一道不等式證明的探究

?福建省莆田第六中學 李德琳

我們熟知的重要不等式結論“ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立”“lnx≤x-1，當且僅當x=1時等號成立”，經常巧妙設置于題中，是破解一些與不等式有關的問題比較常用的重要結論.創設數列不等式的證明問題，是高考數學中比較常見的一類綜合交匯題，合理融合函數與方程、導數、數列、不等式及其證明等眾多知識，實現命題的綜合性、交匯性與創新性，倍受各方關注.

1 問題呈現

問題[陜西省咸陽市2022年高考模擬檢測(二)數學(理科)試題·21]已知函數f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求實數k的取值范圍；

此題以含參函數所對應的不等式恒成立來巧妙創設情境，進而確定對應參數的取值范圍，在此基礎上構建重要不等式結論“lnx≤x-1，當且僅當x=1時等號成立”，進而通過合理代換，結合放縮處理與變形，巧妙證明對應的數列不等式.

2 問題破解

方法1：分類討論法+裂項法1.

當k≤0時，f′(x)>0恒成立，則函數f(x)在(0，+∞)上單調遞增.

因為f(1)=-k+1>0，所以f(x)≤0不恒成立.

所以實數k的取值范圍是[1，+∞).

(2)證明：由(1)知，當k=1時，有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0，+∞)恒成立，當且僅當x=1時等號成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

當n≥3時，

解后反思：解決與含參函數有關的不等式問題，可以借助參數的不同取值情況加以分類討論；而證明不等式時，利用(1)中重要不等式結論加以轉化，通過合理放縮，借助裂項求和來轉化，實現對應不等式的證明與應用.

方法2：分離參數法+裂項法2.

若x∈(0，1)，則g′(x)>0，函數g(x)單調遞增；若x∈(1，+∞)，則g′(x)<0，函數g(x)單調遞減.

于是gmax(x)=g(1)=1.

結合f(x)≤0恒成立，可得k≥1.

所以實數k的取值范圍是[1，+∞).

(2)證明：由(1)知，當k=1時，有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0，+∞)恒成立，當且僅當x=1時等號成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

解后反思：解決與含參函數有關的不等式問題，通過分離參數，借助構建函數，通過確定函數的最值得以解決參數的取值范圍問題，也是解決此類問題比較常見的一種技巧方法；不等式證明中的不同放縮尺度以及對應的裂項求和處理，都是解決問題的重點，關鍵是合理配湊與巧妙轉化.

3 變式拓展

保持創新問題背景，借助不同數列不等式的給出，通過不同類型的參數代換處理，實現不同數列不等式的證明問題，拓展思維，倡導應用.

變式1已知函數f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求實數k的取值范圍；

解析：(1)同原問題中的解析(1)，可得k≥1，所以實數k的取值范圍是[1，+∞).

(2)證明：由(1)知，當k=1時，有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0，+∞)恒成立，當且僅當x=1時等號成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

令x=n2(n∈N*，n>1)，代入lnx

變式2已知函數f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求實數k的取值范圍；

解析：(1)同原問題中的解析(1)，可得k≥1，所以實數k的取值范圍是[1，+∞).

(2)證明：由(1)知，當k=1時，有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0，+∞)恒成立，當且僅當x=1時等號成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

不妨令

變式3已知函數f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求實數k的取值范圍；

解析：(1)同原問題中的解析(1)，可得k≥1，所以實數k的取值范圍是[1，+∞).

(2)證明：由(1)知，當k=1時，有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0，+∞)恒成立，當且僅當x=1時等號成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

③

另一方面，令x=n2(n∈N*，n>1)，代入不等式lnx

④

解后反思：根據重要不等式結論“lnx≤x-1，當且僅當x=1時等號成立”的分析與求解，再結合所要證明的數列不等式的形式，抓住數列中相關項的結構特征，合理引入參數進行代換處理，結合不等式的性質以及所要證明的不等式結構的特征，巧妙放縮與轉化，從而實現數列不等式的證明與應用.

4 教學啟示

(1)記憶二級結論，掌握基本方法.

重要不等式結論“ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立”或“lnx≤x-1，當且僅當x=1時等號成立”，是導數及其應用中比較常見的二級結論，特別在一些小題(選擇題或填空題)中，結合指數式或對數式的特征結構，利用相應的二級結論合理放縮，巧妙化歸轉化，使問題的求解更加直接、便捷，是破解一些與不等式有關的問題比較常用的重要結論與技巧策略.

(2)巧妙參數代換，合理放縮處理.

涉及此類數列不等式的證明與應用，其實質就是巧妙利用重要不等式結論“ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立”或“lnx≤x-1，當且僅當x=1時等號成立”，借助結論實質結合數列不等式中相關的項加以合理參數代換，對比所證明不等式的結構特征與結論，合理放縮處理，巧妙變形轉化，從而實現不等式的證明.