考慮失效相關(guān)性的行星擺線減速器結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

摘要行星擺線減速器的可靠性直接影響工業(yè)機(jī)器人的整體性能和使用壽命，其中，兩級(jí)傳動(dòng)子部件的可靠性對(duì)減速器整機(jī)可靠性具有重要影響。以某型重載行星擺線減速器為研究對(duì)象，基于兩級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)子部件的受力分析，分別構(gòu)建各子部件的可靠性數(shù)學(xué)模型，并通過 Copula 函數(shù)對(duì)可靠度進(jìn)行相關(guān)性耦合，構(gòu)建了考慮失效相關(guān)性的系統(tǒng)可靠性模型;在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建體積最小、可靠度最高的多目標(biāo)優(yōu)化模型，采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法（Non-dominated sorted genet-ic algorithm-Ⅱ，NSGA-Ⅱ ）進(jìn)行求解，并與考慮獨(dú)立性假設(shè)的系統(tǒng)可靠性模型做了對(duì)比分析。結(jié)果表明，優(yōu)化后，減速器體積減小了11.27%，可靠度提高了5.29%;考慮失效相關(guān)性的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以有效提高行星擺線減速器的可靠性，并具有更高的綜合性能。

關(guān)鍵詞行星擺線減速器失效相關(guān)性可靠度多目標(biāo)優(yōu)化

Multi-objective Optimization Design of Planetary Cycloidal Reducer Structure with Considering Failure Correlation

Zheng Shengyu1 Zhao Gang2 Xiao Zhengming1 Tan Jialin1 Liu Jiawei1

（1 Faculty of Mechanical and Electrical Engineering，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650550，China）

（2 705 Research Institute Kunming Branch，China State Shipbuilding Corporation Limited，Kunming 650102，China）

Abstract The reliability of the planetary cycloidal reducer directly affects the overall performance and service life of industrial robots，among which the reliability of two-stage drive subcomponents has an important influence on the reliability of the whole planetary cycloidal reducer. Taking a heavy-duty planetary cycloidal re-ducer as the research object，the reliability mathematical model of each subcomponent is constructed based on the force analysis of two-stage transmission system subcomponents，and the reliability is correlated and coupled by Copula function to construct a system reliability model considering failure correlation;on this basis，a multi- objective optimization model with minimum volume and maximum reliability is constructed，and NSGA-Ⅱ （ Non-dominated sorted genetic algorithm-Ⅱ ） algorithm is used to solve the model，and it is compared and ana-lyzed with the system reliability model considering the independence assumption . The results show that，after optimization，the volume of the reducer is reduced by 11.27%，and the reliability is improved by 5.29%，and the optimal design method considering failure correlation can effectively improve the reliability of the planetary cy-cloidal reducer with higher comprehensive performance.

Key words Planetary cycloidal reducer Failure correlation Reliability Multi-objective optimization

0引言

行星擺線減速器是一種具有復(fù)合傳動(dòng)系統(tǒng)的精密減速器，目前業(yè)內(nèi)習(xí)慣稱為RV減速器，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人各長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)部位。研究行星擺線減速器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，對(duì)于正向設(shè)計(jì)行星擺線減速器具有一定的理論意義和工程意義。

近些年，關(guān)于行星擺線減速器優(yōu)化和失效相關(guān)性對(duì)機(jī)械系統(tǒng)可靠性的影響已有一定的研究。張干清等[1]以盾構(gòu)機(jī)行星減速器輪系為研究目標(biāo)，構(gòu)建體積最小，效率、強(qiáng)度最大的多目標(biāo)優(yōu)化模型，優(yōu)化后有效提高了行星減速器的性能。陸龍生等[2]以 RV減速器中的擺線輪為研究對(duì)象，構(gòu)建承載能力最大的修形量?jī)?yōu)化模型，通過格點(diǎn)法進(jìn)行求解優(yōu)化，優(yōu)化后有效提高了 RV 減速器的傳動(dòng)效率。Wang 等[3]以擺線針輪減速器為研究對(duì)象，構(gòu)建體積最小、效率最高的多目標(biāo)優(yōu)化模型，優(yōu)化后有效提高了減速器的經(jīng)濟(jì)性及傳動(dòng)效率，并證明了構(gòu)建多目標(biāo)優(yōu)化模型更符合實(shí)際情況。繆嘉成等[4]以 RV 減速器整機(jī)為研究目標(biāo)，構(gòu)建體積最小、扭轉(zhuǎn)剛度和傳動(dòng)效率最大的多目標(biāo)優(yōu)化模型，優(yōu)化后得到了對(duì) RV 減速器性能提升更大的結(jié)構(gòu)參數(shù)。呂鳳鵬等[5]以 RV 減速器轉(zhuǎn)臂軸承為研究對(duì)象，構(gòu)建基本額定動(dòng)載荷最大的優(yōu)化模型，優(yōu)化后可將 RV 減速器轉(zhuǎn)臂軸承的疲勞壽命提高兩倍以上。

