組合體結構基于胡聿賢譜下隨機地震響應的簡明封閉解

李創第 楊雪峰 李宇翔 葛新廣

摘? 要：胡聿賢譜是在Kainai-Tajimi譜的基礎上引入了低頻段的附加項，彌補了Kainai-Tajimi譜的不足，但表達式更加復雜，不易求解。兩相鄰建筑通過連接黏彈性阻尼器形成的組合體結構在地震作用下的減震效果顯著，為此提出了一種獲得組合體結構基于胡聿賢譜隨機地震動響應的簡明解法。首先，運用胡聿賢譜的濾波方程將地面運動轉化為白噪聲激勵，然后通過復模態法將運動方程進行解耦，獲得了組合體結構的復振動特征值及模態強度系數。其次，基于隨機振動理論，得出了動態響應的協方差、方差和功率譜密度函數的簡明表達式，獲得了組合體結構0—2階譜矩的封閉解。最后，與虛擬激勵法進行了比較，對設置Maxwell黏彈性阻尼器的相鄰建筑結構進行實例研究，分析結果包括組合體結構0—2階譜矩以及連接黏彈性阻尼器在地震作用下的減震性能。驗證了本文所提方法的精確性。

關鍵詞：組合體結構;胡聿賢譜;黏彈性阻尼器;復模態法;譜矩

中圖分類號：TU318? ? ? ? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2022.02.002

0 引言

隨著城市化的不斷發展，建設用地逐漸減少，相鄰建筑物之間的空間變得越來越狹小，在強震作用下容易導致相鄰建筑物發生碰撞[1-3]。在以往的地震災害中，例如1989年美國加州洛馬普列塔地震[1]、2011年新西蘭萊斯特徹奇地震[2]、2008年中國汶川地震[3]等，都出現了大量相鄰建筑物碰撞導致的二次破壞，從而造成了更大的經濟損失。

為了減少地震過程中相鄰建筑結構碰撞造成的人員傷亡與經濟損失，許多學者提出在相鄰結構間安裝阻尼器等耗能裝置做成組合體結構[4-7]。伏恬甜等[4]研究了相鄰結構間安裝的連接阻尼器的參數優化，得出了最優阻尼系數與質量比和剛度比的公式。周云等[5]研究了相鄰結構設計參數對結構碰撞響應的影響，得出了最小防震縫寬度對相鄰結構的影響及縫寬的計算方法。Xu等[6]對相鄰結構間設置線性二次高斯主動控制裝置進行了研究，研究表明組合體結構抗震性能取決于主動控制器的參數選取情況。Zhu等[7]通過應用Kanai-Tajimi譜和多個實際地震記錄，對設置在相鄰結構間的黏彈性阻尼器的參數進行了優化和分析。

在工程實際中，可以將地震動看作是隨機激勵來進行動力分析[8-10]。由于Kanai-Tajimi譜在低頻段不能很好地反映出基巖地震動的頻譜特征[11-12]，基于此，許多學者采用不同的線性濾波器，從而得到了多個改進的地震動模型。在多個改進的Kanai-Tajimi模型中，胡聿賢等[13]在保持Kanai-Tajimi模型優點的條件下，在低頻段引入附加項，修正了Kanai-Tajimi譜過分夸大的低頻成分，克服了Kanai-Tajimi在零頻處的不足之處，比較符合地震觀測統計的數據結構，因而胡聿賢模型是描述地面隨機振動特性的一個較為理想的計算模型。

目前，關于帶黏彈性阻尼器的相鄰組合結構地震反應的研究，主要基于確定性的時程分析[6，14-15]，但一條時程曲線分析不能很好地反映地震動的隨機性。文獻[16-17]探討了帶黏彈性阻尼器的相鄰結構系統隨機地震動響應的數值解，但存在計算效率及精度受數值積分步長的影響較大的問題。

針對當前建筑結構隨機地震動響應分析復雜的問題，葛新廣等[18]基于Kanai-Tajimi譜的濾波方程，利用復模態法獲得了單自由度結構基于Kanai-Tajimi譜激勵下的隨機地震動響應0—2階譜矩的簡明封閉解。本文基于文獻[18]所提方法，對設置黏彈性阻尼器的組合體結構在胡聿賢譜激勵下的地震反應進行了分析研究。利用濾波方程[19]將胡聿賢頻譜激勵轉化為白噪聲激勵，并通過復模態法將轉化后的激勵運動方程解耦，獲得了組合體結構的復振動特征值及模態強度系數?；陔S機振動理論，給出了動態響應的協方差、方差和功率譜密度函數的簡明表達式，得到組合體結構0—2階譜矩的封閉解。

