制造誤差分析及其對(duì)人字齒輪嚙合性能的影響研究

摘要制造誤差是引起齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)和噪聲的主要原因之一，多種誤差的合成更嚴(yán)重影響了齒輪副的嚙合性能。主要研究了各類(lèi)制造誤差對(duì)人字齒輪副嚙合性能的影響程度及規(guī)律。首先，建立了制造誤差模型，并基于空間坐標(biāo)變換原理構(gòu)建實(shí)際齒面;其次，通過(guò)齒面載荷分布探究了不同誤差對(duì)齒輪副嚙合性能的影響規(guī)律，基于正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)探究了不同誤差對(duì)齒輪副嚙合性能的影響程度;最后，分析了典型誤差類(lèi)型對(duì)齒輪副嚙合性能的影響與系統(tǒng)負(fù)載的關(guān)系。結(jié)果表明，不同誤差對(duì)齒輪副嚙合性能的影響規(guī)律各不相同，其中，螺旋線正傾斜偏差在重載工況下對(duì)齒輪副嚙合性能的影響最為突出。

關(guān)鍵詞制造誤差接觸分析嚙合性能載荷分布正交試驗(yàn)

Analysis of Manufacturing Errors and Its Influence on Meshing Performance of Herringbone Gears

Sun Jie1 Zhang Xijin1 Yin Xunmin2 Jia Haitao2 Guo Fang3

（1 School of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China）

（2 703 Research Institute of CSSC，Harbin 150078，China）

（3 School of Construction Machinery，Chang'an University，Xi'an 710064，China）

Abstract Manufacturing errors are one of the main causes of vibration and noise of gear transmission sys-tem，and the combination of multiple errors seriously affects the meshing performance of gear pairs . The influ-ence degree and law of various manufacturing errors on meshing performance of herringbone gear pairs are mainly studied. Firstly，the manufacturing error model is established，and the actual tooth surface is constructed based on the theory of spatial coordinate transformation. Secondly，the influence law of different errors on the meshing performance of the gear pair is explored through the load distribution on the tooth surface，and the influ-ence degree of different errors is explored based on the orthogonal experiment. Finally，the relationship between the influence of typical error types on the meshing performance of gear pairs and the system load is analyzed . The results show that the influence law of various errors on the meshing performance of gear pair is different，and the positive tilt deviation of helix direction has the most prominent influence on the meshing performance of gear pairs under heavy load.

Key words Manufacturing errors Contact analysis Meshing performance Load distribution Orthogonal experiment

0引言

隨著國(guó)際海洋領(lǐng)域競(jìng)爭(zhēng)的加劇和對(duì)船舶動(dòng)力需求的不斷提高，人字齒輪傳動(dòng)作為船舶動(dòng)力傳動(dòng)的主要形式之一，其向高功率密度、低振動(dòng)和低噪聲方向發(fā)展的需求也更為迫切。然而，由于其結(jié)構(gòu)較直齒輪和斜齒輪更為復(fù)雜，輪齒加工制造難度更大，不可避免地會(huì)產(chǎn)生各類(lèi)制造誤差，從而引起嚙合沖擊，嚴(yán)重影響齒輪的傳動(dòng)平穩(wěn)性[1]。因此，對(duì)人字齒輪制造誤差及其對(duì)齒輪副嚙合性能的影響研究已成為機(jī)械工程領(lǐng)域最重要的課題之一。

誤差的引入是分析其對(duì)齒輪副嚙合性能影響的前提，其精度決定了分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。Wang 等[2]將斜齒輪近似為一系列沿軸向獨(dú)立分布的直齒圓柱齒輪片，將齒形誤差轉(zhuǎn)化為各齒輪片的相對(duì)位置關(guān)系，并以此建立了含齒形誤差的斜齒輪副分析模型。 Fakhfakh 等[3]將齒形誤差表示為多階諧波疊加的形式，并將其引入動(dòng)力學(xué)方程，研究了齒形誤差對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律。Lin 等[4]基于齒輪嚙合及展成加工原理，將齒形誤差從刀具中引入，建立了含齒形誤差的斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)有限元模型，并利用有限元軟件分析了其靜態(tài)傳動(dòng)誤差。

