盧業(yè)照：指向高中數(shù)學抽象素養(yǎng)下的數(shù)學概念教學

盧業(yè)照

摘要：落實學科核心素養(yǎng)的主陣地是課堂。就數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展來看，教學目標的設計既要符合“立德樹人”的教育目標，更要以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力為重點，同時促進學生的全面發(fā)展。為實現(xiàn)以人為本的教育教學目標，課堂教學需整體把握教學內容，聚焦學科核心素養(yǎng)，把握數(shù)學學科體系與關鍵教學內容，實行單元教學設計。特別是概念教學，需要精心設計教學環(huán)節(jié)，向學生提供經過設計的、具有教學意圖的結構化教學材料。

關鍵詞：概念教學合作探究類比猜想抽象素養(yǎng)

數(shù)學來源于生活，抽象的原型來源于生活。數(shù)學抽象是指抽取出同類數(shù)學對象的共同的、本質的屬性或特征，舍去個別的、非本質的屬性或特征的思維過程，是建構概念的必要手段。研究對象的數(shù)量與數(shù)量關系和圖象與圖象關系，從具象的因素中得到抽象的本質，這是我們得出數(shù)學概念的關鍵。

數(shù)學概念的產生都是“去粗取精”進行本質提煉的結果。在具體實踐中，尤其是課堂教學中，枚舉典型事例和相關的問題情境，利用合作探究的教學方式，理解事物的本質、形成概念，從而發(fā)展學生的抽象思維，促進學生抽象能力與意識的提升，進而培養(yǎng)學生的抽象素養(yǎng)。

我在教學“任意角的三角函數(shù)”時，以問題為任務驅動，以合作探究為手段，以形成概念為載體，以發(fā)展抽象思維為目標。利用概念教學促進學生的合作探究學習，發(fā)現(xiàn)了探究學習與學生對數(shù)學概念的建構和理解緊密結合在一起的規(guī)律，提升了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

（一）問題導學：溫故知新，設置情境

1.銳角三角函數(shù)是怎樣定義的？

通過引導學生回憶初中學過的銳角函數(shù)的定義，遵循學生已有的知識經驗，引出任意角三角函數(shù)的定義。

2.任意角的三角函數(shù)如何定義？如何利用銳角三角函數(shù)的定義構造直角三角形？任意角的三角函數(shù)的定義的本質是什么？

引導學生經歷從特殊到一般，由靜態(tài)到動態(tài)得到象限角、軸線角和終邊相同的角的概念的過程，從而引導學生思考怎樣由銳角三角函數(shù)的概念類比推廣到任意角的三角函數(shù)的概念。

任意角的三角函數(shù)的概念與銳角三角函數(shù)的概念對學生認知產生巨大沖擊，會引起學生強烈的好奇心，促進學生深度思考。

3.若已知sin30°=1/2，如何求sin150°，sin210°的值？

由特殊到一般，會激發(fā)學生的求知欲望，學生會猜想：sin150°=1/2，sin210°=-1/2。

學生會進一步猜想任意角的三角函數(shù)的定義與角的終邊上的點坐標有關。

設計意圖：通過對已學知識的回顧，學生會列出這幾個特殊角的三角函數(shù)，會自然地猜想角的終邊在不同的位置有沒有統(tǒng)一的三角函數(shù)表達式。這為在直角坐標系內探索任意角的三角函數(shù)做了鋪墊。問題的設置貼近學生思維的最近發(fā)展區(qū)，會更快地激發(fā)學生的學習興趣與研究的動力。

（二）自主學習：主動探究，構建新知

由此進一步得到，終邊在x軸正半軸上，終邊在x軸負半軸上，終邊在y軸正半軸上，終邊在y軸負半軸上，雖然正弦和正切的值都很特殊，但是符合三角函數(shù)的定義。終邊在y軸正半軸上，余弦和余切的值為0，正弦值為1，正切無意義;終邊在y軸負半軸上，余弦和余切的值為0，正弦值為-1，正切無意義。

設計意圖：教師通過6個層層遞進的問題，讓學生產生認知沖突，經歷由一般到特殊再到一般的思維過程，建構任意角的三角函數(shù)的定義，完善概念體系，從而將學生的思維引向自主學習、自主探索的“再創(chuàng)造”過程中，發(fā)展學生的抽象核心素養(yǎng)。

（三）合作探究：深化理解，生成概念

圖2探究7：根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，y=sinα是函數(shù)嗎？能否通過取適當點將三角函數(shù)的表達式進行簡化？簡化后的結果是什么？