1 重構組合體的地震動方程

在第J層設置連接阻尼裝置，計算簡圖如圖1所示。

圖1左側及右側結構的運動方程分別為：

[MLxL+CLxL+KLxL+PL=-MLILxg]，? ? ?（1）

[MRxR+CRxR+KRxR+PR=-MRIRxg]，? ? ?（2）

式中：[ML（MR）]、[CL（CR）]、[KL（KR）]分別為組合體左側（右側）結構的質量矩陣、阻尼力矩陣、剛度矩陣，[xL（xR）]、[xL（xR）]、[xL（xR）]分別為組合體左側（右側）結構樓層相對于地面的位移向量、速度向量和加速度向量，[PL（PR）]為Maxwell型黏彈性阻尼器作用于左側（右側）結構的阻尼力向量，[xg]為地面運動加速度。

上述力學參數具體表達式為：

[ML=diagmL，1，…，mL，JL，…，mL，nLT]，[IL=1，…，1TnL×1];[MR=diagmR，1，…，mR，JL，…，mR，nRT]，[IR=1，…，1TnR×1];[xL=xL，1， xL，2，…， xL，nLT]，[xR=xR，1， xR，2，…， xR，nRT];[PL=O1L， 1， O2LTpJ（t）]，[PR=O1R， -1， O2RTpJ（t）];[O1L]為行向量，其內部含[JL-1]個0元素;[O2L]為行向量，其內部含[nL-JL]個0元素;[O1R]為含[JR-1]個0元素的行向量，[O2R]為含[nR-JR]個0元素的行向量。

參照文獻[20]，Maxwell型黏彈性阻尼器的阻尼力可表示為：

[PJ（t）+λPJ（t）=cd（xL，JL-xR，JR）]，? ? ? ? ? （3）

式中：[PJ（t）]為Maxwell阻尼力;[cd]為零頻率時的線性阻尼常數;[kd]為“無限大”頻域內的剛度系數;[λ=cd/kd]，[λ]為放松時間系數。

將式（1）與式（2）聯立，則組合體系的地震動方程為：

[Mx+Cx+Kx+P（t）=-γxg]，? ? ? ? ? ? （4）

式中：[x=xLxR]，[M=MLo1oT1MR]，[C=CLo1oT1CR]，[K=KLo1oT1KR]，[P（t）=PLPR]，[γ=ML? ? ILMR? ? IR]，

胡聿賢譜[13]的濾波方程為：

[ug+2ξgωgug+ω2gug=-uR，xg=ug+uR，μ-ω3cμ=w（t），uR=μ.]? ? ? ? ? ? （5）

其中：[ξg]、[ωg]分別為基巖上部場地土的阻尼比和卓越頻率，[ug、ug]分別為地面相對于基巖運動的速度和位移，[ωc]為低頻截止頻率，[uR]為基巖運動加速度，[w（t）]為白噪聲激勵，其協方差為：

[Cw（t）（τ）=2πS0δ（τ）]，? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

式中：[S0]為地震動強度常數，[δ（τ）]為[Dirac]函數。

引入狀態變量：

[y=x， x， PJ（t）， ug， ug， μ， μ， μT].? ? ? ? ? ?（7）

聯立式（3）—式（5），并用狀態方程表示為：

[My+Ky=rw（t）]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

式中：[x]、[y]分別是[x]、[y]的求導;

[r=o2， 0， 0， o2， 0， 1， 0， 0Tq×1]，

其中，[q=2nL+2nR+6];

[M=CMoT2oT2γoT2oT2γo2o202ξgωg1001o2o2λ00000Eo3oT2oT2oT2oT2oT2oT2o2o2010000o2o2000001o2o2000100o2o2000010q×q];

[K=Ko3αoT2oT2oT2oT2oT2o2o20ω2g0000o2-αTcd100000o3-EoT2oT2oT2oT2oT2oT2o2o200-1000o2o2000-ω3c00o2o20000-10o2o200000-1q×q].