由以上文獻(xiàn)可以看出，目前對(duì)齒輪副誤差的引入方法大多不夠精確，從而導(dǎo)致分析結(jié)果的準(zhǔn)確性不足。本文中建立了各類(lèi)制造誤差的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)實(shí)際齒面偏離理論齒面的偏差量擬合得到誤差曲面;通過(guò)空間坐標(biāo)變換將誤差曲面與理論齒面疊加，構(gòu)建了含誤差的高精度實(shí)際齒面;通過(guò)實(shí)際齒面接觸分析，探討了各類(lèi)誤差對(duì)人字齒輪嚙合性能的影響。該方法可顯著提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1誤差建模與分析

1.1 誤差建模

以某船舶動(dòng)力系統(tǒng)中的人字齒輪副為研究對(duì)象，其基本參數(shù)如表1 所示。

為了對(duì)比分析各項(xiàng)制造誤差對(duì)齒輪副嚙合性能的影響，本文中以小輪為例，選取典型的制造誤差進(jìn)行分類(lèi)和建模。齒形誤差是齒輪加工制造過(guò)程中最容易產(chǎn)生的誤差形式，它是指實(shí)際齒面偏離理論漸開(kāi)線齒面的偏差量，該偏差包括齒廓和螺旋線兩個(gè)方向，如圖1 所示。齒形誤差改變了理想的齒廓形狀，嚴(yán)重影響了齒輪副的嚙合性能[5]。

齒廓方向的齒形誤差是指實(shí)際齒廓偏離設(shè)計(jì)齒廓的量，又稱(chēng)齒廓偏差。在齒輪加工過(guò)程中，由于刀具的安裝偏差及振動(dòng)影響，實(shí)際齒廓可能是形狀凹凸波動(dòng)又略微傾斜的曲線。為了準(zhǔn)確描述齒廓偏差的特征，本文中分別建立了齒廓形狀偏差和齒廓傾斜偏差的數(shù)學(xué)模型。

常見(jiàn)的齒廓形狀偏差主要包括中凹、中凸及波浪形3 種形式。其中，波浪形偏差產(chǎn)生的原因主要是刀具磨損或機(jī)床設(shè)定參數(shù)不合適[6]，通常其數(shù)值不大且無(wú)規(guī)律，對(duì)齒輪傳動(dòng)性能的影響較小。因此，本文中研究了中凹、中凸兩種形式的齒廓形狀偏差對(duì)齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)性能的影響規(guī)律，采用半正弦函數(shù)分

別模擬中凸、中凹兩種齒廓形狀偏差，有

Efα= Asin （π ω/ω0 ）- A0（ 1）

式中，A 為齒廓形狀偏差的幅值，取值為正時(shí)表示齒廓中凸偏差，取值為負(fù)時(shí)表示齒廓中凹偏差;ω為齒廓瞬時(shí)嚙合點(diǎn)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度，ω∈ [0 ，ω0 ]，其中，ω0 為嚙合齒對(duì)從進(jìn)入嚙合到退出嚙合所轉(zhuǎn)過(guò)的角度。A0為設(shè)定的輔助參數(shù)，有

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn) GB/T 10095.1—2008[7]20-21，結(jié)合小輪參數(shù)，按4 級(jí)精度取值，齒廓形狀偏差ffα= 6.0μm，將其作為幅值 A 代入式（1 ）可得中凹、中凸兩類(lèi)齒廓形狀偏差如圖2 所示。

齒廓傾斜偏差根據(jù)一對(duì)輪齒的嚙合方向可分為正、負(fù)兩種情況，本文中規(guī)定小輪齒廓嚙入端偏向齒體外、嚙出端偏向齒體內(nèi)時(shí)，嚙入端比嚙出端凸出，此時(shí)，齒廓傾斜偏差為正，反之則為負(fù)。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn) GB/T 10095.1—2008[7]22-23，結(jié)合小輪參數(shù)，按4 級(jí)精度取值，齒廓傾斜極限偏差fHα= ±4.7μm ，將其作為偏差極值，可得正、負(fù)兩類(lèi)齒廓傾斜偏差如圖3所示。為避免引入單個(gè)齒距偏差的影響，保持分度圓處齒廓傾斜偏差為0[8]。