Eryilmaz[6]通過 Copula 函數(shù)構(gòu)建任意相關(guān)性系統(tǒng)的可靠性分析模型，分析了系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)的相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響規(guī)律。Zhuang 等[7]在對(duì)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行分配時(shí)，充分考慮各子系統(tǒng)之間的功能相關(guān)性，研究了其對(duì)可靠性分配的影響規(guī)律。Brech-mann 等[8]在構(gòu)建系統(tǒng)的可靠性模型時(shí)，通過 Copula 函數(shù)對(duì)各組成單元進(jìn)行相關(guān)性耦合，并通過假定各組成單元之間的失效相關(guān)性相同來(lái)研究相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)失效的影響。王倩蓉等[9]以非線性相關(guān)性結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化為研究對(duì)象，通過最優(yōu) Copula 函數(shù)求解優(yōu)化模型，并研究了不同 Copula 函數(shù)形式對(duì)結(jié)果的影響。張玉剛等[10]考慮各組成單元的不同失效形式，通過 Copula 函數(shù)構(gòu)建相關(guān)性模型，并與不考慮失效相關(guān)性的系統(tǒng)可靠性分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

上述文獻(xiàn)對(duì)于行星擺線減速器結(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究重心主要集中在載荷、效率、應(yīng)力、剛度等方面，但現(xiàn)有的行星擺線減速器結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法不能直接進(jìn)行可靠度優(yōu)化，且沒有考慮到系統(tǒng)中各子部件之間失效相關(guān)性的影響。為此，本文中將傳動(dòng)系統(tǒng)薄弱環(huán)節(jié)的綜合可靠性視為整機(jī)可靠性，在兩級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)受力分析的基礎(chǔ)上，考慮失效相關(guān)性問題，通過 Copula 函數(shù)進(jìn)行可靠度相關(guān)性耦合，得到系統(tǒng)可靠性數(shù)學(xué)模型;并以體積小、可靠度高為目標(biāo)函數(shù)，建立了行星擺線減速器結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化模型，通過帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法（Non-domi-nated sorted genetic algorithm-Ⅱ， NSGA-Ⅱ ）進(jìn)行求解，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

1行星擺線減速器結(jié)構(gòu)分析

1.1 行星擺線減速器傳動(dòng)原理

行星擺線減速器是由兩級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)復(fù)合而成的封閉式復(fù)合傳動(dòng)系統(tǒng)，輸入的傳動(dòng)由第一級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)通過曲柄軸傳遞到第二級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)，第二級(jí)傳動(dòng)由行星架進(jìn)行輸出。圖1 所示為行星擺線減速器的傳動(dòng)示意圖。

1.2 行星擺線減速器體積模型

本文中的研究對(duì)象是某型重載行星擺線減速器，該型號(hào)減速器被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人的底座。減速器中體積占比較大的零部件有擺線輪 V1、行星輪 V2、針齒殼 V3、針齒 V4、曲柄軸 V5、行星架 V6、壓蓋 V7、中心輪 V8，忽略軸承、螺栓、螺母、倒圓、倒角等對(duì)體積的影響，則 RV 減速器整機(jī)的體積為

2行星擺線減速器系統(tǒng)可靠性建模

2.1 行星擺線減速器傳動(dòng)受力分析

本文中所研究的減速器采用針齒殼固定的形式，當(dāng)該型號(hào)行星擺線減速器輸入軸（中心輪）轉(zhuǎn)速為1 935 r/min 、行星架負(fù)載為3 136 N ·m 時(shí)，減速器處于極限運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)，兩級(jí)傳動(dòng)中的各子部件最容易發(fā)生失效。因此，選用該工況作為可靠性研究工況。各零部件運(yùn)行參數(shù)如表1 所示。

