應(yīng)用題審題三部曲
——以一道有理數(shù)加法應(yīng)用題為例

?江蘇省如皋市白蒲鎮(zhèn)初級中學 駱建華

題目小亮用50元錢購買了10支鋼筆，準備以一定的價格出售．如果每支鋼筆以6元的價格為標準，超出的部分記為正數(shù)，不足的部分記為負數(shù)，記錄如下：0.5，0.7，-1，-1.5，0.8，1，-1.5，-2.1，0.9，0.9.

(1)這10支鋼筆中售價最高的和售價最低的各是多少元？

(2)當小亮賣完鋼筆后是盈利了，還是虧本了？

分析:這是一道與正負數(shù)意義有關(guān)的問題，是學生在學習了有理數(shù)加法后呈現(xiàn)的一道例題．由于本題處于人教版教材七年級上學期的第一單元中，是學生進入第三學段后接觸到的第一類通過數(shù)學運算解決的應(yīng)用題，因而，我們可以把此題的探索作為發(fā)展學生應(yīng)用題審題能力的開端，引導(dǎo)學生經(jīng)歷條件分析、思路探索和模型建構(gòu)的全過程，并從最初就形成審題的基本套路，為后面解決更復(fù)雜的應(yīng)用問題夯實基礎(chǔ)．基于這種想法，筆者建議按照如下步驟進行審題教學．

1 通讀全題，分析內(nèi)涵結(jié)構(gòu)

審題教學，培養(yǎng)學生通讀全題的習慣是第一步．從小學到初中，學段跨越對學生的認知水平和數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展要求大幅度提升．大量豐富的生活情境涌入學生的數(shù)學認知活動中，學生面對的數(shù)學問題不再只是幾十個字的單一文本陳述，百字以上的題目比比皆是．在這些大容量文本信息之外，題目有時還會配上豐富的圖形、符號及表格以承載更多的數(shù)學信息．這么多的信息，顯然不是簡單地看看就能準確獲取的，更不要談一目十行快速瀏覽了．這需要學生學會分步審題，讓題目信息在“通讀到精讀”中逐步顯露出來．通讀，不是泛泛而讀，而是要結(jié)合題目有針對性地閱讀，在厘清題目內(nèi)涵的同時，也要分析出題目的基本架構(gòu)．以本文中的例題為例，通讀該題，我們至少要理清：(1)這是一個商品銷售問題，涉及到了商品的進價、標價、售價、總價、單價、利潤等數(shù)量信息.(2)本題的條件部分，呈現(xiàn)了(1)中的所有信息，問題部分包含求鋼筆的最高售價和最低售價，以及判斷鋼筆賣完后的盈利情況．這樣帶有目的性的通讀，能保證學生在兩個維度上獲取有益信息：一是本題是哪一類數(shù)學問題，這讓學生對接下來解題中可能會用到哪些數(shù)量關(guān)系有個初步了解，以保證對解題思路分析和解題模型選擇有一個大致方向；二是題目的條件與問題分布，也就是條件在何處，“問題”在哪兒，這對下一步精讀是很有意義的．初中學段中，不少數(shù)學問題的條件和所要求的結(jié)論是混在一起的，像本文中例題這樣分得開的，還是比較少.因此，讀題時若不能集中精力分析“給了什么”和“要求什么”，則會很容易暈頭轉(zhuǎn)向．通讀數(shù)學題，分清條件和結(jié)論的“方位”，將有利于學生集中注意力獲取關(guān)鍵信息，這雖是后話，此時介紹，將更有利于大家理解通讀的價值．通讀時，我們還應(yīng)厘清問題的具體內(nèi)涵及架構(gòu)，這不僅是下一步精讀的方向，也是我們找尋問題解決思路的方向．所以，在通讀的過程中，要重點分析題目的結(jié)論(或問題)，并嘗試把這些結(jié)論(或問題)與已有知識網(wǎng)絡(luò)中的知識點產(chǎn)生聯(lián)系，看看與誰有關(guān)，比如本題第(1)問中的最高售價就與標準售價及差額有關(guān).這樣將問題與關(guān)聯(lián)知識結(jié)合進行分析，對下面的閱讀非常有利．