其中，[α=O1L， 1， O2L， O1R， -1， O2RT]，[o2]為[（nL+nR）]階元素均為0的行向量，[o3]為元素均為0的[（nL+nR）]階方陣，[E]為[（nL+nR）]階單位矩陣。

2 復模態法解耦運動方程

根據復模態理論[8]，存在左、右特征向量[V]和[U]，以及特征值矩陣[P]，可得：

[P=-VTKUVTMU]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

式中[：P]為對角矩陣。

利用復模態變換可得：

[y=Uz]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

式中：[z]為復模態變量。

將式（10）代入式（7），式（7）可改寫為：

[z+Pz=ηuR]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （11）

式中，[η=VTrVTMU]。

由于[P]為對角矩陣，故式（11）的分量形式為：

[zj-pjzj=ηjuR（j=1，2，…，q）]，? ? ? ?（12）

式中，[zj、ηj、pj]分別是[z、η、P]的分量形式。

運用杜哈梅積分對式（12）進行處理可得：

[zj=ηj0tePjτuR（t-τ）dτ].? ? ? ? ? ? ? （13）

3 組合體地震動響應公式統一表達

在工程抗震設計中，結構體系層間地震動變形與各層相對于地面的地震動位移是重要的設計參數，因此，研究上述參數的統一解具有重要的工程意義。

3.1 組合體地震動響應的絕對速度與位移

由式（8）及式（13）可知，組合體系的結構層相對于地面的位移[xj]和速度[xj]可表示為：

[xj=ujz=i=1qλj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，xj=unL+nR+jz=i=1qλnL+nR+j，i0tepiτuR（t-τ）dτ.] （14）

式中：樓層數 [j=1， …，（nL+nR）]（當[j=1， 2， …， nL]時，為組合體左側結構;當[j=（nL+1）， …，（nL+nR）]時，為組合體右側結構），[uj]為特征向量矩陣[U]的第[j]行向量，動力響應的模態強度系數[λj，i]為：

[λj，i=uj，iηi]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）

式中：[uj，i]為[uj]的第[i]個分量。

3.2? ?組合體結構的層間位移與速度

組合體系的左側結構層間位移[ΔxL，j]及速度[ΔxL，j]可表示為：

[ΔxL，j=i=1qαj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxL， 1=xL， 1，ΔxL，j=i=1qαj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxL， 1=xL， 1.]? ? ? ? ? （16）

式中：[j=2， 3， …， nL]。

組合體左側結構的模態強度系數[αj，i]、[αj，i]為：

[αj，i=（uj，i-uj-1，i）ηi，αj，i=（unL+nR+j，i-unL+nR+j-1，i）ηi.]? ? ?（17）

組合體系的右側結構層間位移[ΔxR，j]及速度[ΔxR，j]可表示為：

[ΔxR， j=i=1qβj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxR， 1=xR， 1，ΔxR， j=i=1qβj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxR， 1=xR， 1.]? ? ? ? ? （18）

組合體右側結構的模態強度系數[βj，i]、[βj，i]為：

[βj，i=（unL+j，i-unL+j-1，i）ηi ，βj，i=（u2nL+nR+j，i-u2nL+nR+j-1，i）ηi .]? ? ?（19）

由式（14）、式（16）及式（18）可得結構各層位移及其速度，層間位移及其速度可統一表示為：

[X（t）=i=1qκi0tepiτuR（t-τ）dτ=i=1qXi（t）]， （20）

式中：[X（t）]表示地震動響應量，[κi]表示[X（t）]的模態強度系數，[Xi（t）]為[X（t）]分量形式，具體表達式如下：

[Xi（t）=κi0tepiτuR（t-τ）dτ? ? ?（i=1， 2， …， q）] .? （21）

4? ? 組合體地震動響應的簡明封閉解

4.1? ?組合體地震動響應的協方差

由隨機振動理論[8]及式（20），結構地震動響應[X]的協方差為：

[CX（τ）=E[X（t）X（t+τ）]=]

[k=1qi=1qE[Xk（t）Xi（t+τ）]]，? ? ? ? ? ? （22）

式中：[E[?]]為數學期望。

由式（21）可知，結構地震動響應[X]分量的協方差可表示為：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=κkκi0∞0∞epkuepiv×E[uR（t-u）xR（t+τ-v）]dudv=] [κkκi0∞0∞epkuepivCuR（u+τ-v）dudv.]? ? ? （23）

把式（6）代入式（23）得：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=]

[2πS0×κkκi0∞0∞epkuepivδ（u+τ-v）dudv].? ? ?（24）

利用Dirac函數的性質，式（24）簡化為：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=2πS0κkκi0∞epkuepi（u+τ）du] . （25）