根據(jù)計(jì)算工況，作用于中心輪端面分度圓上的圓周力為

式中， Ta 為減速器的輸入轉(zhuǎn)矩;kp 為行星輪系間載荷分配不均衡系數(shù)，取值1.15;D 為中心輪分度圓直徑，取值24 mm ;n 為行星輪個(gè)數(shù)，取值3。

式（2）中減速器的輸入轉(zhuǎn)矩 Ta 為

將表1 中的參數(shù)代入式（2）～式（3）中，通過數(shù)值計(jì)算可得到圓周力 Ft=1035.7 N。

擺線輪系在實(shí)際嚙合過程中，擺線輪與針齒不局限于一個(gè)相對(duì)位置，而是做連續(xù)周期性的嚙合運(yùn)動(dòng)，多齒嚙合作用力交匯于節(jié)點(diǎn)，其受力如圖2所示。

在初始載荷作用下，處于某一位置的針齒與擺線輪接觸時(shí)，其余位置的針齒與擺線輪沿理論嚙合點(diǎn)公法線方向仍然存在大小不等的間隙，即初始間隙為[11]1083

式中，φi 為嚙合相位角;Δrrp 為針齒半徑;Δrp 為針齒分布圓半徑;k1為短幅系數(shù);S 為短幅系數(shù)與嚙合相位角的函數(shù)，S=1+k12-2k1cos φi。

擺線輪嚙合點(diǎn)或待嚙合點(diǎn)在公法線方向上的總變形為[11]1082

式中，li 為第 i 個(gè)針齒嚙合點(diǎn)的公法線或待嚙合點(diǎn)的法線與擺線針輪中心的距離，即力臂;β為擺線輪的轉(zhuǎn)角;δmax 為嚙合點(diǎn)的最大變形量。

當(dāng)擺線輪嚙合點(diǎn)公法線方向的總變形大于初始間隙時(shí)，對(duì)應(yīng)位置的針齒與擺線針輪才能進(jìn)入嚙合。如圖3所示，該工況下同時(shí)參與嚙合的針齒位置為3 號(hào)針齒～11號(hào)針齒。因此，始終有9對(duì)齒數(shù)同時(shí)參與嚙合，該結(jié)果可作為后續(xù)受力分析的前提依據(jù)。

考慮擺線輪與針齒之間初始間隙對(duì)嚙合過程中嚙合力的影響，當(dāng)嚙合相位角為φi 時(shí)，接觸力 Fi 變形和初始間隙之差δi-Δ（φi ）成正比關(guān)系，則同時(shí)參與嚙合的第 i 對(duì)輪齒的受力可以表示為[12]

其中，單個(gè)擺線輪所受的嚙合力與輸出轉(zhuǎn)矩之間關(guān)系由力矩平衡條件得到，有

式中，T 為行星架負(fù)載; Tc 為擺線輪負(fù)載。

根據(jù)式（4）和式（5），可以得到 Fmax 的表達(dá)式為

如圖 4所示，擺線輪系的齒面接觸應(yīng)力出現(xiàn)在 3號(hào)針齒～11 號(hào)針齒。從 3 號(hào)針齒～11 號(hào)針齒，可以近似看作擺線輪與針齒的嚙合過程。3號(hào)針齒接觸狀態(tài)可以表示擺線輪與針齒開始嚙合，11 號(hào)針齒接觸狀態(tài)表示擺線輪與針齒脫離嚙合。從而得知始終有9對(duì)齒數(shù)同時(shí)參與嚙合，與圖3所示的結(jié)果吻合，兩結(jié)果之間可相互驗(yàn)證正確性。其中，最大接觸應(yīng)力出現(xiàn)在5號(hào)針齒位置，其值為813 MPa。

2.2 行星擺線減速器動(dòng)力學(xué)模型分析

該型行星擺線減速器各零件的建模和裝配將在三維建模軟件中完成。為研究方便，假設(shè)：減速器模型裝配無(wú)間隙，摩擦因數(shù)為0 ，并將次要因素螺紋孔和倒角等去除，從而簡(jiǎn)化模型進(jìn)行更快地計(jì)算。將簡(jiǎn)化的三維模型導(dǎo)入虛擬樣機(jī)中進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，其虛擬樣機(jī)動(dòng)力學(xué)仿真模型如圖5 所示。

