高中數學新教材函數建模內容比較研究*
——以湘教版、人教A版和北師大版為例

?長江大學信息與數學學院 何 琴 郭金海

1 數學建模在高中數學教材中的意義

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》將“數學建模”列入數學六大核心素養之一.數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養[1].高中數學建模活動通常以小組為單位進行，有利于培養學生的團隊意識和分工協作精神[2].數學建模可以拉近人們在心靈上與數學的距離，促使人們在應用過程中更好地品味數學、理解數學和熱愛數學，啟迪人們的數學心智，促進優秀數學人才的培養[3].所以，數學建模應該是富有創新性的活動，能激發起學生的數學學習興趣.

2 教材比較

2.1 數學建模例習題數量與模型類型比較分析

湘教版、人教A版和北師大版三套教材的編寫側重點不同，對數學建模內容設計重視程度各有千秋.湘教版必修(第一冊)有關函數建模的主要內容分布在教材的第四、五章，就篇幅而言占17頁，共計24道題；“湘教版的亮點在于涉及應用的案例整體更具情境性”[4].而人教A版有關函數建模的主要內容分布在教材第三、四、五章的函數應用中，占29頁(包括數學建模專題)，共計31道題；從篇幅和數量來看，人教A版的題目數量最多，但更多的題目是為了讓學生熟悉問題的求解，而對觀察實際情境、如何建立函數模型的思考是欠缺的，可見教材對例習題的質量方面還有待提高.北師大版在題目數量上相對薄弱，主要分布在第五章和第八章(數學建模活動專題)，占23頁，共計15道題；題目設置比較開放、綜合性強，給學生更大的思考空間，著重培養學生觀察實際生活情景、運用自己的方法解決問題的能力；但在學生學完必修一基本內容之后開展數學建模活動，將內容編排在最后一章節，學生已經學完函數的基本內容，會忽視數學建模的重要性.

三套教材都對指數函數、對數函數、冪函數以及三角函數刻畫了一系列模型，涉及人口調查、金融投資、放射性物質的衰減等較多現實生活中或者學科交叉的內容，讓學生更能感受到數學既來源于生活，又能解決其實際問題.其中湘教版和北師大版對冪函數模型應用次數最多，而人教A版應用指數函數模型最為頻繁.如果教材能夠讓學生對所學的函數模型都有接觸使用，了解各個函數模型在日常生活中的作用，遇到問題能夠“對癥下藥”，不只側重某一方面，而是接觸更多原生態真實模型，才能讓學生感受數學建模的魅力.

2.2 建模題目功能的比較分析

根據分析可以發現，湘教版在學完指數函數、對數函數以及冪函數后，通過幾種函數增長快慢的比較，把不同類型的函數比喻成不同的人賽跑，如函數開運動會、函數賽跑等，語言幽默，增加了學生學習數學的趣味性.不同類型的模型之間進行比較，找出跑得最快的函數，這樣的安排能讓學生更好地掌握不同類型函數的相關性質及其特點.

湘教版在“形形色色的函數模型”例3中，1-4月的產量分別為1萬臺，1.2萬臺，1.3萬臺，1.37萬臺.公司暫時不準備增加設備和工人，為了保持供給和需求平衡，需要估測以后幾個月的產量.

用“超級畫板”進行四個函數模擬(見圖1：一次函數、二次函數、冪函數和指數函數)，估算出無人機幾個月后的產量.一次函數模擬在不增加工人和設備的條件下，產量會每月增加1 000臺，這是不太可能的；二次函數模擬四月份的產量比實際產量少了700臺，8月之后產量為負數，很明顯不符合實際情況；利用冪函數模擬時，三月的產量比實際多了500臺，四月的產量比實際多了1 100臺，與實際產量差距較大；而在指數函數模擬過程中，四月的產量為1.35萬臺，這與第四個月的實際產量比較接近.選擇函數模型時，不僅要考慮到生產的實際情況，同時還要使誤差最小，經過篩選，選出指數函數為比較接近客觀實際的模型.其中在利用冪函數模擬時，將數據理想化，簡化了建立函數模型的步驟，雖然便于求解，但是不利于學生形成良好的數學建模思維.

圖1

人教A版在函數的應用中呈現了兩道分段函數例題，研究了生活中的稅收問題和時間與路程問題，對后面的人口模型、放射性物質的衰減模型、投資回報模型以及獎勵模型的學習起到了拋磚引玉的作用，由淺入深，逐步推進.在數學建模專題中，“85 ℃的綠茶降至60 ℃時飲用，口感最佳”，為解決“剛泡好的茶水在室溫25 ℃下達到最佳口感的時間”問題，以小組為單位，首先利用秒表、溫度計等工具收集數據，然后整理數據畫出散點圖，考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，選取指數函數來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規律，最后檢驗這個函數模型與實際數據基本吻合，說明剛泡好的茶水在室溫25 ℃下達到最佳口感大約需要7 min.在學生結束活動后，教材通過數學建模的框圖(如圖2)概括了活動過程，并給出了不同的選題供學生參考，使學生感悟數學與現實之間的關聯.類似于專題這樣完整的數學建模過程在教材中非常少見，更多的題目則是明確地告訴學生應該用哪個函數模型，學生在練習的過程中，什么題型套用什么模型能迅速作出判斷，這種問題更像是“披著數學建模頭紗的應用題”，雖然為解題節省了大量的時間，但會讓學生缺失提出問題以及自行建立數學模型的體驗，很難提高學生的數學建模素養.