對式（25）積分可得：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=-2πS0κkκiepiτpk+pi].? ? ?（26）

由式（22）和式（26），組合體結構基于胡聿賢譜的動力響應的協方差為：

[CX（τ）=-2πS0i=1qk=1qκkκipk+piepiτ].? ? ? ?（27）

由式（27）可知，組合體結構在胡聿賢譜下動力響應的協方差表達式簡潔明了，并且是模態的組合。

當[τ=0]時，設置連接裝置的兩相鄰結構響應的方差[σ2X]為：

[σ2X=CX（0）=-2πS0i=1qk=1qκkκipk+pi].? ? ? ? （28）

由隨機振動理論[8]，結構動力響應的協方差與單邊功率譜關系為：

[SX（ω）=1π0∞CX（τ）cosωτdτ]，? ? ? ? （29）

式中：[SX（ω）]為結構響應[X]的單邊功率譜。

將式（27）代入式（29），通過積分可得：

[SX（ω）=2S0i=1qk=1qκkκipk+pipiω2+p2i].? ? ?（30）

從式（30）可知，組合體結構的單邊功率譜密度函數表示成1/[（ω2+p2i）]的線性組合，表達式更為簡潔，且為本文解法的核心所在，為后文獲得組合體結構地震動響應0—2階譜矩的簡明封閉解奠定基礎。

4.2? ?組合體結構0—2譜矩的簡明封閉解

由譜矩的定義[8]可知，地震動響應的0階譜矩[αX， 0]為：

[αX， 0=4S0i=1qk=1qκkκipk+pi0∞piω2+p2idω].? ? ?（31）

對式（31）進行積分后可得：

[αX， 0=-2πS0i=1qk=1qκkκipk+pi].? ? ? ? ? ? ?（32）

由隨機振動理論[8]，組合體系響應的0階譜矩等于2階譜矩，即：

[αX， 2=αX， 0] .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （33）

式中：[X=dXdt]。

由譜矩定義[8]，組合體系響應的1階譜矩可表示為：

[αX， 1=4S0i=1qk=1qκkκipk+pipi0∞ωω2+p2idω].? ?（34）

對式（34）進行積分后可得：

[αX， 1=-2S0i=1qk=1qκkκipk+pipilnp2i].? ? ? ? （35）

根據式（14）—式（19）及式（32）、式（33）、式（35），組合體系地震動響應的0—2階譜矩均可得到簡明的封閉解。

5? ? 算例

兩相鄰的鋼筋混凝土建筑結構，主體結構（左側結構）樓層數為15層，其相鄰結構（右側結構）樓層數為7層，兩結構在第7層通過黏彈性阻尼器相連，主體結構每層的質量為1.56×106 kg，每層側向剛度為4.0×109 N/m;其相鄰結構每層質量為1.29×106 kg，每層的側向剛度為2.0×109 N/m;結構采用瑞利阻尼，阻尼比為0.05，黏彈性阻尼器采用Maxwell模型，其力學參數為：kd = 5.5×108 N/m，cd = 5.5×107 N·s/m。胡聿賢隨機激勵模型的參? ? ? 數為： [ωg]= 17.95 rad/s，[ωc]=4.14 rad/s，xg = 0.72，S0 = 15.6×10-4 m2/s3。

5.1? ?組合體結構系列響應功率譜對比分析

根據隨機振動理論[9]，式（4）的功率譜密度函數為：

[Sxg（ω）=ω6ω6+ω6cω4g+4ξ2gω2gω2（ω2g-ω2）2+4ξ2gω2gω2S0].? ?（36）

由式（4）可知，基于虛擬激勵的結構響應的頻域解為：

[x（ω）=-D（ω）γSxg（ω）eiωt]，? ? ? ? ? （37）

式中：[xω=]

[xL， 1（ω）， …， xL， nL（ω）， xR， 1（ω）， …， xR， nR（ω）T];[Dω=K-Mω2+C+cdiω1+λiωβ-1]，[i=-1];本算例中[β]為22階的方陣，其中，[β（7，7）=1]，[β（22，22）=1]，[β（7，22）=-1]，[β（22，7）=-1]，其余元素均為0。

結構層間位移的頻響域解[Δx（ω）]可以表示為：

[Δx（ω）=xL，1（ω）， xL， 2（ω）-xL， 1（ω），…， xL， nL（ω）-xL， nL-1（ω），]

[xR，1（ω）， xR， 2（ω）-xR， 1（ω），…， xR， nL（ω）-xR， nL-1（ω）].

