高中數學教學中直觀想象素養的培養

劉金旺，陳穎

(湖南科技大學 數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411201)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出，直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數學問題的一種素養[1]。筆者精讀新課標后對直觀想象素養的內涵有了較深入的理解：幾何直觀是借助圖形認識數學問題并將知識進行直觀遷移，從而解決相應的問題；空間想象則是從生活情境出發，對幾何圖形進行加工、改造，從而創造新的圖形。兩者既有不同點也有共同點，我們應該側重其相同點，在問題解決的過程中要處理好幾何直觀與空間想象的關系。直觀偏具體，想象偏抽象，直觀想象素養綜合了具體與抽象。

在《普通高中數學課程標準(2017年版)》中，直觀想象主要表現為以下四個方面：(1)建立數與形的聯系；(2)借助幾何圖形描述問題；(3)借助幾何直觀理解問題；(4)運用空間想象認識事物[1]。這四個方面沒有簡單、復雜的難易之分，也沒有低級、高級的層次之分，它們是緊密相連的，但學生所能達到的水平是有差異的。新課標中將直觀想象素養劃分為三個水平：水平一，能夠在熟悉的情境中抽象出實物的幾何圖形，建立數與形的聯系；水平二，能夠在關聯的情境中想象出幾何圖形，并能借助圖形解決實際問題或數學問題；水平三，能夠在綜合的情境中利用圖形，通過直觀想象建立數學與其他學科的聯系，形成解決問題的方法[1]。

調查分析發現，近幾年高考數學試卷中對直觀想象素養的考查占比越來越大，進一步突顯出直觀想象素養在高中數學課程中的重要地位。學生直觀想象素養的發展離不開直觀的感知，在教學過程中利用現實情境問題驅動教學，可激發學生直觀想象素養；結合現代信息技術的教學方式，能夠將復雜問題直觀化，學生在切身感受圖形的變化過程中培養直觀想象素養；教學內容的延伸，能夠訓練學生思維的延展性和綜合性，為學生直觀想象素養發展提供導向，進而提高學生直觀想象素養。

1 情境問題驅動，激發學生直觀想象素養

數學課堂中的情境引入已然是近幾年的熱點，成功的情境引入能夠迅速吸引學生的注意力，牽動學生思維，讓學生調整學習狀態融入課堂學習；在學生不會解決又急于解決問題的心理之間制造一種懸念，激發其強烈的興趣與求知欲。很多學生對直觀想象的認識比較模糊、抽象，因此，在數學教學中要多利用現實情境問題驅動教學，激發學生直觀想象素養。

創設現實生活情境能夠讓學生發現數學與生活的緊密聯系，激發學生學習興趣，讓其了解數學來源于生活并應用于生活。教師在教學過程中可以通過一系列問題驅動讓學生找到數與形之間的特征與關系、歸納類比出不同實例的共性與差異。學生經歷數學中圖形的抽象、圖形的產生、圖形的變換進而發現圖形中復雜的數學本質。

例如在“直線與平面垂直的判定”這堂課的教學設計中，教師在PPT上展示天安門前的旗桿與地面、地下車庫的立柱與地面、公路大橋的橋柱與水面位置關系的圖片時，可請學生利用圖形的直觀性并充分發揮空間想象指明上述圖片的位置關系，從而導入新課。這樣的引入方式能幫助學生形象化地認識直線與平面的垂直關系、在學習新知之前腦海中就儲存一些直線與平面垂直的圖形信息，激發學生的直觀想象素養。源于生活的實例，能夠減少對新知的陌生感，更能觸動學生心靈。也有教師從播放《日晷》視頻引入教學，學生在體會中華文明源遠流長的同時，亦可通過視頻中直觀的幾何圖形與關鍵詞“盤面與赤道平行，指針與地軸同向”抽象出直線與平面垂直的位置關系。學生發揮空間想象動手制作日晷模型，從而導入新課。

在創設的情境中滲透數學史的相關內容，既可以擴大學生文化視野，又可以弘揚人文精神。與此同時，在課堂中訓練學生動手操作能力對激發學生直觀想象素養也是一種好方法。

2 教學方式變革，培養學生直觀想象素養

當今社會儼然是一個大數據時代，各種數據與圖形的處理方式已經逐步成熟，多媒體技術在數學課堂教學中使用的好處逐漸顯現。因此，教師熟練掌握相關軟件的操作方法，合理利用現代信息技術，充分挖掘信息技術在數學直觀化教學中的作用，對學生直觀想象素養的培養有著重大意義。在傳統教學中教師只是單純直白地講授知識，學生需要根據老師的語言描述在頭腦中構造出相應的教學情景，因此不具備直觀性，而現代教學方式隨著時代的變化不斷變革。現代課堂教學中教師通過多媒體展示的直觀圖形可靜可動，甚至借助靜態圖形進行動態變換，通過向學生展示圖形的移動、折疊、翻轉等變換，讓學生在圖形的變換中發現數學美、找到解決問題的本質和思路。學生可在動靜結合的背景下感知幾何圖形的性質特征和數學結論的本質特征，在這個過程中充分培養直觀想象素養。

