自由曲面加工誤差預測

黃凱奇 陳岳坪 張怡坤

摘? 要：針對三坐標測量機測量效率低的問題，建立了自由曲面加工誤差預測模型。采用基于模擬退火算法優化的BP神經網絡算法對自由曲面上若干個點的加工誤差進行預測，結合模擬退火算法的概率突跳特性，在解空間中隨機尋找目標函數的全局最優解，從而改進BP神經網絡算法。為進一步提高算法的預測精度，采用加工誤差分解的方法剔除點集中的奇異點。用三坐標測量機對自由曲面上若干個點進行測量并獲得加工誤差，將預測結果與試驗結果進行對比驗證。結果表明，平均絕對誤差指標達到了1.70 μm，且最大絕對誤差為7.12 μm，說明該優化算法具有較好的預測性能。

關鍵詞：自由曲面;加工誤差預測;BP神經網絡;模擬退火算法;加工誤差分解

中圖分類號：TH161? ? ? ? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2022.02.010

0? ? 引言

目前，三坐標測量機主要采用接觸式測頭進行測量。在測量時，根據測量程序對工件表面或者內部的測點按順序逐個進行檢測并獲得測點信息[1]，有較高的測量準確度。在檢測過程中，由于測頭需要保持低速運動，導致三坐標測量機的檢測效率低。若要提高檢測效率，需要建立加工誤差預測模型，用已測點的信息對未測點進行預測，獲得未測點的加工誤差，從而提高檢測效率。

為了對機械加工誤差進行有效預測，尋求高效、簡單、高精度的機械加工誤差預測建模方法非常關鍵。Zhou等[2]針對機床主軸加工誤差的動態和非線性特性，提出了代謝灰色模型（MGM）和非線性自回歸神經網絡（NAR）相結合的機械加工誤差預測模型，結果表明，該組合模型的兩階段預測具有精度高、速度快、魯棒性好等特點，性能優于單個模型，可應用于其他復雜加工誤差的預測。Zhang等[3]分別用序列灰色神經網絡算法（SGNN）和并行灰色神經網絡算法（PGNN）對機床熱誤差進行預測，結果表明，該組合模型的預測精度和魯棒性均優于傳統灰色模型和人工神經網絡算法。羅豪等[4]提出一種側銑表面點位輪廓誤差預測方法，推導預測點法線與實際加工表面交點的求解方法，實現了側銑表面點位輪廓誤差的預測，并通過實驗驗證了該方法的有效性和準確性。

機械加工誤差可分為系統誤差與隨機誤差，目前主流預測算法對隨機誤差的預測效果并不理想，當隨機誤差過大時，會影響預測算法的預測結果，因此，剔除小部分隨機誤差較大的奇異點能降低隨機誤差對加工誤差預測的影響，從而提高預測精度。針對誤差分離工作，張安社等[5]采用基于獨立成分分析的復雜曲面加工誤差分離技術，將復雜曲面加工誤差按照不同的誤差源進行分離，結果表明，應用該方法可以有效地將復雜曲面相近尺度的加工誤差進行分離，有利于進一步對各誤差源進行判定;張磊等[6]針對傳統的誤差流模型只能解決線性模型的問題，提出加工誤差流的半參數回歸模型，對工序系統誤差和隨機誤差進行分離;陳岳坪等[7]采用回歸模型將加工誤差分解成確定性部分與殘差部分，并用空間統計方法判斷殘差部分是否呈空間獨立分布，如果殘差部分被判定為呈空間獨立分布，此時殘差可被視為機械加工誤差中的隨機誤差。本文參考該方法，以基于模擬退火算法優化的BP神經網絡作為回歸模型，采用全局空間自相關的度量指標Geary's C對殘差進行評價，剔除點集中的奇異點。

1? ? 加工誤差預測模型

自由曲面的加工誤差為實際表面點到理論曲面的最短距離[8]，是自由曲面加工質量的評價指標之一。三坐標測量機可準確獲取工件表面上各點的加工誤差信息，對加工生產有一定的指導意義。