為便于觀察，取減速器平穩(wěn)運(yùn)行階段0.5 s 內(nèi)中心輪與一個(gè)行星輪之間的動(dòng)態(tài)圓周力，如圖6 所示，其圓周力的波動(dòng)范圍為954.3～1 212.2 N 之間，取其均值可得平均圓周力為1 083.25 N ，與理論計(jì)算值 1035.7 N 的誤差為4.5%。

選取減速器平穩(wěn)運(yùn)行階段5 s 內(nèi)擺線輪與5 號(hào)針齒的接觸應(yīng)力時(shí)域響應(yīng)，如圖7 所示。從圖7 中可以看出，接觸應(yīng)力在嚙合過程中先增大后減少，最大接觸應(yīng)力在859 MPa 上下波動(dòng)，與理論計(jì)算值813 MPa 誤差為5.6%。

文獻(xiàn)[14]中的擺線輪系仿真結(jié)果與理論計(jì)算值誤差為10%。本文中在改進(jìn)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，優(yōu)化部分結(jié)構(gòu)參數(shù)，獲取的仿真結(jié)果與理論計(jì)算值誤差為5.6%，小于10%，誤差較小，在驗(yàn)證本文中擺線輪系的基礎(chǔ)上可間接驗(yàn)證行星輪系結(jié)果正確性，由此可驗(yàn)證所建立動(dòng)力學(xué)仿真模型的正確性，對(duì)工程實(shí)際具有指導(dǎo)意義。

考慮到減速器各零部件之間的耦合作用影響，為令后續(xù)計(jì)算結(jié)果更為理想，選擇數(shù)值較大的動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果中的中心輪圓周力 Ft=1083.25 N 及擺線輪系最大齒面接觸應(yīng)力σH0=859 MPa 作為后續(xù)原始設(shè)計(jì)方案的可靠度計(jì)算參數(shù)值。

2.3 考慮失效相關(guān)性的系統(tǒng)可靠性建模

據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，行星擺線減速器兩級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)中，行星齒輪和擺線輪是主要薄弱環(huán)節(jié)，兩齒輪的可靠性與尺寸的大小在很大程度上決定減速器整機(jī)的可靠性與體積的大小。因此，本文中以行星齒輪齒面、齒根和擺線輪齒面為分析對(duì)象，將上述對(duì)象的綜合可靠度視為該減速器整機(jī)系統(tǒng)可靠度，建立了行星擺線減速器兩級(jí)傳動(dòng)子部件薄弱環(huán)節(jié)的可靠性數(shù)學(xué)模型。

本文中所研究的減速器主要零部件材料特性如表 2所示。

漸開線行星齒輪的齒面接觸疲勞應(yīng)力、齒根彎曲疲勞應(yīng)力和擺線輪的齒面接觸應(yīng)力近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其均值和變異系數(shù)計(jì)算式為[15]

行星輪齒面接觸疲勞極限、齒根彎曲疲勞極限和擺線輪疲勞強(qiáng)度極限近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其均值和變異系數(shù)計(jì)算式為[16]

式（10）～式（14）中，各項(xiàng)與均值和變異系數(shù)相關(guān)參數(shù)的含義、取值與計(jì)算見相應(yīng)文獻(xiàn)[17]。

將上述對(duì)數(shù)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化得到可靠度系數(shù)，通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求解得到該部件的可靠度為

式（13）和式（15）中，下標(biāo) E、F、H 分別為行星齒輪齒面、齒根和擺線輪齒面的可靠度計(jì)算。

行星擺線減速器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，運(yùn)行時(shí)傳動(dòng)系統(tǒng)各子部件失效之間具有不同程度的相關(guān)性，因此，需在考慮失效相關(guān)性的基礎(chǔ)上，建立系統(tǒng)可靠性模型。本文中選擇阿基米德族 Copula 函數(shù)中適合描述長(zhǎng)壽命機(jī)械系統(tǒng)相關(guān)性的 Gumbel Copula 函數(shù)[18]，對(duì)減速器行星齒輪齒面、齒根和擺線輪齒面的可靠度進(jìn)行耦合。