螺旋線方向的齒形誤差是指實(shí)際齒面沿齒寬方向偏離設(shè)計(jì)齒面的量，又稱(chēng)螺旋線偏差，其產(chǎn)生機(jī)理與分布特征和齒廓偏差相似，也可分為螺旋線形狀偏差與螺旋線傾斜偏差兩類(lèi)，建模方法參考齒廓偏差，此處不再展開(kāi)。其中，螺旋線形狀偏差幅值與螺旋線傾斜偏差極值參考標(biāo)準(zhǔn) GB/T 10095.1—2008[7]24-26，結(jié)合小輪齒寬，按4級(jí)精度取值為5.0 μm。1.2 構(gòu)建實(shí)際齒面

本文中采用誤差曲面與理論齒面疊加構(gòu)建實(shí)際齒面的方法，將制造誤差引入人字齒輪副小輪齒面。為提高齒面精度，需保證各類(lèi)誤差準(zhǔn)確疊加在理論齒面上的正確位置。首先，將理論齒面向其軸截面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)投影，如圖4 所示，軸截面所在平面坐標(biāo)系

為 O′X′Z′，齒面上任意一點(diǎn) M 在三維坐標(biāo)系 OXYZ 的位置矢量為 RM =（ x ，y ，z ），在軸截面上投影點(diǎn) M′的坐標(biāo)為（x′，z ′） ，兩點(diǎn)間坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系有

旋轉(zhuǎn)投影后的理論齒面如圖5 中誤差量為0 的平面所示，其下方曲面即為人字齒輪誤差曲面。由圖5 中可以看出，誤差曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與理論齒面投影面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。已知理論齒面上任一點(diǎn)，通過(guò)坐標(biāo)關(guān)系即可唯一確定誤差曲面上的點(diǎn)，即確定了該點(diǎn)應(yīng)疊加的偏差量，從而可以保證各項(xiàng)誤差準(zhǔn)確疊加在理論齒面上的正確位置。

得到各項(xiàng)誤差的疊加位置后，即可確定實(shí)際齒面上任意一點(diǎn) N 的位置矢量 r 和單位法向矢量n 。設(shè)點(diǎn) N 在理論齒面上的位置矢量和單位法向矢量分別為 r0（ u ， l ）、n0（ u ， l ），其中， u、l 均為齒面參數(shù)。將偏差量δN （ x ，y ）與點(diǎn)N 在理論齒面上的位置矢量疊加，得到其在實(shí)際齒面上的位置矢量[9]，即

其單位法向矢量為

2齒輪接觸分析

目前，用于齒輪接觸分析的方法主要為有限元法[10]和數(shù)值仿真[11]兩類(lèi)，其中，基于齒輪嚙合原理的輪齒接觸仿真（TCA ）由于高度還原了齒輪副單個(gè)嚙合周期內(nèi)的齒面接觸情況而被廣泛使用。在其基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的齒輪承載接觸仿真技術(shù)（LTCA ）是對(duì)重載下輪齒嚙合過(guò)程進(jìn)行高精度仿真的一種分析方法，是聯(lián)系齒面幾何設(shè)計(jì)與力學(xué)分析的橋梁，其理論及模型可參考文獻(xiàn)[12]。

通過(guò)引入齒面法向間隙、位移協(xié)調(diào)條件、力平衡方程和非嵌入條件等，采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解式（6），可得齒面接觸點(diǎn)上的離散載荷p 和齒輪副承載后的法向位移 Z ，有

通過(guò)齒面離散載荷p 沿接觸線的分布規(guī)律，可以直觀地得到一對(duì)輪齒從嚙入到嚙出整個(gè)過(guò)程的齒面受載情況[13]。理想狀態(tài)下，齒面載荷應(yīng)分布均勻，但由于誤差的存在，可能導(dǎo)致載荷集中在齒面內(nèi)某一位置，從而導(dǎo)致該處齒面更易受損。因此，不同誤差作用下的齒面載荷分布可體現(xiàn)出各項(xiàng)誤差對(duì)齒面不同位置處嚙合性能的影響規(guī)律。