2 細讀題干，找出核心數(shù)量關(guān)系

應(yīng)用題教學，絕不能脫離數(shù)量關(guān)系來談思路分析與問題解決．不管是本文中用有理數(shù)加法解決的數(shù)學問題，還是后面用方程、不等式、函數(shù)解決的數(shù)學問題，其教學內(nèi)核都是數(shù)量關(guān)系．因此，引導(dǎo)學生分析題中的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)成為應(yīng)用題教學的核心．那么，數(shù)量關(guān)系又在何處呢？筆者以為，在通讀全題后，我們應(yīng)從題目給定的條件中挖掘所有數(shù)量，探尋其中的相互關(guān)系，進而挖掘出與所要解決的問題高度相關(guān)的數(shù)量關(guān)系．如本文例題中，50元是總進價，10支是鋼筆的數(shù)量，每支6元是標準售價，而給出的0.5，0.7，-1，-0.9(單位：元)等是實際售價與標準售價間的差額．在這些量之間存在著“總售價=總進價+利潤”“單價×數(shù)量=總價”“實際售價-標準售價=差額”“每支鋼筆的售價之和=全部售價”等數(shù)量關(guān)系．這些數(shù)量關(guān)系中，究竟哪個最重要，哪些數(shù)量關(guān)系在問題解決中能發(fā)揮作用，這還要取決于題目的“問題”．這是后話，這里只說說如何從題干中搜尋核心數(shù)量．在通讀環(huán)節(jié)，我們已經(jīng)摸清了題目的類型，對題中可能存在的各種量和相互關(guān)系有一個初步的認識，而題目中是否真的存在這些數(shù)量，以及這些數(shù)量間的關(guān)系是否真如預(yù)想中的那樣，還需要進一步深挖條件．比如，一般商品銷售問題中，會有“單價×數(shù)量=總價”，而細細分析本題的題干中，除“進價50元，數(shù)量10支”間或許會存在這樣的關(guān)系外，其余的數(shù)量之間并無此關(guān)系，也就是說這一關(guān)系在本題并非核心數(shù)量關(guān)系.而題中給出的那些“用正負數(shù)表示的標準售價與實際售價間差額”的一組數(shù)據(jù)則顯示，近期所學的正負數(shù)的意義或許是本題應(yīng)用的重點．因而對差額獲得式子的變形及形成差額的過程則應(yīng)成為本題核心數(shù)量關(guān)系．所以教學時，必須引導(dǎo)學生理解“0.5，0.7，-1，……0.9”這組數(shù)據(jù)的真正含義．學生只有明確知曉“是如何獲得這組數(shù)據(jù)的”，才有可能把“實際售價”“標準售價”“售價差額”三個量及其關(guān)系式“售價差額=實際售價-標準售價”挖掘出來，并運用到下面的析題解題中去．

3 解讀問題，找尋解題模型

對于一道數(shù)學題，問題是不可缺少的．明晰問題的含義，僅是解決問題的開端，無論是“通讀”，還是“細讀”都會兼顧到對題目問題的分析．但這種分析的深度尚不足以形成解決問題的思路，只有專門對問題進行解讀，學生才能努力把腦海中與問題解決相關(guān)的知識關(guān)聯(lián)起來，也才有可能形成問題解決的思路．所以，在剖析題中數(shù)量關(guān)系，并找尋到核心的數(shù)量關(guān)系后，對問題的深度解讀就特別重要了．我們要反復(fù)研讀問題，多角度分析：要求什么？我們需要什么？題目給了什么？求出什么就可以解決問題？在這些小問題的反復(fù)思量與解決中，題目的內(nèi)涵、架構(gòu)及其蘊涵的數(shù)量關(guān)系將進一步明確，進而問題解決的思路也將得到確認．比如本題第(1)問的最高售價、最低售價，就涉及到了標準售價和實際售價兩個知識點，而所求的就是實際售價的最大值與最小值．自然應(yīng)用標準售價與實際售價、差額之間的關(guān)系式解決問題，即“實際售價=標準售價+差額”.而由于標準售價是固定的6元/支，因此最大值就應(yīng)取差額的最大值代入上述模型計算，而最小值則同樣應(yīng)取差額最小值代入模型進行求值．再如第(2)小問：盈利了，還是虧本了？這顯然是商品銷售中的利潤問題．利潤的求法有兩個常用模型：利潤=售價-進價(下稱“模型1”)，利潤=進價×利潤率．從題目給出的條件看，并沒有出現(xiàn)利潤率，顯然問題解決與第二個模型沒有太大的關(guān)系．所以接下來便是圍繞模型1的自我思辨．題中的售價有兩個：一個是標準售價6元/支，另一個是實際售價，它等于“標準售價+差額”．所以問題的解決還是集中到標準售價與差額上來．如何求？有了上面的分析，顯而易見有兩個方法：一是把每支鋼筆的實際售價求出來，再去求“總售價-總進價”的結(jié)果；二是整體考量，求出標準總售價與總差額之和即可得實際總售價，再去套用模型1求利潤即可．顯然方法二比方法一計算量小了不少，出錯的可能性自然也會隨之減小.以上方法實際上是我們在數(shù)學問題解決中常用的方法，從條件出發(fā)思考問題，在問題分析中回看條件：有什么？能得到什么？還需要什么？一步步走來，解題模型自然也就出來了．

應(yīng)用題一直是數(shù)學教學的難點．多樣的問題情境，煩雜的數(shù)量關(guān)系，對學生獲取有用的解題信息形成了極大的干擾．如何排除干擾，讓思維行走在問題解決的正確道路上呢？筆者以為，培養(yǎng)學生的審題習慣是非常重要且十分有效的手段．階段性審題，將有利于學生集中注意力攻克時堅，把問題解決的路徑分支化，在不斷充實、豐富中逐步形成完整的思路，達成解題目標．所以，培養(yǎng)學生的審題習慣，應(yīng)從學生進入初中后立即著手展開．要借助每一次數(shù)學問題的求解探索培養(yǎng)學生分步審題的習慣，讓學生在反復(fù)歷練中形成審題思維的范式，逐步形成個性化的分析問題和解決問題的策略．本文中，筆者所呈現(xiàn)的應(yīng)用題審題三部曲就是引玉之磚，僅供廣大師生參考，不當之處，敬請批評指正．