Gumbel Copula 函數(shù)的多維分布函數(shù)為[19]150

根據(jù)阿基米德族 Copula 函數(shù)固有特性中的擴(kuò)展

性，結(jié)合式（16）及文獻(xiàn)[19]185-186的內(nèi)容，可推導(dǎo)得到多維 Gumbel Copula 函數(shù)的擴(kuò)展過程，有

從以上推導(dǎo)可以得知，任何一個(gè) m 維的 Gumbel Copula 函數(shù)都可以進(jìn)行逐步分解，最后通過 m-1個(gè)二維的 Copula 函數(shù)來(lái)完全等效;且分解后的等效函數(shù)精度保持不變，這樣可以減少多維 Gumbel Copula 函數(shù)在建模和求解上的難度。

本文中模型涉及到兩個(gè)子部件、3種失效形式，因此，構(gòu)建的是三維相關(guān)性模型。根據(jù)式（17）推導(dǎo)結(jié)果，本文中將三維相關(guān)性模型簡(jiǎn)化為兩個(gè)相關(guān)的二維相關(guān)性模型。

考慮失效相關(guān)性的系統(tǒng)可靠性模型為

R （X ）= C2（REF，RH ）= C2[ C 1（RE，RF ），RH ]（ 18）式中，RE 、RF 、RH 均為子系統(tǒng)的可靠度; C1為耦合行星齒輪齒面和齒根的 Copula 二維分布函數(shù); C2為耦合行星齒輪和擺線輪的 Copula 二維分布函數(shù);且 C1、C2的范圍在（0，1]之間。

首先，需要計(jì)算式（18）中的二維分布函數(shù)，即

式中，α1 為耦合行星齒輪齒面和齒根的 Gumbel Cop- ula 函數(shù)相關(guān)系數(shù);α2為耦合行星齒輪和擺線輪的 Gumbel Copula 函數(shù)相關(guān)系數(shù);且α1 、α2的范圍在[0，1]之間，可通過建立對(duì)數(shù)似然函數(shù)并求解其最大值計(jì)算得到，即

式中，n 為隨機(jī)數(shù)數(shù)量，由隨機(jī)模擬獲取500個(gè)隨機(jī)數(shù);c1為耦合行星齒輪齒面和齒根的 Copula 密度函數(shù);c2為耦合行星齒輪和擺線輪的 Copula 密度函數(shù)，其計(jì)算式為

將式（19）～式（21）代入到式（16）中，得到考慮失效相關(guān)性的系統(tǒng)可靠性模型為

3結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化模型

3.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)變量

設(shè)計(jì)參數(shù)由行星擺線減速器行星齒輪和擺線輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)組成，取中心輪齒數(shù) z1、行星輪系模數(shù) m 、中心距 a0、行星輪齒寬 b 、短幅系數(shù) k1、偏心距 e 、擺線輪厚度 B 這7個(gè)獨(dú)立參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，有 X =（x 1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）T =（z 1，m，a0，b，k 1，e，B ）T

3.2 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

為使行星擺線減速器降低經(jīng)濟(jì)成本，以減速器的最小體積為目標(biāo)函數(shù)，其表達(dá)形式為

為提高行星擺線減速器可靠性使用壽命，預(yù)防重大工程事故，以可靠度最高為目標(biāo)函數(shù)。由于 NS- GA-II 算法只能求解最小值，因此，將可靠度最高目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為下述形式

則優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為

3.3 優(yōu)化約束條件

約束條件是由各設(shè)計(jì)變量構(gòu)成的函數(shù)形式，與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)，是各設(shè)計(jì)變量滿足合理性的條件。本文中針對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尺寸、零件強(qiáng)度、傳動(dòng)穩(wěn)定性等影響目標(biāo)函數(shù)的各結(jié)構(gòu)參數(shù)施加了約束條件，其優(yōu)化設(shè)計(jì)的具體約束條件如下所述：

（1 ）擺線輪厚度約束條件。擺線輪厚度 B 會(huì)直接影響擺線輪傳動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)度、行星擺線減速器體積。一般取 B=（0.05～0.1 ） DP ，則約束方程為

（2 ）短幅系數(shù)約束條件。短幅系數(shù) k1的取值影響擺線輪的齒形，而齒形則直接影響擺線輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，需根據(jù)擺線輪的齒數(shù) Zc 選擇短幅系數(shù) k1的可行范圍，如表3 所示。

