基于直線積分邊界元法的溫度應力研究

劉彪 高宇 李通盛 程勇剛 王橋 周偉

摘要： 邊界元法作為一種半解析解的數值計算方法，除了在同自由度下能夠獲得相對更高的精度以外，更為突出的優點是降維，只需要對研究域的邊界進行離散。但是在進行溫度應力問題求解時，積分方程中會出現域積分。為了保證邊界元法降維的優點，基于散度定理提出將直線積分法的域積分轉化為邊界積分。邊界積分可以用帶積分點的邊界單元來計算。每個積分點可以構造一條積分線，由積分線上的線積分計算域積分。同時為了獲得更高的精度，可以利用背景單元網格將積分線切割成更多的子線進行計算。最后通過一個矩形梁的熱彈性分析和一個重力壩的溫度應力分析驗證了所提方法的有效性和精度。

關 鍵 詞： 直線積分邊界元法; 降維; 域積分; 熱應力

中圖法分類號： ?TV311

文獻標志碼： ?A

DOI： 10.16232/j.cnki.1001-4179.2022.03.027

?? 0 引 言

對于混凝土結構而言，無論是施工期還是運行期，溫度應力自始至終是一個關鍵的影響因素? [1-4] ，如若處理不當，極有可能產生溫度裂縫，進而影響大壩結構安全，因此進行混凝土壩內部的溫度應力模擬分析是極為必要的。當前，有限元法（FEM）是一種廣泛應用的數值方法，也是進行壩體力學分析的主流計算手段。而相較于有限元法，邊界元法具有模型重建容易、只需要對邊界進行離散化計算等優點? [5-8] 。

但是當考慮溫度應力時，在邊界方程中會出現域積分，進而使得邊界元法失去了只需離散計算邊界的優點。為此，許多學者開展了研究。最為直接的方法是利用直接域積分法? [9] ，直接對研究域進行單元劃分，但是邊界元法因此失去了只要對邊界進行離散計算的優點。因而找出能保留邊界元法優點的計算方法成為了研究的重點。比如雙互易法（Dual Reciprocity Method，DRM）? [10-12] ：在DRM中，非齊次項可以用一系列函數進行逼近擬合，比如徑向基函數（Radial Basic Function，RBF），然后利用第二互易將域積分轉換為邊界積分，只需要邊界上和域內點的信息即可進行計算。但是該方法的精度較大程度上取決于域內點的位置和分布以及用來擬合逼近非齊次項的函數的種類。另外還有多互易法（Multiple Reciprocity Method，MRM）? [13] ，該方法多次應用互易定理到一系列高階基本解上，進而將域積分轉化為邊界積分。除此之外，特殊解法（Particular Solution Method，PSM）也是一種有效的計算方法，通過構造特殊解來擬合逼近。此外，高效偉教授提出了一種新的計算方法：徑向積分法（Radial Integration Method，RIM），該方法可以對徑向積分法中的徑向積分進行直接計算或者和徑向基函數耦合進行計算。

本文采用了一種新的直線積分法（Line Integration Method，LIM）處理域積分? [14-15] 。直線積分法基于散度定理將域積分轉化為包含一維線積分的邊界積分，只需要對邊界進行離散，首先通過邊界單元和八叉樹構建積分線，然后對一維積分線的結果進行求和即可得到最終結果。

1 考慮溫度應力的邊界積分方程結合前人研究，可知控制方程為

λ+μ u? j，ji +μu? i，jj - λ 1+v? ν βθ? ，i? ?y? =0 i，j=1，2; y ∈ Ω? ?（1）

式中：Ω為研究域，其邊界為Γ; μ和λ為拉梅常數;ν代表泊松比;θ代表溫度場;β 為熱膨脹系數。

1.1 位移積分方程

結合貝蒂互易定理，通過推導可以得到正則化的位移積分方程? [16] ：

c? ij? ?x? u i? x? = ∫? Γ U? ij? ?x ， y? t j? y? ?d? Γ? ?y? -??