相比非接觸式測頭，接觸式測頭有較高的測量準確度，但在測量過程中需要對每一個測點進行逐一測量以獲取測點信息，導致測量效率不高。加工誤差預測模型可用有限個已測點的加工誤差信息去預測自由曲面工件上其他任意位置未測點的加工誤差信息，在預測誤差足夠小的情況下，可代替三坐標測量機去獲取未測點的信息，從而提高檢測效率。

1.1? ?BP神經網絡算法

BP神經網絡（back propagation neural network）是一種按照誤差逆向傳播算法訓練的多層前饋神經網絡，其網絡拓撲結構由輸入層、隱藏層、輸出層構成，當隱藏層數量為1時，BP神經網絡能以任意精度逼近預測目標。

BP神經網絡算法擁有優秀的非線性映射能力、自學習能力、自適應能力、泛化能力以及容錯能力，是目前應用最廣泛的神經網絡，但也存在著許多不足，其中最為明顯的是局部最優解問題。傳統的BP神經網絡采用梯度下降方法來調整權值和閾值，在訓練過程中容易陷入局部最優解，而且受初始權值影響較大，導致預測精度不足[9]。

針對BP神經網絡上述缺點，采用模擬退火算法對BP神經網絡進行優化。模擬退火算法是模仿固體物質的退火過程，隨著溫度的下降，結合概率突跳特性在解空間中隨機尋找目標函數的全局最優解，從而達到避免BP神經網絡陷入局部最優解以及加快收斂速度的目的。

1.2? ?基于模擬退火算法優化的BP神經網絡

模擬退火算法是一種全局優化算法，針對BP神經網絡的缺陷，通過優化初始權值和閾值來避免BP神經網絡在訓練時產生的局部最優解[10]?；谀M退火算法優化的BP神經網絡（簡稱SA-BP神經網絡）步驟如下：

Step 1? 初始化參數，設定初始溫度[T0]、終止溫度[Tend]，[T]為當前溫度，[d]為衰減參數，隨機生成初始解[ω]，每個溫度的迭代次數為[L];

Step 2? 令[ω=ω+Δω]，[Δω]是一個很小且服從均勻分布的擾動，計算增量[Δf=fω-fω]，其中[fω]為評價函數;

Step 3? 若[Δf≤0]，則接受[ω]作為新解，否則以[eΔf/T]的概率接受[ω]作為新解，此為Metropolis準則;

Step 4? [T]逐漸減小，重復Step 2和Step 3，直至[T=Tend]，獲得優化后的解，并將其輸出至BP神經網絡參與計算。

SA-BP神經網絡流程圖如圖1所示。

建立BP神經網絡拓撲結構時，選取曲面理論點的X、Y坐標作為輸入變量，加工誤差作為輸出變量。隱藏層單元數在BP神經網絡中非常重要，神經元數過少會導致BP神經網絡擬合精度不足，神經元數過多會加大訓練成本，并且有可能造成“過擬合現象”，但目前還沒有能夠準確地對隱藏層神經元數進行計算的方法[11]。本文采用試驗數據對隱藏層神經元數在[5，50]進行遞增試算，對比預測值和實際值的平均絕對誤差，得到結果如圖2所示。當神經元數取40時，絕對平均誤差最小，因此，確定隱藏層神經元數為40。BP神經網絡的拓撲結構如圖3所示。

2? ? 剔除點集奇異點

采用回歸模型將加工誤差分解成確定性部分與殘差部分，并用空間統計方法分析殘差部分的空間獨立性。采用全局空間自相關的度量指標Geary's C對殘差進行評價[7]，當Geary's C檢驗統計量在? ? ? ?（-1.65，1.65）時，分解得到的殘差呈空間獨立分布，此時可將殘差視為機械加工誤差中的隨機誤差。當隨機誤差過大時，會明顯影響算法的預測精度，因此，將少量隨機誤差過大的點剔除后，可提升算法的預測精度。

