正交弧線齒面齒輪修形研究及頂尖分析

摘要以弧線齒圓柱齒輪作為假想刀具，用包絡法展成正交弧線齒面齒輪。根據微分幾何計算和齒輪嚙合原理，推導了弧線齒圓柱齒輪及面齒輪的齒面方程。再基于 Matlab 平臺建立工作齒面及過渡曲面的數學模型，通過改變弧齒圓柱齒輪輪齒的凹齒面半徑對面齒輪進行修形，對比分析修形前后面齒輪齒厚和齒寬的變化情況以及對接觸跡線的影響。最后，通過導出修形前后面齒輪的齒面點集，在 CATIA 零件設計中進行實體建模。得出結論，增大弧齒圓柱齒輪凹側齒線半徑會增大面齒輪的外徑，同時，面齒輪的齒頂變尖現象會發生變化，即面齒輪外徑處的齒厚逐漸增大，接觸跡線基本不發生變化。為后續研究面齒輪的偏載特性奠定了基礎。

關鍵詞弧線齒面齒輪修形齒頂變尖

Study on Modification and Tooth Tip Sharping Analysis of Orthogonal Arc Tooth Face Gears

Feng Zhanrong Xiong Guangjin Gao Lingfeng Luo Chao

（School of Aeronautical Manufacturing Engineering，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，China）

Abstract Cylindrical gears with arc teeth as imaginary knife，which generate orthogonal arc tooth face gears using the envelope forming theory. Tooth surface equations of cylindrical gears with arc teeth and face gears are derived，which are based on differential geometry calculation and principle of gear meshing . Mathe-matical models of working tooth surface and transitional tooth surface are established based on Matlab . With the radius of tooth surface of cylindrical gears with arc teeth changed，the changes of tooth thickness，tooth width and contact line of face gears and the influence on contact trace are compared and analyzed by modifying of the face gear. Finally， through deriving the tooth point set of the face gear before and after modification，the entity modeling in the CATIA parts design is carried out. It is concluded that，with the increase of the radius of con-cave tooth surface of cylindrical gears with arc tooth，the outer radius of the face gear will have an augment. In the meanwhile，the phenomenon of tooth tip sharpening of face gear will change，that is the tooth thickness at the outer radius of the face gear increases gradually，the contact line has little change. The conclusions have laid a foundation for future research on partial load characteristics of face gears .

Key words Arc teeth Face gears Shape modification Tooth tip sharpening

0引言

以圓柱齒輪為小齒輪、以面齒輪為大齒輪相嚙合的齒輪副被稱為面齒輪副，面齒輪副具有重合度大、體積小、質量輕、穩定性好等特點。面齒輪的齒頂變尖現象是影響其傳動及承載能力的重要因素。 Litvin 團隊[1-4]對面齒輪做了大量的研究，根據齒輪嚙合原理求得面齒輪發生根切和頂尖的臨界條件，奠定了面齒輪的理論基礎。朱如鵬等[5-6]對面齒輪的齒面生成、齒寬限制條件等進行了研究。李政民卿等[7]利用包絡法對正交面齒輪齒廓進行尖化研究，得到了面齒輪齒頂尖化、全齒高尖化的近似方程。沈云波等[8-10]研究了斜齒面齒輪小端不發生根切和大端不產生變尖現象的問題，給出了任意軸交角條件下小端無根切的內半徑和大端不變尖的外半徑表達式。馮占榮等[11-15]在 Matlab 中實現了弧線齒面齒輪可視化，確立了尖化條件，并通過 CATIA 建模直觀分析了齒頂變尖現象。

本文中以漸開線弧線齒廓圓柱齒輪為假想刀具，對弧線齒面齒輪的齒線修形進行研究。首先，利用刀具推導出弧線齒圓柱齒輪的齒面方程以及面齒輪的齒面方程。然后，結合面齒輪的生成原理，在 Matlab 平臺確定齒頂尖化現象;根據齒頂尖化條件，分析面齒輪齒頂尖化處齒面半徑值的影響因素;以圓柱齒輪輪齒凹側的齒面圓弧半徑等因素為研究對象，計算出面齒輪輪齒修形前后的弧線齒面齒輪的最小外徑值。最后，對比分析了修形前后面齒輪單個輪齒的齒厚和齒寬是否增大，為后續的面齒輪副的偏載研究[16]奠定基礎。