∫? Γ T? ij? ?x ， y? u j? y? ?d? Γ? ?y? -

∫? Ω U? ij，j? ?x ， y?? λ 1+v? v βθ? y? ?d? Ω? ?y?? （2）

式中： U? ij? ?x ， y? 和T? ij? ?x ， y? ?為開爾文基本解，具體表達為

U? ij? ?x ， y? = 1 2A 1μr? h-1? ?A 2δ? ij? ?h-2 ?ln? ?1 r? +h-1 +r? ，i r? ，j?? T? ij? ?x ， y? = -1 A 1r h {r? ，k n k[A 3δ? ij +3r? ，i r? ，j ]-A 3 r? ，i n j-r? ，j n i???? （3）

以及

A 1=4 π h 1-ν ?A 2=3-4ν A 3=1-2ν i，j=1，2 h=1?? （4）

式中：? x = x? x 1，x 2 和 y=y y 1，y 2 分別為源點和場點;r 為2點之間的距離。

r? ，i = ?r ?x i? （5）

式（5）代表 r對x i 求導得到的導數，以及kronecker符號 δ? ij? 為

δ? ij =? 1，i=j 0，i≠j?? （6）

此外，

U? ij，j? ?x ， y? = ??-1 ???h+1 A 3r? ，i? A 1μr h? （7）

式（2）可以整理為以下形式：

c? ij? ?x? u i? x? =∫? Γ U? ij? ?x ， y? t j? y? ?d? Γ? ?y? -

∫? Γ T? ij? ?x ， y? u j? y? ?d? Γ ??y? -∫? Ω? Φ? i? x ， y? βθ? y? ?d? Ω? ?y?? （8）

其中，

c? ij? ?x? =?? 1 2 δ? ij ，邊界點 δ? ij ， 域內點? ??（9）

Φ? i? x ， y? = -2 1+ν r? ，i? A 1r h? （10）

顯而易見，式（8）中出現了一個域積分：

D 1=∫? Ω Φ i? x ， y? βθ? y? ?d? Ω? ?y? ??（11）

1.2 內部應力積分方程

結合高效偉教授編著的《高等邊界元法》，可得內部應力積分方程：

σ? ij? ?x? =βθ? y? ∫? Γ r? ，m n m ln? r r ?Ψ?? ij? ?x ， y? ?d? Γ? ?y? +

∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x ， y? ?d? Ω? ?y? -∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x ， y? ?d? Ω? ?y? +

∫? Γ U? ijk? ?x ， y? t k? y? ?d? Γ -∫? Γ? Τ?? ijk? ?x ， y? u k? y? ?d? Γ -δ? ij bβθ? y?? （12）

其中，

Ψ?? ij? ?x ， y? = -4μ 1+ν? δ? ij - h+1 r? ，i r? ，j? ?A 1r? h+1? ?（13）

b= μ h+2? 1+ν? 3 1-ν?? （14）

U? ijk? ?x ， y? =? 1 A 1r h? A 3 δ? ki r? ，j +δ? kj r? ，i -δ? ij r? ，k? + ????h+1 r? ，i r? ，j r? ，k? ?（15）

T? ijk? ?x ， y? = 2μ A 1r? h+1? ??h+1 r? ，m n m A 3δ? ij r? ，k +? ??v δ? ik r? ，j -δ? jk r? ，i? - h+3 r? ，i r? ，j r? ，k? + A 3? h+1 n kr? ，i r? ，j +n jδ? ik +n iδ? jk? + ν h+1? n ir? ，j r? ，k +n jr? ，i r? ，k? -? A 2-2 n kδ? ij? ?（16）

而當 x ∈Γ時，邊界面力方程為

c? ij? ?x? ??t ??j? x? =c? ij? ?x? σ? ij? ?x? n j? x?? （17）

同樣可以觀察出，式（12）中出現兩項域積分

D 2=∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x ， y? ?d? Ω? ?y?? （18）