由表3 中的齒數(shù)范圍可確定短幅系數(shù) k1的極大、極小區(qū)間，則短幅系數(shù) k1的約束方程為

（3 ）擺線輪不發(fā)生頂切或產(chǎn)生尖角的約束條件。約束方程為

（4 ）行星齒輪不發(fā)生根切的約束條件。約束方程為

（5 ）行星齒輪模數(shù)約束條件。約束方程為

（6 ）行星齒輪齒寬約束條件。為保證行星擺線減速器行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)度，并且避免行星齒輪出現(xiàn)偏載的情況，通常使行星齒輪齒寬 b 的大小處于齒輪模數(shù)的5～17倍之間，則約束方程為

G9（ X ）= b -17m ≤0 （35）

G 10（ X ）= 5m - b ≤0 （36）

（7 ）載荷分配約束條件。行星擺線減速器第二級(jí)擺線輪傳動(dòng)系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)矩過大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)間載荷分配不均，加速失效。為了降低其轉(zhuǎn)矩，第一級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)比應(yīng)不小于1.5 ，則約束方程為

G 11（ X ）= -z2/z 1+ 1.5≤ 0（ 37）

（8 ）結(jié)構(gòu)尺寸約束。為協(xié)調(diào)行星擺線減速器兩級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)之間的結(jié)構(gòu)尺寸，通常使兩級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)的中心距滿足：a0=（0.25～0.3 ） Dp ，則約束方程為

G 12（ X ）= 0.25Dp - a0≤ 0（ 38）

G 13（ X ）= a0- 0.3Dp ≤0 （39）

式（27） ～式（39）中，Dp 為針齒中心距;drp 為針齒直徑;zp 為針齒齒數(shù);z2為行星齒輪齒數(shù)。

3.4 結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

綜上所述，RV 減速器的多目標(biāo)優(yōu)化模型為

4優(yōu)化結(jié)果對(duì)比與分析

4.1 NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化過程

NSGA-Ⅱ算法采用快速非劣分層排序機(jī)制，能夠更好地得到最優(yōu)前沿解集——Pareto 解，同時(shí)，通過擁擠度算子，使 Pareto 解的分布情況更加均勻，并且相較于普通多目標(biāo)遺傳算法，NSGA-Ⅱ算法在求解優(yōu)化復(fù)雜的非線性目標(biāo)上更有優(yōu)越性[20]。本文中采用 NSGA-Ⅱ算法對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行尋優(yōu)。表4 所示為 NSGA-Ⅱ算法基礎(chǔ)參數(shù)設(shè)定，圖8 所示為當(dāng)前優(yōu)化問題的流程圖，并描述了解決該優(yōu)化問題的步驟。

4.2 系統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果

為驗(yàn)證考慮失效相關(guān)性優(yōu)化方法的正確性及可行性，本文中再建立考慮獨(dú)立性假設(shè)的系統(tǒng)可靠性模型與之進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。獨(dú)立性假設(shè)即假設(shè)各子部件之間相互獨(dú)立，失效的相關(guān)性為0 ，當(dāng) 3個(gè)子部件中的任意一個(gè)失效就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)失效。因此，考慮獨(dú)立性假設(shè)的系統(tǒng)可靠性模型為

采用 NSGA-Ⅱ算法分別求解兩種考慮情況的優(yōu)化模型，由于目標(biāo)函數(shù)是兩個(gè)，所以，Pareto 解均為一條曲線。圖9 所示為在兩種考慮情況下的目標(biāo)函數(shù) f1（ x ）與f2（ x ）之間相互制約的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果。由圖9 中可以看出，失效相關(guān)性優(yōu)化與獨(dú)立性假設(shè)的 Pareto 解的曲線趨勢(shì)基本相同，從而可以驗(yàn)證考慮失效相關(guān)性優(yōu)化方法的正確性及可行性。該結(jié)果較為光滑平順，擁有較好的連續(xù)性且分布均勻，可看出 NS-GA-Ⅱ算法在求解 Pareto 解上具有良好性能，根據(jù) Pareto 解特性，該曲線上的點(diǎn)均為優(yōu)化后的最優(yōu)解。由于實(shí)際中體積與可靠度為正相關(guān)關(guān)系，因此，考慮體積和可靠度的設(shè)計(jì)要求，選擇該曲線轉(zhuǎn)折處點(diǎn)為優(yōu)化最優(yōu)解[21]。