將法向位移 Z 轉(zhuǎn)化為角度值后即可得到齒輪副承載后的傳動(dòng)誤差，它反映了嚙合過(guò)程中被動(dòng)輪實(shí)際轉(zhuǎn)角偏離理論轉(zhuǎn)角之值，其幅值越大，說(shuō)明齒輪副偏離理想嚙合位置越遠(yuǎn)，越容易產(chǎn)生嚙合沖擊。因此，含不同形式制造誤差的齒輪副承載傳動(dòng)誤差幅值可反映出各項(xiàng)誤差對(duì)嚙合性能影響程度的大小。

本文中基于 LTCA 技術(shù)，分別對(duì)含各項(xiàng)制造誤差的人字齒輪副進(jìn)行仿真分析，通過(guò)齒面載荷分布和承載傳動(dòng)誤差（LTE ）幅值探究各類(lèi)不同誤差對(duì)齒輪副嚙合性能的影響規(guī)律及影響程度。假設(shè)人字齒輪左右兩側(cè)斜齒面制造誤差相同，齒輪副負(fù)載轉(zhuǎn)矩為2 500 N ?m ，對(duì)不含誤差的理想齒輪副進(jìn)行 LTCA 仿真分析，結(jié)果如圖6 所示。

圖6（b）所示為嚙合齒面每條接觸線上的載荷密度大小及分布情況[14]，單位為 N/mm 。值得注意的是，由于左右兩側(cè)齒面 TCA 仿真時(shí)通過(guò)兩次求解非線性方程組得到的齒面間隙并不完全相同，因此，

求解 LTCA 模型得到的兩側(cè)齒面載荷并不完全對(duì)稱(chēng)，但其分布規(guī)律一致，不影響本文中的分析結(jié)果。

3分析實(shí)例

在齒輪的實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，由于受到制造、加工、裝配和外部環(huán)境變化等原因產(chǎn)生的不確定因素影響[15]，往往會(huì)同時(shí)產(chǎn)生多種形式的制造誤差。本節(jié)中首先通過(guò)齒面載荷分布探究單項(xiàng)誤差對(duì)人字齒輪齒面不同位置處嚙合性能的影響規(guī)律，其次基于正交試驗(yàn)法計(jì)算多項(xiàng)誤差綜合作用時(shí)的齒輪副承載傳動(dòng)誤差，并以此判斷不同形式的誤差對(duì)人字齒輪副嚙合性能的影響程度，最后選出4 類(lèi)典型誤差，分析在不同負(fù)載下含單項(xiàng)誤差的人字齒輪副 LTE 幅值變化規(guī)律，以探究不同誤差類(lèi)型對(duì)人字齒輪副嚙合性能的影響與系統(tǒng)負(fù)載的關(guān)系。

3.1 各項(xiàng)誤差對(duì)嚙合性能的影響規(guī)律分析

基于本文中建立的8 種典型制造誤差模型，通過(guò)構(gòu)建實(shí)際齒面的方法將其引入 LTCA 仿真計(jì)算，得到含單項(xiàng)誤差的人字齒輪齒面載荷分布如圖7 所示。

從圖7 中可以看出，齒廓偏差主要影響齒高方向的載荷分布情況。其中，齒廓中凸偏差由于偏差量集中在齒頂和齒根，因此，推遲了輪齒在齒頂和齒根的嚙合，減小了位于這兩個(gè)部分的齒面載荷，但同時(shí)也導(dǎo)致載荷集中于齒高中部，加劇了該處齒面的磨損和點(diǎn)蝕。同理，齒廓中凹偏差導(dǎo)致齒頂和齒根處的載荷較為集中，導(dǎo)致齒根應(yīng)力增大，提高了齒根斷裂發(fā)生的可能性。齒廓正、負(fù)傾斜偏差則分別對(duì)齒根、齒頂處的載荷有一定的集中作用，降低了輪齒的使用壽命。