D 3=∫? Ω βθ ?x? ?Ψ?? ij? ?x ， y? ?d? Ω? ?y?? （19）

2 直線積分邊界元法

2.1 基礎理論

本節首先介紹退到直線積分法的一些基本定理，詳細的論證過程參見文獻[15]。

理論1：假設研究域? Ω 為一個有界平面區域，具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ，假設f? y? 為定義在緊實的研究域 Ω? 上的連續函數，定義矩形域B為包含域 ?Ω? 的一個研究域，函數g? y? 為f? y? 在域B上的延續，并且在域B/ Ω? 內幾乎處處連續且有界。對于任意點 y? y 1，y 2 ∈ Ω? ，定義函數F? y? ?為

F? y? y 1，y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t，y 2? ?d t （20）

其中，? y? y 1，y 2 ∈ Ω? ，a=y y 1，y 2 為有限函數， t t，y 2 ?為域B 內的點，并且設

F?? y? =F? y? ??e ??1， y? y 1，y 2 ∈ Ω? ?（21）

式中：? F?? y? 為對于y 1∈ Ω? 是連續可微的，? e ??1是笛卡爾坐標系中的單位基向量且? e ??1= 1，0 ?，并且

d? F （ y ） ?d y 1 =f（ y ）? e ???l?SymbolQC@· F （ y ）=f（ y ）??? y ∈ Ω? ?（22）

理論2：假設研究域? Ω 為一個有界平面區域，具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ，假設f? y? 為定義在緊實的研究域 Ω? 上的連續函數，定義矩形域B為包含域 Ω? 的一個研究域，函數g? y? 為f? y? 在域B上的延續，并且在域B/ Ω? 內幾乎處處連續且有界。對于任意點y y 1，y 2 ∈ Ω?? ，可得

F? y? y 1，y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t，y 2? ?d t （23）

其中，? y? y 1，y 2 ∈ Ω? ，a=y y 1，y 2 且為有限函數，? t? t，y 2 ?為域B 內的點。

進而可以得到

∫? Ω f（ y ） d? Ω （ y ）=∮? Γ F（ y ）n 1（ y ） d? Γ （ y ） （24）

式中： n 1為邊界 Γ 上的法向矢向量 n 在y 1 方向上的分量。

理論3： 假設研究域 Ω 為一個有界平面區域，具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ，假設f y 為定義在緊實的研究域 Ω? 上的連續函數，定義矩形域B為包含域 ?Ω? 的一個研究域，函數g y 為f y 在域B上的延續，并且在域B/ Ω? 內幾乎處處連續且有界。函數 k? x ， y? ?為以域B內點 x 為中心的弱奇異核函數，對于任意點y y 1，y 2 ∈ Ω?? ，可得

F? x ， y? y 1，y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t，y 2? k? x ， t? t，y 2? ?d t （25）

其中? y? y 1，y 2 ∈ Ω? ，a=y y 1，y 2 且為有限函數， t? t，y 2 為域B 內的點。

進而可以得到

∫? Ω f（ y ）k（ x ， y ） d? Ω （ y ）=∮? Γ F（ x ， y ）n 1（ y ） d? Γ （ y ） （26）

式中： n 1為邊界 Γ 上的法向矢向量 n 在y 1 方向上的分量。

2.2 直線積分法

利用理論3，可以將域積分轉換為邊界積分。簡單起見，將所有的積分起始點定在邊界同一個平面上? y 1=c ，也就是說，a y 2 =c，c 可為任意常數值。當將邊界離散化為 N 個單元時，式（26）則轉化為

∫? Ω f（ y ）k（ x ， y ） d? Ω （ y ）=? N ?i=1? ∫?? Γ? i F（ x ， y ）n 1（ y ） d? Γ? i（ y ）? （27）

其中，? Γ? i為第i 個邊界單元，并且有

F? x ， y? y 1，y 2? = ∫?? y 1? cg? t? t，y 2? k? x ， t? t，y 2? ?d t? （28）

通過高斯積分法即可計算每個單元上的積分，但是在式（26）中仍然存在弱奇異積分。并且事實上，式（26）中的積分仍為由邊界單元和平面? y 1=c ?構成的區域的域積分。此時積分可以分為兩種：常規積分和弱奇異積分。一般而言，對于單元 E ，產生弱奇異積分是因為積分點處在由該單元構成的積分域，因而積分線和單元 E 會出現一個交點，即為弱奇異積分的積分點，該弱奇異積分可以通過坐標轉換的方法消除。這樣式（26）中的域積分可表達為