再結合函數(shù)的一般性定義，理解任意角的三角函數(shù)的定義：y=sinα是函數(shù)，任意一個角α的終邊與單位圓的交點P（x，y）是唯一確定的;任意一個角α在求正弦的對應關系作用下，都有唯一一個實數(shù)y與之對應。正弦函數(shù)y=sinα的定義域為R，值域是[-1，1]。進而建構任意角的三角函數(shù)的正弦函數(shù)一般性定義：y=sinx，x∈R。

探究8：能否通過類比得到其他三種三角函數(shù)也是函數(shù)？

y=cosα是函數(shù)，任意一個角α的終邊與單位圓的交點P（x，y）是唯一確定的;任意一個角α在求余弦的對應關系作用下，都有唯一一個實數(shù)y與之對應。正弦函數(shù)y=cosα的定義域為R，值域是[-1，1]。

一般性定義，余弦函數(shù)：y=cosx，x∈R。

y/x=tanα是函數(shù)，任意一個角α的終邊與單位圓的交點P（x，y）是唯一確定的;任意一個角α在求正切的對應關系作用下，都有唯一一個實數(shù)y/x與之對應。正弦函數(shù)y/x=tanα的定義域為{α∈R|α≠π2+kπ}（k∈Z），值域是（-∞，+∞）。

一般性定義，余弦函數(shù)：y=tanx，x≠π/2+kπ（k∈Z）。

x/y=cotα是函數(shù)，任意一個角α的終邊與單位圓的交點P（x，y）是唯一確定的;任意一個角α在求余切的對應關系作用下，都有唯一一個實數(shù)xy與之對應。正弦函數(shù)x/y=cotα的定義域為{α∈R|α≠kπ}（k∈Z），值域是（-∞，+∞）。

一般性定義，余切函數(shù)：y=cotx，x≠kπ（k∈Z）。

此時教師引導學生歸納四種任意角的三角函數(shù)的統(tǒng)一定義：正弦、余弦、正切、余切函數(shù)都是以角為自變量，以角的終邊與單位圓的交點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)，是四種函數(shù)。

設計意圖：引導學生類比函數(shù)定義理解正弦、余弦、正切、余切函數(shù);引導學生理解變量字母的替換體現(xiàn)函數(shù)的一般形式，凸顯函數(shù)的三要素;培養(yǎng)學生高度的抽象思維能力，落實學科抽象思維的培養(yǎng)。

（四）分組討論：運用概念，形成能力

例1給出具體的角4π/3，求4π/3的正弦、余弦、正切和余切值。

變式可以從以下三個角度命題：

設計意圖：將班級分成三個小組進行合作探究，每一個小組選派代表說出解法。通過例題和變式，剖析求解三角函數(shù)的具體解題步驟，從具體的解題過程中加以總結解題的步驟，也是一種抽象的能力;同時也加深對概念的理解。通過變式教學發(fā)現(xiàn)終邊相同角的三角函數(shù)值相等，培養(yǎng)學生的逆向思維，發(fā)展其邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng)。

引導學生思考終邊相同角之間的三角函數(shù)值的關系。

（五）課堂小結：知識方法思想，完善認知結構

教師引導總結：本節(jié)課你都學到了什么？發(fā)現(xiàn)了哪些規(guī)律？

1.知識方面：三角函數(shù)的定義。

2.數(shù)學方法：特殊到一般的思想，數(shù)形結合的思想，類比思想。

本文以數(shù)學概念為載體，通過課堂教學活動，促進學生的自主認知和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律能力發(fā)展，加強學生由特殊到一般的思維。在探究式學習過程中逐步落實數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)目標，主要從以下三個方面進行：

1.引導學生化未知為已知，探究如何由銳角三角函數(shù)類比聯(lián)想任意角三角函數(shù)概念的邏輯關系，逐漸體會轉化與化歸的數(shù)學思想，形成自覺運用抽象思維進行類比推廣的意識。

2.通過層層遞進的問題探究學習，逐步發(fā)現(xiàn)任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)概念的內在聯(lián)系，培養(yǎng)由特殊到一般數(shù)學抽象素養(yǎng)。

3.歸納四種三角函數(shù)的統(tǒng)一定義，培養(yǎng)概括總結能力，提升抽象素養(yǎng)。

培養(yǎng)學生抽象思維的最有效的方法是在教師的引導和幫助下，通過設置問題情境讓學生進入探討者的角色，這樣學生思維的主動性會提高，內驅力的加強也會助力抽象思維的發(fā)展。高效的課堂就是精心設計貼近學生最近發(fā)展區(qū)的問題，引導和幫助學生自我建構知識體系、能力體系、道德體系，在遵循學習者的認知規(guī)律上，將理論和現(xiàn)實生活結合起來，這樣才能發(fā)展學生的學科核心素養(yǎng)，讓學習者真正形成適應終身發(fā)展和社會發(fā)展的必備品格和關鍵能力。

責任編輯：唐丹丹