用割補法巧解一類幾何題

?陜西省西安市田家炳中學 馮恒仁

1 割補法的內涵

所謂割補法就是把一個復雜圖形的長度、角度、面積或體積的計算分割成若干個簡單圖形的有關計算，或者將一個不易求出長度、角度、面積或體積的幾何圖形補形為較易計算的幾何圖形.例如，把梯形割補成平行四邊形、矩形、直角三角形，把斜三角形割補成直角三角形，把斜棱柱割補成直棱柱，把棱錐補成棱柱(常見的題是將特殊的三棱錐、四棱錐補形為長方體、正方體)，把多面體切割成錐體，把不規則的幾何體割補成規則的幾何體，從而把復雜的轉化為簡單的、把不夠直觀的轉化為直觀易懂的.

2 割補法在解題中的應用舉例

2.1 在平面幾何中的應用

例1如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=5，BC=3，CD=1，DA=2，求梯形的面積.

分析：要求梯形的面積，就要求其高，進而就要求其一個內角.因此，過一個頂點作一條腰的平行線，把其分割為平行四邊形和三角形，再作三角形的高，把三角形分割為直角三角形，由正弦函數的定義求出高.

圖1 圖2

解：如圖2，過點C作CE∥DA，交AB于點E，再過點C作CF⊥AB，垂足為F.

∵DC∥AE，CE∥DA，

∴四邊形AECD是平行四邊形.

∴CE=DA=2，AE=DC=1.

∴BE=AB-AE=4.

點評：梯形面積計算問題，輔助線的作法一般有兩種，一是過頂點作高，把梯形分割成直角三角形和矩形，還有一種就是過頂點作另一腰的平行線，把梯形分割為平行四邊形和三角形.本題兩種方法都用到了.

例2如圖3，分別以邊長為1的正方形ABCD的頂點B，C為圓心，1為半徑作圓弧AC，BD交于點E，求曲邊三角形ABE的面積.

分析：連接BE，EC，把曲邊三角形ABE的面積轉化為扇形ABE的面積減去弓形BE的面積.

圖3 圖4

點評：求弓形面積時，割補法是學生很容易掌握的一個典型的技巧.

圖5

(2)方法1：方程(組)法[1].

sinθ=2cosθ.

點評：充分利用正弦定理、余弦定理，列方程(組)，解方程(組)，屬于常規解法.雖然運算量有些大，但中規中矩，思路清晰，不難掌握.

方法2：補形法.

圖6

點評：通過補形，轉化為特殊的三角形，雖然還是用正弦定理、余弦定理求解，但與方法1比較，運算量較小.

方法3：分割法.

如圖7，過點C作CN⊥AD,垂足為N，過點B作BM⊥CN,垂足為M.

由已知得，四邊形ABMN是矩形.

又MN=AB=1，則CM=1，BM=1.

點評：與方法2相比，方法3運算量更小.

圖7 圖8

方法4：割補法.

如圖8，分別延長CB,DA,設CB∩DA=E,過點C作CN⊥AD,垂足為N.

由已知可得△ABE和△NCE都是等腰直角三角形，且AE=AB=1.

點評：與方法3相比，方法4更簡潔，只要把題目中的弧度改為角度，初三學生都可以很快算出結果.

2.2 在立體幾何中的應用

例4已知正四面體A-BCD的棱長為a，求該正四面體的外接球的表面積和體積.

圖9

分析：如圖9，將正四面體A-BCD補成正方體.則正方體的面對角線長為a，正方體的外接球就是正四面體A-BCD的外接球.

解：如圖9，將正四面體A-BCD補成正方體，正方體的外接球就是正四面體A-BCD的外接球.

例5已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值[2].

圖10

解法1：如圖10所示，延長CB至D，使BD=BC，連接AD，B1D.

∵B1C1∥BD，B1C1=BD，

∴四邊形B1C1BD是平行四邊形.

∴C1B∥B1D.

∴∠AB1D或其補角為異面直線AB1與BC1所成的角.

在△ABD中，由余弦定理，得

AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=3.

點評：對于兩條異面直線所成的角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置.本題是固定一條，平移另一條，把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角，再通過解三角形求之，屬于常規解法.

圖11

解法2：如圖11，將直三棱柱ABC-A1B1C1補形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接AD1，B1D1，BD.

在△ABD中，由余弦定理知

BD2=22+12-2×2×1×cos60°=3.

因為AD1∥BC1，所以直線AB1與AD1所成的角即為直線AB1與BC1所成的角.

點評：將直三棱柱ABC-A1B1C1補形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，異面直線AB1與BC1所成角更容易找到.

3 總結

巧妙利用割補法求解一些幾何問題，關鍵是根據已知條件將原圖形通過分割或補形轉化為規則圖形或特殊圖形，從而使問題簡單化，這一過程也充分體現了化歸與轉化思想.