以1.2所述的SA-BP神經網絡作為回歸模型，將已測點代入并計算，獲得確定性部分與殘差，通過空間統計分析殘差的空間獨立性。如果殘差服從空間獨立分布，此時殘差即為隨機誤差，而隨機誤差過大的點則被視為奇異點。

2.1? ?殘差計算

通過三坐標測量機測量獲取[n]個測點坐標以及加工誤差[e]，以X、Y坐標作為輸入層，加工誤差[e]作為輸出層，輸入SA-BP神經網絡，獲得確定性部分的估計值為[P]。

殘差部分表達式為：

[ε=e-P].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

將殘差部分分解出來后，需要對殘差進行空間獨立性分析。如果殘差呈空間獨立隨機分布，說明此次誤差分解有效，否則需要重新運行算法，通過智能算法的隨機性獲得符合要求的殘差，或者對點集進行分塊處理[7]。

2.2? ? 殘差的空間獨立性分析

空間自相關的度量指標有全局和局部2種。Geary's C是一個常用的計算全局空間自相關的指標，Geary's C可表示為：

[C=n-12S0?i=1nj=1nωij（εi-εj）2i=1n（εi-ε）2]? ，? ? （2）

式中：[εi]為第[ii=1， 2， …， n]個測量點的殘差，[ε]為[n]個測量點殘差的平均值，[S0=i=1nj=1nωij]，[ωij]為第[j]點對第[i]點的空間作用度量權重系數。

空間權重矩陣表示空間中各點之間的位置權重因子，用來描述空間鄰近位置關系，其目的是將空間或位置信息量化表示?？臻g權重矩陣可以表? ? ?示為：

[W=ω11ω12…ω1nω21ω22…ω2n???ωn1ωn2…ωnn]，? ? ? ? ? ? ? ? （3）

其中，各點之間空間作用的度量權重系數[ωij]的確定方法如下：

[ωij=d-kij/Li? ? i≠j ，? ?0? ? ? ? ?i=j . ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式中：[dij]為第[i]點與第[j]點之間的距離，[k]為常量[k≥1，本文取k=3]，并且：

[Li=j=1，j≠ind-kij].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

在隨機分布假設下，Geary's C的期望值與方差表達式分別為：

[EC=1]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

[VC=1nn-2n-3S20?n-1S1n2-3n+3-n-1k-14n-1S2n2+3n-6-n2-n+2k+][S20n2-3-n-12k]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

式中：[S0=i=1nj=1nωij];[S1=12i=1nj=1n（ωij+ωji）2]? ;

[S2=i=1n（ωi·+ω·i）2]，[ωi·=j=1nωij]，[ω·i=j=1nωji]? ;

[k=m4/m22];[mr=1ni=1n（εi-ε）r] .

Geary's C檢驗統計量表達式如下：

[Z=C-ECVC]? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

根據空間統計學觀點，當[Z]值為正且顯著時，表明空間數據存在負的空間自相關，觀測值趨于分散分布;當[Z]值為負且顯著時，表明空間數據存在正的空間自相關，觀測值趨于空間聚集;在0.1的顯著性水平下，當[Z]值在（-1.65，1.65）時，觀測值呈空間獨立隨機分布。

如果殘差被認為呈空間獨立隨機分布，該殘差即為從加工誤差中分解出來的隨機誤差。為保證已測點信息的完整性，需要控制剔除點的數量。本文試驗有1 400個已測點，經過實際計算比較，將隨機誤差大于0.005 mm的已測點視為奇異點時，有38個已測點被剔除，此時可保證已測點信息完整，同時降低隨機誤差對預測的影響。

3? ? 試驗驗證

為驗證本文所應用的算法，通過拉丁超立方抽樣法[12]在自由曲面上創建1 400個測點作為訓練樣本，再另外用相同方法創建200個測點作為驗證樣本，分別創建測點可保證曲面信息的完整性，從而保證預測精度。圖4為自由曲面及理論測點的CAD數模。