∫? Ω f（ y ）k（ x ， y ） d? Ω （ y ）=? M ?i=1? F i? x ， y ?i n i 1? y ?i w i? （29）

以及

F i? x ， y ?i y i 1，y i 2? = ∫?? y? i? 1? cg? t? t，y i 2? k? x ， t? t，y i 2? ?d t? （30）

式中：?? y ??i y i 1，y i 2 為第i個邊界積分點，M為積分點的總個數，w i和n i 1為第i個積分點的權重和在y 1 方向上的單位法向量。通過將每個單元內積分點產生的直線上的一維線積分相加即可得到域積分的結果。

為了提高式（29）的計算效率，本文進一步采用了背景網格將積分線劃分為子線段，式（29）則可寫為

∫? Ω f（ y ）k（ x ， y ） d? Ω （ y ）=? M ?i=1? n i 1（ y ）w i∫? L i g（ y ）k（ x ， y ） d y 1 （31）

式中： M為子積分線段集的總數，L i為第i個子積分線，w i和n i 1為第i個子積分線段L i的權重和在y 1 方向上的單位法向量。

采用背景網格的具體方式為，構造一個能夠包含研究域的最小正方形，保證所有邊界節點和積分線包含于該正方形，定義該最小正方形為0級根網格，然后利用四叉樹將根網格劃分為四個等大小的子網格，定義為1級背景網格。按這種方式繼續劃分下去，從 L級網格得到L+1的背景網格，當第n 級子背景網格包含的積分線的數量不大于預設的數量時，即可停止劃分。對于未能包含于一個子網格的積分線進行分段，保證所有積分線僅存在于一個子網格中，最后，刪除不包含單元節點和積分線的子網格。沒有下一級子網格的背景網格稱為葉子。這些由四叉樹構造的葉子即可對子積分線進行積分計算。

2.3 直線積分邊界元法

直線積分邊界元法為直線積分法和邊界元法的結合，相較于傳統的邊界元法，在面對域積分時，仍能夠保持降維的優點。本文邊界積分方程中出現的域積分式（11），（18）和式（19）可以進一步轉化為以下形式：

D 1 =∫? Ω? Φ? i? x ， y? βθ? y? ?d? Ω? ?y?????? ??=? M ?i=0 ?n i 1（ y ）w i∫? L i? Φ? i? x ， y? βθ? y? ?d y 1 （32）

D 2 =∫? Ω? Ψ?? ij? ?x ， y? βθ? y? ?d? Ω? ?y???????? ??=? M ?i=0? n i 1（ y ）w iJac i∫? L i? Ψ?? ij? ?x ， y? βθ? y? ?d y 1 （33）

D 3 =∫? Ω? Ψ?? ij? ?x ， y? βθ? x? ?d? Ω? ?y???????? ??=? M ?i=0? n i 1（ y ）w i∫? L i? Ψ?? ij? ?x ， y? βθ? x? ?d y 1 （34）

顯然，本文出現的域積分在直線積分邊界元法的轉化下，都變成了包含一維線積分的邊界積分。

3 數值驗證

為了驗證直線積分邊界元法的有效性和精度，本文采用兩個例子進行驗證。第一個例子為一個承受溫度應力的矩形梁，并已知其解析解，進而可以驗證本文所采用方法的精度。第二個例子為一個混凝土重力壩，計算結果將與有限元法模擬結果進行對比，以驗證本方法在考慮溫度應力的大壩靜力分析中的有效性。

3.1 矩形梁的熱彈性分析計算

如圖1所示，該矩形梁的長度 L 為5，寬度 W 為3，彈性模量 E 為12 000 MPa，泊松比 ν 為0.25，熱膨脹系數 k 為0.000 015 K? -1 。三邊鉸支，一邊自由，溫度場呈二次函數分布，具體表達式為