則基于虛擬激勵法[21]的結構響應功率譜為：

[SPEMxj（ω）=xj（ω）×x*j（ω），SPEMΔxj（ω）=Δxj（ω）×Δx*j（ω）.]? ? ? ? ? （38）

式中：[SPEMxj（ω）]為[xj]的響應功率譜，[x*j（ω）]為[xj（ω）]共軛解，即[x*j（ω）=xj（-ω）];[SPEMΔxj（ω）]為[Δxj]的響應功率譜，[Δx*j（ω）]為[Δxj（ω）]共軛解。

圖2為本文方法獲得的地震動加速度功率譜與胡聿賢譜的地震動加速度功率譜的對比圖。由圖2可知，本文方法與胡聿賢譜的地震動加速度功率譜曲線完全重合。圖3—圖4為本文方法與虛擬激勵法的功率譜密度函數的對比圖，由圖3、圖4可知，本文方法與虛擬激勵法所得的結構層位移、結構層層間位移的功率譜密度函數曲線完全重合，從而可以驗證本文方法的正確性，并且本文方法的功率譜公式（30）更為簡潔。

5.2? ? 本文方法與虛擬激勵法積分步長的影響分析

為驗證本文方法計算精度，將本文方法獲得的0—2階響應譜矩與虛擬激勵法在不同積分步長的情況下所得結果進行對比。以組合體結構中的左側結構的絕對位移以及右側結構的層間位移為分析對象，選取虛擬激勵法的積分步長為4.00 rad/s、 2.00 rad/s、0.10 rad/s以及0.01 rad/s這4種情形進行分析。由圖5—圖10可知，當虛擬激勵法選取的積分步長取值越小時，獲得的結果逐漸平穩，所得1階譜矩結果最終與本文方法重合，0階和2階譜矩最終結果與本文方法接近，誤差較小，從而說明了本文方法求得的結果較為精確，避免了虛擬激勵法為獲得足夠精度所需的多次試算。

5.3? ?設置連接阻尼裝置結構的減震性能分析

由圖11可知，設置Maxwell黏彈性阻尼器的相鄰建筑結構在地震作用下的結構位移明顯降低，從而說明了相鄰建筑結構設置連接阻尼器運用于抗震的有效性。由圖12可知，設置Maxwell黏彈性阻尼器的相鄰建筑對左側結構（主結構）的層間位移有較好的控制效果，對于附屬結構（右側結構）的層間位移較未設置連接阻尼器會出現局部增大的情形，因此，相鄰建筑在設置連接阻尼裝置時需對樓層的層間位移進行綜合考慮。

6? ? 結論

本文針對相鄰建筑結構設置Maxwell阻尼裝置形成的組合體結構，基于胡聿賢譜隨機激勵下的絕對位移及層間位移等系列響應的封閉解進行了研究，可得結論如下：

1）利用胡聿賢譜的濾波方程將組合體結構地震動轉化為基于過濾白噪聲激勵的地震動方程。繼而基于時域法，并利用白噪聲簡明的協方差表達式，把結構響應的功率譜密度函數以1/[（ω2+p2i）]的線性組合進行表示，并獲得了0—2階譜矩的簡明封? ? 閉解。

2）提出了組合體結構相對于地面的位移及層間位移等系列響應統一表達式，避免了虛擬激勵法需要多次試算才能得到高精度解，便于工程的實際? 應用。

3）通過對相鄰建筑結構是否設置黏彈性阻尼器進行了分析，表明了黏彈性阻尼器設置在相鄰建筑間具有良好的耗能和減震效果。

參考文獻

[1]? ? ?KASAI K，MAISON B F. Building pounding damage during the 1989 Loma Prieta earthquake[J]. Engineering Structures，1997，19（3）：195-207.

[2]? ? ?COLE G L，DHAKA R P，TURNER F M. Building pounding damage observed in the 2011 Christchurch earthquake[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2012，41（5）：893-913.

[3] 辛星. 考慮碰撞的相鄰建筑抗震能力評估方法研究[D].哈爾濱：中國地震局工程力學研究所，2016.

[4] 伏恬甜， 裴星洙.相鄰結構連接阻尼器設計參數優化研究[J].工程抗震與加固改造，2018，40（2）：21-27.