采用三坐標測量機對自由曲面理論測點進行檢測，獲得自由曲面上各點的坐標以及對應的加工誤差，在Matlab2019a平臺上分別用BP神經網絡和SA-BP神經網絡對驗證樣本進行預測。為了定量評價預測精度，采用如下3項評價指標：

平均絕對誤差（mean absolute error，MAE），用[σMAE]表示：

[σMAE=1ni=1nei-ei]? ，? ? ? ? ? ? ? ? （9）

其中：[n]為驗證樣本容量，[ei]為驗證樣本加工誤差實測值，[ei]為驗證樣本加工誤差預測值。

平均絕對百分比誤差（mean absolute percentage error，MAPE），用[σMAPE]表示：

[σMAPE=100%ni=1nei-eiei]? ? ?.? ? ? ?（10）

均方根誤差（root mean square error，RMSE），用[σRMSE]表示：

[σRMSE=1ni=1n（ei-ei）2]? ? ?.? ? ? ? （11）

上述3個指標均是越趨近0時，預測效果越好。預測結果對比如表1所示。

未剔除奇異點時，上述3項指標都是SA-BP神經網絡預測結果更趨近0，說明SA-BP神經網絡算法的預測效果比BP神經網絡的預測效果要好;剔除奇異點后，SA-BP神經網絡的3項指標都有所下降，說明通過該方法確實能提升SA-BP神經網絡的預測精度。SA-BP神經網絡與BP神經網絡預測對比結果如圖5所示，為了方便觀察，取前20個樣本點預測誤差的絕對值進行比較，可見SA-BP神經網絡預測值總體趨勢更加接近實際值，預測效果優于BP神經網絡，且剔除奇異點后，SA-BP神經網絡的預測精度也有所提升。

剔除奇異點后的SA-BP神經網絡的具體預測結果如圖6所示。由圖6可知，大部分樣本點的絕對誤差都在4 μm以下，個別樣本點的絕對誤差在5 μm左右，最大絕對誤差為7.12 μm。

在經過模擬退火算法優化后，BP神經網絡獲得全局優化的初始權值和閾值，在網絡訓練過程中，提前避免陷入局部最優解的情況，獲得更加準確的權值，使預測精度得到提升，因此，優化后的BP神經網絡預測精度更高。此外，剔除隨機誤差較大的奇異點，可提升算法的預測精度。

4? ? 結論

本文對自由曲面加工誤差預測問題進行研究，針對BP神經網絡的不足，建立了基于模擬退火算法優化的BP神經網絡預測模型，并通過遞增試算的方法找到合適的隱藏層單元數。結果表明，在找到適合的隱藏層單元數后，預測結果得到了明顯 提升。

在剔除奇異點后，點集的總體隨機誤差下降，隨機誤差對預測算法的影響也隨之下降，使得預測精度上升。從預測結果評價來看，剔除奇異點后的SA-BP神經網絡各項指標均有所優化，證明了該方法的有效性。

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Machining errors prediction of free-form surfaces： BP neural

network algorithm optimized by simulated annealing algorithm

HUANG Kaiqi， CHEN Yueping*， ZHANG Yikun

（School of Mechanical and Automotive Engineering， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545616， China）

Abstract： A model of machining errors prediction of free-form surfaces was established aiming at low measuring efficiency of CMM. Firstly， BP neural network algorithm optimized by simulated annealing algorithm was used to predict the machining errors of points on the free-form surface; combined with the probability jump characteristics of simulated annealing algorithm， the global optimal solution of the objective function was randomly found in the solution space to improve the BP neural network? ? ? ? ? ? algorithm. Secondly， the machining error decomposition method was used to eliminate singular points to further improve the prediction accuracy of the algorithm. Thirdly， several points on the free-form? surfaces were measured by CMM to obtain the machining errors. Finally， the predicted results were compared with the actual results in an experiment. The experimental results show that the algorithm has reliable predictive performance of prediction with the average absolute error index 1.70 μm and the maximum absolute error 7.12 μm.

Key words： free-form surface;machining error prediction;BP neural network;simulated annealing algorithm;machining error decomposition

（責任編輯：黎? 婭）