1弧線齒圓柱齒輪齒面方程

以漸開線弧線齒圓柱齒輪為假象刀具，在弧線齒圓柱齒輪上建立三維坐標系 Os - xs ys zs 和 Oh - xh yh zh ，如圖1 所示。坐標系 Os - xs ys zs 建立在圓柱齒輪的中截面上，圓柱齒輪軸線即 zs 軸。將其向 zs 軸正向移動 h ，并逆時針旋轉一個角度β，建立了坐標系 Oh - xh yh zh 。其中，B 為圓柱齒輪齒寬; R 1為齒輪分度圓半徑;齒線 L 為分度圓柱面上齒槽的對稱線。由圖 1中可知，圓柱齒輪的端面齒廓為漸開線，該齒廓沿著齒線 L 掃掠形成了圓柱齒輪的輪齒。

如圖2 所示，齒線 L 展開之后為標準圓弧，其半徑為 RT 。根據圖1 、圖2 中幾何關系計算，可得旋轉角β的表達式為

坐標系 Oh - xh yh zh 建立在距離 Os - xs ys zs 高度為h 的平面上，如圖3 所示。

漸開線齒廓方程為

式中，Rb 為圓柱齒輪的基圓半徑;θ s 為漸開線上任意一點的角度參數。“±”符號分別對應 Oh - xh 兩側γ -γ面和λ -λ面。

nh 1、nh2分別為兩側漸開線上一點的法向量，有

根據圖1 中的坐標關系，由坐標系 Oh - xh yh zh 轉化到坐標系 Os - xs ys zs 的變換矩陣為

變換后推導出的弧線齒圓柱齒輪齒面方程為

則該齒面的法向量為

2正交弧線齒面齒輪齒面方程

在平面 S 1內建立靜坐標系 O0- x0 y0 z0和動坐標系 Os - xs ys zs ;在平面 S2內建立靜坐標系 Om - xm ym zm 和動坐標系 O2- x2 y2 z2。其中， Os - xs ys zs 隨圓柱齒輪轉動，轉角為φs ;O2- x2 y2 z2隨面齒輪轉動，轉角為φ2 ;L0為面齒輪與圓柱齒輪中心在 z0方向上的距離。圓柱齒輪與面齒輪的角速度分別為ω s 、ω2 。圖4 所示為正交弧線齒面齒輪坐標系。

各坐標系變換關系為

由式（7）可得

角速度為

傳動比為

將式（7）～式（9）代入式（10），求得圓柱齒輪與面齒輪上同一點的相對速度為

根據矢量運算法則，將式（6）、式（10）代入式（12），即可求得正交弧線齒面齒輪的嚙合方程為

其中，令

故可以求出φs 表達式為

根據式（14），可求得φs 與其他變量之間的關系，該式可用于編程時選取大量離散點。再將式（11）與 r2= M2s rs 聯立，即可得面齒輪的工作齒面方程為

面齒輪的齒根過渡曲面是由假想刀具的齒頂對面齒輪齒廓加工形成的。因此，直接用刀具齒頂圓角度θ*s參數代替θs ，代入到式（15）中即可得到過渡曲面的方程為

面齒輪副算例如表1所示。

3圓柱齒輪修形理論

修形前后弧線齒廓圓柱齒輪單個輪齒的齒線展開如圖5所示，展開之后的齒線都是圓弧。其中，L 1為圓柱齒輪凸齒面的齒線，半徑為 RT1;L2為輪齒修形前圓柱齒輪凹齒面的齒線，半徑為 RT2;L3為輪齒修形后圓柱齒輪凹齒面的齒線，半徑為 R 2。由表1 中可知，修形前圓柱齒輪的凹凸齒面的齒線圓弧半徑均為200 mm ，修形后圓柱齒輪凹齒面圓弧半徑為300 mm 。由圖5 可知，單個輪齒中間的齒厚不變，圓柱齒輪修形后兩端的齒厚減小。

4弧線齒面齒輪頂尖現象

4.1 面齒輪最小外徑求解

面齒輪修形前后的齒頂尖化現象如圖6 所示。從表 2所示的實驗數據可以得知，修形前后面齒輪凸齒面外徑基本保持不變，凹齒面外徑與凸齒面外徑相差 0.08 mm。

由圖6 中可知，修形后的弧線齒面齒輪凹齒面曲率變大，同時增大了弧線齒面齒輪的理論外徑。但修形前后面齒輪內徑位置基本不發生變化，由此可以看出，圓柱齒輪凹齒面齒線修形不會導致弧線齒面齒輪的內徑值改變。故圓柱齒輪齒線修形將會增大弧線齒面齒輪的齒寬。

設面齒輪凸齒面和凹齒面的位置參數分別為 h 1、θ s 1、φ s 1和 h2、θ s2、φ s2。根據嚙合方程（12）可知， h 1、θ s 1、h2、θ s2分別為φ s 1、φ s2的函數，ha 為圓柱齒輪齒頂高。由面齒輪嚙合關系可得