數學是一門探究空間形式與數量關系的學科，以“形”的直觀尋找問題中的已知條件、隱藏條件和未知條件，通過多媒體中直觀形象的圖形去理解問題，運用空間想象去思考問題，從而找到解決問題的方法。例如在“直線與平面垂直的判定”這堂課的教學設計中，教師高效利用信息技術，采用翻轉課堂式教學。課前先請學生觀看幾何畫板中光源下旗桿影子變化的動畫(如圖1所示)，讓學生對直線與平面垂直提前有直觀感知，再請學生結合對下述問題的思考，試著概括直線與平面垂直的定義。

圖1 光源下旗桿影子變化示意圖

(1)光源下，旗桿AB與它在平面上的影子BC所形成的角度是多少?

(2)隨著光源的挪動，影子BC的位置也會挪動，旗桿AB與影子BC所形成的角度會隨之變化嗎？

(3)旗桿AB與平面上任何一條不過B點的直線B’C’的位置關系是怎樣的呢?

在課前安排學生觀看教師的視頻講解，既節省了課堂教學時間，又培養了學生的自學能力。教師利用現代教學軟件幾何畫板直觀的動畫展示，幫助學生發現旗桿AB所在的直線與平面上任何一條過B點或不過B點的直線都垂直，學生可從中理解直線與平面垂直定義的實質，嘗試概括直線與平面垂直的定義。課堂上，教師在學生概括的基礎上得出直線與平面垂直的精確定義：如果直線L與平面α內的任意一條直線都垂直，則稱直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α。直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面，直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足[2](如圖2所示)。

圖2 直線與平面垂直的定義示意圖

教學方式的變革不僅體現在現代信息技術在課堂中的運用，還體現在教師與學生的角色互換。傳統的課堂中教師占主體地位，主要采用的是講授法，學生被動接受知識；而現代課堂中學生占主體地位，教師發揮主導作用，多種教學方式齊頭并進，學生主動探索知識。例如在“直線與平面垂直的判定”這堂課的教學設計中，教師提出了一個問題：“除了用定義法判斷線面垂直，還有沒有其他的方法呢？”定義法確實可以作為判斷命題是否成立的依據，這種判定方法雖然在理論上是可行的，但是在實際檢驗的過程中是有難度的。因此，找到一種比定義法更簡單、操作性更強的判定方法就顯得尤為重要。為了獲得最直接的經驗，學生親手操作，更直觀地感受圖形的變化，這充分體現了學生的主體地位，也充分證實了王道俊先生提出的“主體學習的核心是學生能動的、創造性的學習活動”這一觀點[3]。教師以數學活動的形式推動教學能激發學生學習的興趣與積極性。《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出了“四基”，數學基本活動經驗是其中之一。它是指學生通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的經驗。這種活動經驗不僅僅指獲得解題的經驗，更重要的是在多樣化的數學活動中去思考、探索、發現數學結論及其本質，在數學活動中充分培養學生直觀想象素養。因而教師設計了一個折紙活動：學生分組合作完成一個折紙實驗，首先剪出一個三角形紙片abc,之后經過頂點a將紙片翻折，得到折痕ad(如圖3所示)，然后將翻折后的紙片豎直放置在桌面α上(如圖4所示)。最后請每個小組代表依據本組折紙活動的情況，觀察折痕ad所在的直線L與桌面所在的平面α是否垂直，并說明理由。

圖3 三角形紙片折疊示意圖

圖4 三角形紙片翻折后示意圖

由于每個小組的情況不一致，教師將課堂交給學生，讓他們各抒己見。有的小組觀察到直線與平面是不垂直的，從圖形的直觀中可以“看”出ad所在的直線L明顯不與bd、cd垂直。學生通過列舉反例來解釋定義，親自經歷“看”出相關數學結論的過程，在數學學習中是非常重要的，這能使學生對結論的理解更深刻，記憶更牢固，運用更靈活。著名學者米秀旭、崔緒春指出，并不是所有的數學定理都需要經過嚴格的推理論證，鼓勵學生大膽猜想假設，重要的數學結論往往都是“看”出來的，“看”出來的前提是我們直觀想象素養水平比較高[4]。而有的小組通過自己動手實驗觀察到折痕ad所在的直線L與桌面所在的平面α是垂直的，進一步得出ad所在直線與桌面所在平面α垂直的充要條件是折痕ad是bc邊上的高。由于翻折后垂直關系不變，所以直線ad與平面α內的兩條相交直線bd、dc都垂直。

小組內學生動手操作，交流討論，大膽猜想假設，在變化的圖形中發現不變的規律，通過進一步探索發現，無論是將三角形在桌面α上平移或繞折痕ad轉動，都能得到折痕ad與桌面α垂直的結論。因此，學生在教師的引導下總結出直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直[2]。學生探討結束后，教師用幾何畫板進行動畫演示，驗證學生所得結論。由此可見，幾何畫板在數學教學過程中所起的作用十分巨大，正如徐飛雷、吳磊所言，幾何畫板在數學直觀化教學及對學生幾何直觀與空間想象素養的培養方面有著重大的意義，因而教師可以合理地使用幾何畫板，解決相關問題[5]。在折紙活動中，學生通過觀察、操作、猜想、驗證、分析、提出問題并解決問題，在探究中總結出直線與平面垂直的判定定理，充分培養了直觀想象素養。