θ y =s 2y 2+s 1y+s 0 （35）

式中： s 0=0，s 1=-50，s 2=50 。

相應的位移和應力的解析解為

u y（y）= 1+v 1-v k? 1 3 s 2 y 3+ （ W 2 ）? 3 +

1 2 s 1 y 2- （ W 2 ）? 2 +s 0 y+ W 2???? （36）

σ? xx =- E 1-v kθ （37）

本算例中將梁的邊界離散為僅80個單元，并將利用直線積分邊界元法進行計算得到的結果與解析解進行對比。選取了直線 x =0上的9個內部點作為對比，具體結果分別列于表1和表2。結合圖2和圖3，可見數值解與解析解高度吻合，進而證明了直線積分邊界元法的有效性和高精度。

進一步地，為了驗證直線積分邊界元法的精確性以及收斂性，現在將梁模型的邊界分別劃分為8，12，20，28，40，80，160，320個單元，并且利用以下公式計算樣本點的相對誤差

R=? ??N ?i=1??? u e i-u n i ??2 / ??N ?i=1 ???u e i ??2?? （38）

式中： u e i和u n i分別代表解析解和數值結果，N 代表邊界離散單元個數。

具體計算結果如表3所列。顯然，隨著邊界離散單元個數的增加，相對誤差逐漸減小，并且在單元數僅為8，相對誤差就達到了0.96%，足以見本文方法的精度之高。

3.2 受溫度荷載的大壩模型

重力壩模型具體幾何尺寸如圖4所示。泊松比為0.3，彈性模量為35 000 MPa，熱膨脹系數為 0.000 015 K? -1 ，大壩底部為完全約束，其余邊界自由。并且假設壩體承受65 ℃的高溫沖擊。

為了驗證本文方法的正確性，在該數值模型的結果對比中，選取了在直線 x =3上的21個內部點，采用有限元模型與直線積分邊界元法計算結果進行對比，如圖5所示。計算所得的應力值 s? xx? 與有限元計算方法高度相符，證明了本文方法的正確性。

4 結 論

邊界元法的主要優勢是可以將研究問題降低一維，并且已經成功地應用于靜力學分析。本文的主要研究內容是利用邊界元法進行熱應力問題數值分析。但是由于考慮了溫度對應力場的影響，在熱應力的邊界積分方程中出現了域積分項，為此本文提出采用一種新的直線積分邊界元法。該方法將直線積分法和邊界元法相結合，能夠將域積分轉化為包含一維積分的邊界積分，進而延續了邊界元法只需對邊界進行離散的優勢。為了驗證本文方法的正確性，首先利用一個有解析解的梁結構進行了驗證對比，驗證了本文方法的高度精確性。此外，本文還將其運用到大壩結果的熱應力分析當中去，通過與有限元法的對比，進一步驗證了本文方法的可行性。

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（編輯：鄭 毅）

Thermal stress analysis based on line integration boundary element method

LIU Biao 1，GAO Yu 2，LI Tongsheng 2，WANG Qiao 1，ZHOU Wei 1

（ 1.School of Water Resources and Hydropower Engineering，Wuhan University，Wuhan 430072，China; 2.Datang Xuanwei Hydropower Development Co.，Ltd.，Qujing 655400，China ）

Abstract：

As a semi-analytical method，boundary element method （BEM） has the advantage of dimension reduction，which means this method only need to disperse the boundary for the research field.However，when it comes to solving the thermo-elastic problems，the domain integral will appear in the boundary integral equations.In order to ensure the advantage of BEM，the line integration method （LIM） is used to transform the domain integral into the boundary integral based on the divergence theorem.The boundary integral can be calculated by the boundary element with integral points.An integral line can be constructed for each integral point，and the domain integral can be calculated by the line integral on the integral line.In order to obtain higher accuracy，the integral line can be cut into sub-lines by using the background cell.This method feasibility and accuracy is proved by a thermal-elastic analysis of a rectangular beam and thermal stress analysis of a gravity dam.

Key words：

line integration boundary element method;dimension reduction;domain integrals;thermal stress