由式（17）可以解得凹凸齒面齒頂變尖點的位置參數 h 1、θ s 1、h2、θ s2。將位置參數值代入到嚙合方程（12）及工作齒面方程（15） ，可以得到齒頂沿外徑方向逐漸變尖的兩齒面位置坐標 （x31， y31，z31） 及（ x32，y32，z32）。

最終可以得到齒頂變尖的外半徑為

通過 Matlab 編程計算可得齒面參數如表2 所示。

4.2 齒線參數對面齒輪參數的影響

保持圓柱齒輪凸齒面齒線半徑不變，改變凹齒面齒線半徑，對修形后的圓柱齒輪凹齒面齒線半徑 RT2和對面齒輪外徑參數的影響進行研究。

圖7 所示為面齒輪位置參數 h 1隨圓柱齒輪凹齒面齒線半徑 RT2變化的曲線。

圖8 所示為面齒輪位置參數 h2隨圓柱齒輪凹齒面齒線半徑 RT2變化的曲線。

圖9 所示為面齒輪位置參數θs 1隨圓柱齒輪凹齒面齒線半徑 RT2變化的曲線。

圖10所示為面齒輪位置參數θs2隨圓柱齒輪凹齒面齒線半徑 RT2變化的曲線。

4.3 修形前后面齒輪外徑影響因素

圖11所示為面齒輪凸齒面外徑值 Rout 隨刀具齒輪凹齒面齒線半徑值 RT2變化的曲線。

修形前的中心距 L0對面齒輪輪齒外半徑 Rout 的影響如圖12所示。

修形前的中心距 L0對面齒輪輪齒外半徑 Rout 的影響如圖13所示。

4.4 齒線半徑對面齒輪副接觸跡線的影響

對于面齒輪副接觸跡線的求解，需要將面齒輪與小齒輪的齒面方程及齒面法向量聯立成方程組，求出參數 h 和θs ，再將這兩個參數代入面齒輪的工作齒面方程（15）進行求解，最后求出（x ，y ，z ）的坐標值，即為小齒輪與面齒輪的接觸點坐標。

表3～表8 所示為不同齒線半徑所求到的接觸坐標點。

從表3～表8 中的數據可以看出，在不同齒線半徑 RT 下，當旋轉角φs 相同時，嚙合點坐標相差不大。由此可以說明，齒線半徑的變化對接觸軌跡線的基本無影響。

5面齒輪修形前后模型對比

為了驗證圓柱齒輪齒線修形會增大面齒輪理論外徑，利用 Matlab 、Excel 以及 CATIA 之間的數據交互對修形前后的正交弧線齒面齒輪進行實體建模。

齒線未修形的弧線齒面齒輪輪齒實體模型及頂尖現象如圖14所示。

弧齒圓柱齒輪齒線修形后的弧線齒面齒輪輪齒實體模型及頂尖現象如圖15所示。

6結論

以小齒輪方程為基礎，推導了正交弧線齒面齒輪的全齒面方程。結合齒面生成原理，增大圓柱齒輪凹齒面的齒線圓弧半徑，從而得到一個單齒中截面齒厚不變，兩端齒厚對稱式減小的弧線齒圓柱齒輪。以該齒輪作為產形齒輪來對弧線齒面齒輪工作齒面建立數學模型進行分析，并推導了弧線齒面齒輪外徑方程，得出如下結論：

當弧齒圓柱齒輪凹齒面的齒線半徑 RT2增大時，面齒輪的位置參數 h 1、h2和θs 1、θ s2也逐漸增大。面齒輪凸齒面外徑值 Rout 隨刀具齒輪凹齒面齒線半徑值 RT2的增大而增大。修形前，面齒輪輪齒外半徑 Rout 隨中心距 L0的增大而增大，修形后，面齒輪輪齒外半徑 Rout 隨中心距 L0的增大而減小，齒面接觸點坐標發生微小變化。

增大弧線齒圓柱齒輪的凹齒面半徑會增大面齒輪的外徑，同時，面齒輪外徑處的齒厚也逐漸增大，面齒輪輪齒的齒頂變尖點會沿著齒寬外徑方向偏移，但接觸跡線基本不發生變化。本次研究為后續面齒輪的抗偏載研究提供了理論基礎。

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收稿日期：2021-06-17修回日期：2021-07-24

作者簡介：馮占榮（1982—），男，內蒙古呼和浩特人，博士，講師，碩士生導師;研究方向為機械動力學、機械設計、計算機輔助機械制造。