如表5 所示，根據(jù)所選取的兩個(gè)優(yōu)化最優(yōu)解，可分別得到優(yōu)化后各設(shè)計(jì)參數(shù)數(shù)值，將該數(shù)值圓整后得到新的減速器體積及可靠度與原始數(shù)據(jù)對(duì)比。在考慮失效相關(guān)性的系統(tǒng)優(yōu)化的前提下，設(shè)計(jì)變量中的中心輪齒數(shù) z1、中心距 a0、行星輪齒寬 b 、短幅系數(shù) k1、擺線輪厚度 B 相比于原始設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)均有不同程度的減小;而行星輪系模數(shù) m 、偏心距 e 相比于原始設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)均有不同程度增大，減速器的整體體積相比于原始設(shè)計(jì)減小了11.27%，可靠度提高了5.29%;相比于考慮獨(dú)立性假設(shè)的系統(tǒng)優(yōu)化，考慮失效相關(guān)性的系統(tǒng)優(yōu)化在體積上增大1.93%;可靠度增大了0.94%。

如圖10、圖11所示，根據(jù)優(yōu)化設(shè)計(jì)圓整后得到的各參數(shù)，可得到兩種情況下的各體積占比較大的零部件體積及主要薄弱環(huán)節(jié)可靠度的優(yōu)化前后數(shù)據(jù)對(duì)比，各零部件體積均有不同程度減小，可靠度均有不同程度增大，其中，擺線輪可靠度增大幅度均較為明顯，本文中所提出的多目標(biāo)優(yōu)化方法效果顯著。兩種情況相互對(duì)比，考慮獨(dú)立性假設(shè)優(yōu)化的各零部件體積及可靠度均較小，因此，考慮獨(dú)立性假設(shè)的優(yōu)化會(huì)低估系統(tǒng)的體積和可靠度，過度降低整機(jī)體積會(huì)不利于擺線包絡(luò)行星減速器的可靠性預(yù)測(cè);考慮失效相關(guān)性的系統(tǒng)優(yōu)化更符合工程實(shí)際、具有更高的綜合性能。

5結(jié)論

在考慮行星擺線減速器兩級(jí)傳動(dòng)中主要子部件薄弱環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)可靠性及其失效相關(guān)性的基礎(chǔ)上，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，對(duì)減速器結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究，具體結(jié)論如下：

（1 ）提出了一種針對(duì)行星擺線減速器兩級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)中主要薄弱環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化正向設(shè)計(jì)方法，可以有效降低減速器整機(jī)體積、提高減速器可靠度。研究成果為減速器正向設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù)。

（2 ）在該型減速器極限運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí)，動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果中：中心輪平均圓周力為1 083.25 N ，與理論計(jì)算值1 035.7 N 之間的誤差僅為4.5%，擺線輪齒面最大接觸應(yīng)力出現(xiàn)在5 號(hào)針齒位置，其值為859 MPa，與理論計(jì)算值813 MPa 之間的誤差僅為5.6%。

（3 ）與原始設(shè)計(jì)相比，考慮失效相關(guān)性的系統(tǒng)優(yōu)化在體積上減小了 11.27%;可靠度增大了 5.29%，行星擺線減速器兩級(jí)傳動(dòng)中主要薄弱環(huán)節(jié)之間的失效相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響較為顯著;與獨(dú)立性假設(shè)優(yōu)化相比，失效相關(guān)性優(yōu)化具有更高的綜合性能。因此，在進(jìn)行行星擺線減速器分析設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)充分考慮失效相關(guān)性影響。

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收稿日期：2021-07-12修回日期：2021-08-27

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作者簡(jiǎn)介：鄭勝予（1997—），男，吉林長(zhǎng)春人，碩士研究生;主要研究方向?yàn)闄C(jī)械動(dòng)力學(xué)。

通信作者：肖正明（1982—），男，江西吉安人，博士，教授，碩士生導(dǎo)師;主要研究方向?yàn)闄C(jī)械動(dòng)力學(xué)、振動(dòng)噪聲分析與控制。