3 教學內容延伸，提高學生直觀想象素養

3.1 內容的延伸

教學內容是教師進行教學的任務與參考，教師需要通過教學內容中的數學概念，引導學生形成對知識的認知。在實際的課堂教學中，學生思考、探究數學問題的角度不同，知識水平層次存在差異，他們能聯想到的知識也會有很大的區別，就會產生很多暫時無法解答的疑問。因此，在課堂中教師需要對教學內容進行不同程度的延伸，以此來解決學生的種種疑問，同時也能鍛煉學生的思維能力，完善學生的知識體系，提高學生的直觀想象素養。

例如在“直線與平面垂直的判定”這堂課的教學設計中，學生已有的認知是“在平面上，過一點垂直于已知直線的直線有且只有一條”。類比這個結論，學生會思索在空間中，過一點垂直于已知平面的直線有幾條呢？學生能有此疑問，說明其學會了系統的思考問題，體會到了平面與空間的聯系與區別。為了解決學生的疑問，教師可引領學生進行必要的推理證明，即使很直觀的結論，也要設計相應的教學環節，讓學生體會到直觀想象的合理要用邏輯推理的嚴謹去驗證。由于直接證明這個結論較為困難，教師引導學生采用反證法證明：假設過點P有兩條直線m、n垂直于同一平面α，設直線m、n確定的平面為β，且α∩β=l，所以l?α。由線面垂直的定義，知m⊥l,n⊥l，這與“在同一個平面中，過一點有且只有一條直線垂直于已知直線”相矛盾。所以，在空間中，過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條。學生依據上述證明過程發揮自己的空間想象能力并嘗試從幾何角度來解釋此證明過程；教師利用幾何畫板將圖形直觀展示(如圖5、圖6所示)。

圖5 點不在交線的示意圖

圖6 點在交線的示意圖

至此，教師再順勢給出垂線段的定義，指出棱錐的高就是棱錐的頂點到底面的距離，學生理解起來就沒有困難了。這也為之后棱臺體積公式的推導、平面與平面垂直的性質定理做好了充足的知識儲備。

3.2 解題方法的延伸

數學的魅力在于知識是相互連貫的，譬如習題的解決方法，一道題目可以從數學多個角度進行解決，當然也可以從多道題目中發現其所蘊含的數學本質是一致的，即可采取同樣的解題方法，這就是常說的一題多解和多題一解。如果就題講題，不僅對學生知識學習的寬度和深度都沒有延伸，而且對學生直觀想象能力的提升作用也非常小。因而教師需要鉆研教材教法，關注數與數、數與形之間的緊密聯系，從不同角度去探究解題方法，從多維度去拓展變式，在教學中不斷鍛煉學生不同的思維能力，這樣就在解題方法拓展的過程中提升了學生的直觀想象素養。

例如在“直線與平面垂直的判定”這堂課的教學設計中，對于教材中例題“如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面”的證明，除了教科書上利用直線與平面垂直的判定定理此種證明方法，教師還可以啟發學生利用直線與平面垂直的定義進行證明，實現一題多解。定義是解決問題的根源，因而在數學上用定義法解決問題意義重大，教師需向學生強調定義法的重要地位，并引導學生提煉出解決直線與平面垂直問題的方法有判定定理與定義法。教材例題是對直線與平面垂直判定定理的簡單運用，在此基礎上，教師引入學生熟悉的、掌握較好的幾何體模型(正方體，長方體等)補充一道證明線面垂直的例題。以此例題來幫助學生在直觀圖形中進一步理解定理的實質，體會將線面垂直轉化為線線垂直的重要性。教師還需在補充的例題上進行變式訓練，變式題則以學生平時接觸較少的幾何體(直四棱柱，四棱錐等)為載體研究直線與直線垂直的證明方法。變式題既鍛煉了學生的空間想象能力，又教會學生如何從線線垂直出發，逐步將問題轉化為線面垂直進行證明，進而在問題轉化過程中進一步理解直線與平面垂直的定義及其判定定理的本質。教師需一步步引導學生發現變式題的解題方法與例題一致，實現多題一解。

4 結語

《普通高中數學課程標準(2017年版)》及《普通高中數學課程標準(2020年修訂版)》都凸顯了直觀想象素養的重要性，而直觀想象素養的激發、培養與提高都需要通過課堂教學來實現。在高中數學教學中，應結合現實生活情境，滲透數學文化，調動學生積極性，從而激發學生直觀想象素養；應借助現代教學技術，貫徹現代教學方式，以學生為主體，在數學活動中培養學生直觀想象素養；應適當延伸教學內容，拓展解題方法，完善學生知識體系，鍛煉學生思維能力，從而提高學生直觀想象素養，為學生終身發展奠定堅實的基礎。