借助隱圓解決向量問題 直觀想象彰顯魅力

?上海市市西中學 龐良緒

《普通高中數學課程標準(2017年)》指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決問題，主要表現為：建立數與形的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題[1].平面向量具有幾何與代數的“雙重身份”，加之解法靈活多樣，備受命題者的青睞.縱觀歷年的高考及模擬試題，它們大多數都有優美的幾何背景，因此，若能透過向量語言把握其幾何直觀，尤其其中一些試題若能挖掘出隱含的圓，可以避免復雜的代數運算，能使問題快速獲解.下面舉例說明.

1 半徑圓

圖1 圖2

2 直徑圓

圖3

例4已知向量a,β是平面內兩個互相垂直的單位向量,且(3α-γ)·(4β-γ)=0.則|γ|的最大值為.

圖4

3 四點圓

若四邊形ABCD對角互補，則A,B,C,D四點共圓.

圖5

4 極化圓

圖7

5 阿波羅尼斯圓

上述介紹了借助隱圓解決平面向量問題，需要指出的是，在問題解決的過程中，并不是追求高難度的解題技巧，而是著眼于對數學問題和數學本質的理解，在重視幾何直觀的同時，也不能忽視代數運算.要引導學生達成“腦中有形”(亦即數學抽象、直觀想象)，心中有數(亦即邏輯推理、數學運算)，手中有術(亦即數學建模、數據分析)[2].