[5] 周云，梁秋河，房曉俊.相鄰結構碰撞研究進展[J].土木工程學報，2019，52（9）：12-22，52.

[6] XU Y L，HE Q，KO J M. Dynamic response of damper-connected adjacent buildings under earthquake excitation[J]. Engineering Structures，1999，21（2）：135-148.

[7] ZHU H P，GE D D，HUANG X. Optimum connecting dampers to reduce the seismic responses of parallel structures[J]. Journal of Sound and Vibration，2011，330（9）：1931-1949.

[8] 方同. 工程隨機振動[M].北京：國防工業出版社，1995.

[9] 胡聿賢. 地震工程學[M]. 2版.北京：地震出版社，2006.

[10] 劉美華，鄒萬杰，葛新廣，等.單自由度廣義Maxwell阻尼結構基于歐進萍譜隨機響應的簡明封閉解法[J].廣西科技大學學報，2021，32（4）：58-64.

[11] KANAI K. An empirical formula for the spectrum of strong earthquake motions[J]. Bulletin of Earthquake Research Institute，University of Tokyo，1961，39（1）：86-95.

[12] TAJIMI H. A statistical method of determining the maximum response of a building structure during an earthquake[C]//Proceeding of the Second World Conference on Earthqake Engineering. Tokyo，Japan，1960，11：781-797.

[13]? ?胡聿賢，周錫元.彈性體系在平穩和平穩化地面運動下的反應[M]//劉恢先.地震工程研究報告集：第一集.北京：科學出版社，1962.

[14]? ?ZHANG R H，SOONG T T，MAHMOODI P. Seismic response of steel frame structures with added viscoelastic dampers[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1989，18（3）：389-396.

[15] ZHANG W S，XU Y L. Vibration analysis of two buildings linked by Maxwell model-defined fluid dampers[J]. Journal of Sound and Vibration，2000，233（5）：775-796.

[16]? ?ZHU H P，LEMURA H. A study of response control on the passive coupling element between two parallel structures[J].Structural Engineering and Mechanics，2000，9（4）：383-396.

[17]? ?ZHU H P， WEN Y P， LEMURA H. Study on interaction control for seismic response of parallel structures [J].Computers and Structures，2001，79（2）：231-242.

[18] 葛新廣，龔景海，李創第. 線性結構基于Kanai-Tajimi譜的隨機地震動響應分析的新解法[J].振動與沖擊，2020，39（22）：60-66.

[19] 戴成元，王偉.改進的胡聿賢-歐進萍地震地面運動模型[J].遼寧工程技術大學學報（自然科學版），2017，36（11）：1155-1159.

[20] 李創第，葛新廣，李暾，等.多自由度Maxwell阻尼器減震結構（Ⅰ）——隨機響應特性[J].應用力學學報， 2012，29 （4）：368-373，482.

[21] 林家浩，張亞輝.隨機振動的虛擬激勵法[M].北京：科學出版社，2004.

Concise closed form solution of random seismic response of composite structure based on Hu Yuxian's spectrum

LI Chuangdi， YANG Xuefeng， LI Yuxiang ， GE Xinguang*

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： Hu Yuxian's spectrum introduces an additional term of low frequency band based on? ? Kainai-Tajimi spectrum， which makes up for the deficiency of Kainai-Tajimi spectrum.But the? ? ? ? ? ? expression is insufficient and not easy to solve.The composite structure formed by two adjacent? ? ? buildings connected with viscoelastic dampers has significant seismic mitigation effect. In this paper， a concise solution of random seismic response of composite structures based on Hu Yuxian's spectrum is presented. Firstly， the ground motion is transformed into white noise excitation by using the filtering equation of Hu Yuxian's spectrum， and the motion equation is decoupled by the complex mode method to obtain the complex vibration eigenvalues and modal intensity coefficients of the composite structure. Secondly， based on the random vibration theory， the concise expressions of covariance， variance and power spectral density function of dynamic response are obtained， and the closed form solution of 0-2 order spectral moment of composite structure is obtained. Finally， the proposed method is compared with the virtual excitation method， and a case study of an adjacent building structure with Maxwell? ? viscoelastic dampers is carried out to verify the correctness of the proposed method. The analysis? ? ? ? results include the 0-2 order spectral moment of the composite structure and the seismic performance of the connected viscoelastic dampers.

Key words： combination structure; Hu Yuxian's spectrum; viscoelastic damper; complex mode method; spectral moment

（責任編輯：羅小芬）