圖2

北師大版教材第五章對函數問題進行探究，其中實際問題的函數模型分為兩部分：實際問題的函數刻畫和利用函數模型解決實際問題.案例充分展示了建模的過程，有利于培養學生的建模思維.另外，完成一系列的建模過程后，結尾處總結了函數模型，同時在后面的習題中鼓勵學生通過獨立思考或查閱資料，自行給出一般情況下的函數模型.不僅可以檢測學生知識點的掌握情況，同時也可以培養學生數學建模的興趣.在數學建模活動專題中，以數學史——歐拉的七橋問題作為導入走進數學建模，通過哥尼斯堡七橋問題的解決展示了數學建模的過程和意義.為了更好地讓學生體驗建模的過程，教材以綠燈亮時(每次亮綠燈的時長為15 s)通過十字路口汽車的數量為例，經過收集數據對相關因素的分析，提出幾個有利于建立模型、基本符合實際情況的假設，將實際問題轉化為數學問題建立相關模型求解，最后到十字路口實地調查，對結論進行檢驗，在結尾處總結了數學建模的步驟(如圖3)，并摘錄了一些關于自然、社會和生活方面的問題供學生參考.雖然北師大版的函數建模內容與實際生活聯系緊密，但缺乏主線知識與數學建模之間的聯系.若一道題目涉及多種函數模型，則可以提高題目效用，像湘教版那樣對不同的函數模型進行模擬，學生不僅能夠比較不同函數之間的特點，更能提高數學應用能力.

從題目功能來看，教材都能很好地通過題目示范來引領學生提升建模能力.湘教版側重于簡化模型步驟，但不利于學生形成良好的數學建模思維.人教版更側重于提示學生選用哪種數學模型，卻很難達到培養獨立建立模型能力.北師大版則重視示范，綜合性強，培養思維育人能力，能幫助學生深刻理解建模，但與主線知識聯系不太緊密.

2.3 數學軟件的使用比較分析

依據實際問題建立模型后，數學軟件的輔助，一定能起到錦上添花的效果.湘教版涉及了四個數學實驗板塊，介紹了如何用“超級畫板”畫函數圖象并插入相關表格，結合“超級畫板”進行函數模擬從而解決實際問題.人教A版和北師大版的信息技術應用欄，也都利用了數學軟件《GeoGebra》繪制函數的圖象和表格.尤其是北師大版教材在閱讀材料部分專門介紹了《GeoGebra》，另外在第四章設置了“信息技術支持的函數研究”一節，以畫對數函數圖象為基礎，研究其單調性以及變化規律，為學生學習數學建模提供了良好的技術支持.由于在該節內容中沒有具體的數值，學生操作起來可能比較困難.雖然北師大版教材花費了大量篇幅介紹了數學軟件的相關應用，但在函數建模的過程中，并沒有借助《GeoGebra》軟件對函數進行模擬，因此，學生既體驗不到數學軟件的方便之處，又不能激發學生數學建模的興趣.與北師大版類似，人教A版在第四章結束后設置了建立函數模型解決實際問題的專題，用“茶水水溫問題”來演示數學建模過程，如果能夠利用信息技術，通過函數擬合的方法選擇合適的函數模型，會大大地提高數學建模教學的效率，課堂教學氛圍也會更加濃厚，這是傳統的畫散點圖很難做到的.函數模型應用中的資金投資模型雖然運用了數學軟件進行函數模擬比較，但這個例子缺乏真實情境，不利于學生收集數據以及提出問題.相比于這兩個版本，湘教版也同樣只有一道例題在進行函數建模時借助了信息技術模擬.

通過比較發現，這三個版本教材的數學軟件在函數模型中使用頻率并不高，盡管有篇幅介紹數學軟件的便利性和重要性，卻沒有將其應用到模型中.如果教材能夠充分利用數學軟件幫助學生理解函數模型，則會對學生構建數學建模思想起到事半功倍的效果.比如，將數據用計算機繪制成圖象分析出合適的函數模型，以及根據實際情況修改模型等.

3 結論

依據《普通高中數學課程標準》，通過對三個不同版本教材中的數學建模內容進行分析，能夠促使教師對教材中建模內容的重視，提升學生數學建模的素養.建模題目功能的介紹幫助教師向學生傳達數學的價值，將生活與數學建立聯系，注重數學模型的應用.數學軟件的使用不僅讓圖象更加直觀形象地展示在學生面前，還能引導學生積極地參與到數學建模過程中去，提高學生的動手操作能力，使學生對數學有了新的認識.