螺旋線偏差影響齒寬方向的載荷分布情況。其中，螺旋線中凸偏差減小了齒寬兩側(cè)的載荷，同時(shí)將更多載荷集中于齒寬中部，降低了齒寬中部齒面的接觸性能;而螺旋線中凹偏差則相反，其使齒寬兩側(cè)的載荷更為集中。螺旋線正、負(fù)傾斜偏差則分別加劇了輪齒嚙入端、嚙出端的載荷集中現(xiàn)象，導(dǎo)致齒輪副在嚙入嚙出的過(guò)程中產(chǎn)生沖擊，從而形成更大的噪聲，嚴(yán)重影響齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。

綜上所述，不同形式的制造誤差對(duì)齒面載荷分布的影響規(guī)律各不相同。相對(duì)而言，螺旋線偏差的影響較齒廓偏差更為突出。其中，螺旋線傾斜偏差是引起齒輪副嚙合沖擊的主要原因之一，也是危害齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性和航海艦船安全性的重要隱患。

3.2 各項(xiàng)誤差對(duì)嚙合性能的影響程度分析

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是根據(jù)正交性從全面試驗(yàn)中挑選出部分有代表性的點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，以代替全面試驗(yàn)。該方法能在大幅減少試驗(yàn)次數(shù)的情況下，揭示多種因素對(duì)試驗(yàn)或計(jì)算結(jié)果的影響[16]。

本文中選取正交表 L9（ 34） ，擬定 LTE 幅值為試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，以齒廓形狀偏差幅值、齒廓傾斜偏差極值，螺旋線形狀偏差幅值、螺旋線傾斜偏差極值作為影響因素，探究各項(xiàng)誤差對(duì)齒輪嚙合性能的影響程度。以字母 A 、B 、C 、D 分別代表上述4 類(lèi)因素，各試驗(yàn)選取的因素和水平如表2 所示。其中，各因素水平1 、水平2 、水平3 分別對(duì)應(yīng)齒輪副精度等級(jí)為 3級(jí)、4級(jí)、5級(jí)時(shí)的誤差值，其取值同樣參考標(biāo)準(zhǔn) GB/T 10095.1—2008[7]20-26。

值得注意的是，由于每種誤差為正值時(shí)的形態(tài)與其為負(fù)值時(shí)的形態(tài)均不相同。因此，本文中將4 類(lèi)誤差因素均分為正負(fù)兩種情況進(jìn)行試驗(yàn)。表3 所示為本文中設(shè)計(jì)的9 種試驗(yàn)方案與試驗(yàn)結(jié)果匯總，其中，括號(hào)內(nèi)的數(shù)值代表該方案因素值為負(fù)時(shí)對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果。

表3 中，Ki 為各因素在水平 i 下3 次試驗(yàn)結(jié)果的均值，分別反映了各因素在水平 i 時(shí)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響;R 為極差，是 Ki 的最大值與最小值之差，由極差的大小可得出各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響順序從大到小依次為 D 、-A 、-C 、-D 、B 、C 、A 、-B。

由正交試驗(yàn)結(jié)果的極差分析可知，在負(fù)載相同的情況下，上述誤差形式對(duì)齒輪副 LTE 幅值的影響從小到大排列依次為：齒廓負(fù)傾斜偏差→齒廓中凸偏差→螺旋線中凸偏差→齒廓正傾斜偏差→螺旋線負(fù)傾斜偏差→螺旋線中凹偏差→齒廓中凹偏差→螺旋線正傾斜偏差。由此可知，本文中討論的各項(xiàng)誤差中，螺旋線正傾斜偏差對(duì)齒輪嚙合性能的影響程度最大，而齒廓負(fù)傾斜偏差的影響程度最小。

3.3 不同負(fù)載下典型誤差對(duì)嚙合性能的影響分析

基于第2 節(jié)中的分析結(jié)果，選取對(duì)齒輪副嚙合性能影響程度較大的4 類(lèi)誤差：螺旋線正傾斜偏差、齒廓中凹偏差、螺旋線中凹偏差、螺旋線負(fù)傾斜偏差，計(jì)算在不同負(fù)載下含單項(xiàng)誤差的齒輪副承載傳動(dòng)誤差。各項(xiàng)誤差均按4 級(jí)精度取值，如表4 所示。

