二次函數(shù)增減性性質(zhì)新說及其應(yīng)用

?福建省武夷山市第二中學(xué) 林夢(mèng)雨

1 引言

增減性是拋物線的一條非常重要的性質(zhì)，也是重要的考點(diǎn)，下面就對(duì)性質(zhì)及其應(yīng)用歸納如下，僅供學(xué)習(xí)時(shí)借鑒.

2 引理

(1)當(dāng)a>0時(shí)，若d1>d2，則y1>y2；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，若d1>d2，則y1

下面以a>0為例加以證明.

證明：如圖1.

圖1

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，若d1>d2，則y1>y2成立.

3 引理運(yùn)用

3.1 判斷最小值是否正確

A．2 B．3 C．4 D．5

由a>0，得c<0，則abc<0，故①正確.

所以正確的個(gè)數(shù)有5個(gè).故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)情況、二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，需靈活運(yùn)用二次函數(shù)的以上相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．

3.2 根據(jù)最大值計(jì)算參數(shù)值

圖2

由拋物線y=ax2-2ax+c過點(diǎn)A，可得c=1.

點(diǎn)評(píng)：解答時(shí)，有三點(diǎn)需要把握好.一是用好配方法確定拋物線的對(duì)稱軸；二是用好“ady”法則計(jì)算距離d并準(zhǔn)確比較大小；三是靈活運(yùn)用分類思想，結(jié)合“ady”法則計(jì)算即可.

3.3 判斷結(jié)論的正誤

例3(2021·日照)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸是直線x=-1，其圖象如圖3所示．下列結(jié)論：①abc<0；②(4a+c)2<(2b)2；③若(x1，y1)和(x2，y2)是拋物線上的兩點(diǎn)，則|x1+1|>|x2+1|時(shí)，y1

圖3

A．4 B．3 C．2 D．1

解析:由拋物線圖象開口向上，可得a>0.又對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，所以a，b同號(hào)，即b>0.

由拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，得c<0.所以abc<0，故①正確．

(4a+c)2-(2b)2=(4a+c+2b)(4a+c-2b)，當(dāng)x=2時(shí)ax2+bx+c=4a+c+2b，由圖象可得4a+c+2b>0，當(dāng)x=-2時(shí)，ax2+bx+c=4a+c-2b，由圖象可得4a+c-2b<0，所以(4a+c)2-(2b)2<0即(4a+c)2<(2b)2.故②正確．

|x1+1|=|x1-(-1)|，|x2+1|=|x2-(-1)|.由|x1+1|>|x2+1|及a>0，得y1>y2，故③錯(cuò)誤．

因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，m)且a>0，所以y≥m，即ax2+bx+c≥m，即拋物線與直線y=m有交點(diǎn)，而m-1位于直線y=m下方，故拋物線與直線y=m-1無交點(diǎn)，方程ax2+bx+c=m-1無實(shí)數(shù)根.故④正確.

綜上所述，①②④正確.故選：B．

點(diǎn)評(píng)：解答時(shí)，有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)要把握好.一是“ady”法則的理解和運(yùn)用，這可以準(zhǔn)確判斷結(jié)論③；二是靈活運(yùn)用函數(shù)的最小值以及數(shù)形結(jié)合思想判斷方程的根，這一點(diǎn)也是很重要的.

3.4 比較函數(shù)值的大小

例4已知二次函數(shù)y=ax2-3ax+c(a<0)的圖象上有三個(gè)點(diǎn)(-1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是( ).

A.y2

C.y1

故選：D．

點(diǎn)評(píng)：解答時(shí)，準(zhǔn)確計(jì)算拋物線的對(duì)稱軸以及點(diǎn)的橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離是解答的基礎(chǔ)性條件，熟練掌握“ady”法則是解題的關(guān)鍵．

4 解后反思

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，熟練掌握其性質(zhì)更是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一，特別是增減性尤其重要.為此，要做到如下三點(diǎn).

(1)掌握增減性的基本描述方式，這是掌握性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是性質(zhì)變形的根本依據(jù).

(2)靈活掌握創(chuàng)新的“ady法則”，法則與原性質(zhì)對(duì)比有兩大優(yōu)點(diǎn)：一是不需要判斷點(diǎn)與對(duì)稱軸的位置關(guān)系，不需要分其在對(duì)稱軸的左側(cè)還是右側(cè)，避免了解答時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤；二是解決了二次函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)的函數(shù)值的大小比較問題，提高了解題效率.

(3)通過性質(zhì)的運(yùn)用，數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、絕對(duì)值思想都得到了充分的展示和應(yīng)用，這也是解題時(shí)必須要牢記的.