diào)性困難，不易轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn).另外，由于函數(shù)結(jié)構(gòu)限制，不能分離參數(shù)a，無法轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=a的交點(diǎn)問題,也難以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g(x)與y=φ(x)圖象的交點(diǎn)問題.這里，f(x)=xex+x-axalnx-alnx有零點(diǎn)等價(jià)于方程xex+x=axalnx+alnx有實(shí)數(shù)解，變形結(jié)構(gòu)，原問題等價(jià)于xex+x=(alnx)ealn x+alnx有實(shí)數(shù)解.根據(jù)等式兩邊的結(jié)構(gòu)，設(shè)函數(shù)g(x)=xex+x，x>1,由函數(shù)g(x)單調(diào)性可知原問題等價(jià)于x=alnx在(1,+∞)上有實(shí)數(shù)解.

5 轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)內(nèi)外函數(shù)的圖象問題

對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的零點(diǎn)問題，我們可以從內(nèi)層和外層來認(rèn)知，設(shè)t=g(x)，則問題轉(zhuǎn)化為方程f(t)=0與方程t=g(x)的實(shí)數(shù)解問題，再在兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=f(t)與t=g(x)的圖象，通過觀察兩函數(shù)圖象關(guān)系即可解決問題.

對(duì)于例1，我們通過分析lnx+x與xex的結(jié)構(gòu)，找到聯(lián)系，即xex=eln x+x.設(shè)t=lnx+x,x>0，則g(t)=et-at,t∈R.而t=lnx+x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，t和x一一對(duì)應(yīng)，則原問題等價(jià)于g(t)=et-at在t∈R上有兩個(gè)零點(diǎn).這種類型問題就是要抓住內(nèi)外層函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)性，利用兩圖象對(duì)應(yīng)的位置關(guān)系解決問題.例1的第三種解法如下：

略解：易知a=0時(shí)g(t)=et-at無零點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，由g′(t)=et-a<0,得t0,得t>lna.則g(t)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.故g(t)在t=lna時(shí)有唯一的一個(gè)最小值

gmin(t)=g(lna)=a(1-lna).

再以0e分類討論即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e,+∞).

不難看出，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，核心就是考查化歸轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.具體做法就是把函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.先通過求導(dǎo)(基本函數(shù)就不需求導(dǎo))研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，按題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，最后借助數(shù)形結(jié)合思想，觀察兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)系，觀察其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，函數(shù)就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).這樣利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法去處理問題，可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).