在上述4 類(lèi)典型誤差作用下的人字齒輪副 LTE 幅值隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩 T 的變化曲線如圖8 所示。

從對(duì)圖8 中的分析可知：

（1 ）含 4類(lèi)誤差的人字齒輪副 LTE 幅值均隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩的增大而增大。其中，螺旋線正、負(fù)傾斜偏差和齒廓中凹偏差對(duì)人字齒輪副嚙合性能的影響程度較為接近，而螺旋線中凹偏差的影響最小。

（2 ）螺旋線正、負(fù)傾斜偏差作用下的 LTE 幅值隨轉(zhuǎn)矩的變化呈拋物線形分布，表明這兩類(lèi)誤差對(duì)負(fù)載的變化較為敏感，隨著轉(zhuǎn)矩的增大，其對(duì)齒輪副嚙合性能的影響逐漸減小。齒廓中凹偏差與螺旋線中凹偏差作用下的 LTE 幅值隨轉(zhuǎn)矩的變化呈線性分布，表明這兩類(lèi)誤差作用下的人字齒輪副嚙合性能幾乎不受負(fù)載變化的影響。

（3 ）在負(fù)載轉(zhuǎn)矩較小時(shí)，螺旋線正傾斜偏差作用下的 LTE 幅值較齒廓中凹偏差和螺旋線負(fù)傾斜偏差更小，而當(dāng)轉(zhuǎn)矩逐漸增大至1 500 N ?m ，螺旋線正傾斜偏差作用下的 LTE 幅值超過(guò)其他兩類(lèi)誤差，表明在重載工況下，螺旋線正傾斜偏差對(duì)齒輪副嚙合性能的影響最為突出。

4結(jié)論

（1 ）基于含單項(xiàng)誤差的人字齒輪實(shí)際齒面載荷分布，分析了各類(lèi)誤差對(duì)齒面不同位置嚙合性能的影響規(guī)律。結(jié)果表明，齒廓偏差主要影響齒高方向的載荷分布情況，螺旋線偏差主要影響齒寬方向的載荷分布情況。其中，螺旋線正、負(fù)傾斜偏差分別加劇了輪齒嚙入端、嚙出端的載荷集中現(xiàn)象，是導(dǎo)致齒輪副嚙合過(guò)程中產(chǎn)生沖擊、從而引起振動(dòng)和噪聲的主要原因之一。

（2 ）以人字齒輪副承載傳動(dòng)誤差幅值為目標(biāo)設(shè)計(jì)了正交試驗(yàn)。結(jié)果表明，對(duì)齒輪副嚙合性能影響程度最大的3 類(lèi)誤差分別是螺旋線正傾斜偏差、齒廓中凹偏差與螺旋線中凹偏差，而齒廓負(fù)傾斜偏差對(duì)齒輪副嚙合性能的影響最小。

（3 ）含 4類(lèi)典型誤差的人字齒輪副 LTE 幅值均隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩的增大而增大。其中，螺旋線正、負(fù)傾斜偏差作用下的人字齒輪副嚙合性能對(duì)負(fù)載的變化較為敏感，而齒廓中凹偏差與螺旋線中凹偏差幾乎不受負(fù)載變化的影響。

（4 ）在重載工況下，螺旋線正傾斜偏差對(duì)齒輪副嚙合性能的影響最為突出。

綜合以上分析可以看出，螺旋線傾斜偏差對(duì)人字齒輪副嚙合性能的影響相較其他類(lèi)型的誤差更為嚴(yán)重，在齒輪加工制造過(guò)程中應(yīng)引起高度重視。

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收稿日期：2021-07-02修回日期：2021-08-30

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51675427）

作者簡(jiǎn)介：孫杰（1997—），男，陜西西安人，在讀碩士研究生;研究方向?yàn)辇X輪傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)與優(yōu)化。

通信作者：張西金（1972—），男，陜西西安人，博士，副教授;主要研究方向?yàn)闄C(jī)械傳動(dòng)。