基于Kane方法的工業機器人系統柔性動力學模型研究

梁學修 代海聰 宋斌 蔣杰 關永瀚 任媛

摘要：建立動力學模型對實現工業機器人系統高精度、高速度、高動態響應控制具有重要意義。本文首先建立了基于Kane方法的傳統剛性動力學模型，分析得知剛性動力學模型忽略關節非線性特性將潛在導致系統不穩定及末端抖動問題發生，針對此問題對剛性動力學模型進行改進并提出考慮關節柔性因素的工業機器人系統柔性動力學模型，改善系統控制特性，滿足工業機器人在切割、涂膠等領域對低振動和高穩定性的應用需求。

關鍵詞：動力學模型;Kane方法;剛性;關節柔性

現有工業機器人控制領域，已建立基于機器人全剛性連接假設的機器人動力學模型[1][2][3]，基于該模型實時引入動力學前饋控制量，可在一定程度上改善系統動態響應速度，但卻不可避免地導致了系統末端抖動和不穩定性[4]。已有研究表明，機器人系統中的柔性因素（關節柔性）可影響末端執行器的定位精度與運行穩定性[5]，建立考慮機器人柔性因素的動力學模型，對分析確定機器人末端抖動的根源至關重要，同時可為后續優化控制提供基礎[6]。此外，提高機器人柔順性具有廣闊的應用前景，但柔性動力學模型建立及其控制也存在一定挑戰性[7]。

本文首先建立了基于Kane方法的傳統剛性動力學模型，通過對機器人系統的關節耦合特性進行研究，分析了該模型缺陷和潛在導致系統不穩定及末端抖動原因，針對此問題對剛性動力學模型進行改進;考慮關節柔性因素提出基于Kane方法的工業機器人系統柔性動力學模型，旨在更準確反映機器人機電系統的固有特征，提高前饋控制準確性，從而改善系統控制特性。

1??? 機電系統動力學模型建模方法

理想情況下，機電系統認為是剛性動力學系統，控制如圖1所示。

基于剛性動力學模型基礎，根據圖2工業機器人關節運動狀態，考慮關節柔性因素，可改進為柔性動力學模型。

動力學建模目前有許多較為成熟的方法可供使用，較為常用的包括：Newton-Euler方法;Lagrange方程;Kane方法。這些方法思路不同，但均可根據動力學普遍方程相互轉化，在本文采用Kane方法進行研究，可建立如下形式方程：

2??? 基于Kane方法的剛性系統模型

2.1??? 剛性系統模型

Kane方法基于偏速度與偏角速度的概念，即運動過程中某一位置點與廣義坐標的相對關系。剛性系統的動力學模型可基于各個連桿的廣義主動力與廣義慣性力獲取。

在工業機器人上選取各個關節轉角的廣義坐標，將各個連桿的角速度與線速度表示在其坐標系中，構建DH矩陣：

為簡化后續的分析，在各個連桿上建立固結于連桿的坐標系，并將各個連桿的運動學參數在局部坐標系中表示。

·連桿角速度

·連桿角加速度

·連桿線速度

·連桿線加速度

·連桿質心的速度

ⁱv_ci=ⁱv_i+ⁱω_i×ⁱP_ci

在Kane方法中，需要引入偏速度的概念

·連桿偏角速度

·連桿偏速度

·連桿質心偏速度

在動力學廣義慣性力為連桿旋轉的慣性力，可表示為：

其中，

對每一個自由度應用Kane方程，可得：

從而可得動力學方程：

對于剛性模型的動力學方程，q為電機輸出的轉角，因此關于q的信息已知，通過給定的運動，可以獲知給定狀態下的電機扭矩。

剛性動力學模型在給定的關節轉速下，可以確定末端的位置姿態以及關節扭矩，可作為動力學前饋控制基礎，用于提升機器人控制的精度和響應。但由于運動中擾動的存在以及動力學建模中不可避免的誤差，實際的機器人控制系統不能完全依賴于動力學模型，而需要進行實時反饋控制。且理想的剛性連接假設前提下，動力學模型忽略了關節非線性因素，將引發機器人系統在部分位姿控制中產生諧振及動態響應遲滯現象，進而導致系統不穩定及末端抖動。

2.2??? 關節柔性模型

當考慮關節柔性時，各個連桿的遞推關系為：

·連桿角速度

·連桿角加速度

·連桿線速度

·連桿線加速度

·連桿質心的速度

ⁱv_ci=ⁱv_i+ⁱω_i×ⁱP_ci

當考慮關節柔性時，各個連桿的偏速度可表示為：

·連桿偏角速度

·連桿偏速度

·連桿質心偏速度

與剛性模型相比，利用Kane方法得到的各個自由度的方程針對于連桿在彈簧變性后的轉角，針對電機輸出的自由度：

·廣義慣性力

·廣義主動力

利用Kane方程可建立考慮關節柔性系統的動力學模型：

F+F^*=0

所導出的方程為12個2階微分方程，當考慮關節柔性的影響時，原有的微分方程將轉變為：

此時的微分方程組為時變微分方程，需要進行數值求解。由該方程的形式可知，該方程為時變非線性微分方程，其系數矩陣中，質量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣均為坐標的函數，這使得該方程難以得到解析解，可以使用的Newmark-β方法，進行求解，具有二階精度。

目前這一探索性研究已應用于工業機器人機電系統的動力學模型構建，與伺服控制實際應用具有吻合性。這一柔性動力學建模方法在控制領域的意義在于，可將這一方法應用于高速高精度應用場景的機器人軌跡控制，特別是要求低振動的平穩軌跡應用，例如切割、涂膠等，這在實際工程中是常見的。

3??? 結論

本文通過建立了工業機器人剛性動力學模型，作為動力學前饋控制基礎，用于提升機器人控制的精度和響應，并分析了該模型忽略關節非線性特性帶來的潛在問題。針對剛性動力學模型潛在問題，考慮關節柔性因素，推導出關節柔性動力學模型，此模型更接近機器人真實固有特性，可實現機器人更高精度和更高帶寬的動態控制，降低末端抖動并提高系統穩定性。通過Kane方法推導建立數學模型，論證了其可行性，為類似機電系統建模提供指導。

參考文獻：

[1]浙江大學.一種工業機器人時間最優控制軌跡的優化方法：CN202110499901.X[P].2021-08-24.

[2]江蘇集萃復合材料裝備研究所有限公司.一種基于動力學模型的骨科手術機器人控制方法：CN202110318897.2[P].2021-06-18.

[3]陳柏，謝本華，丁力，等.一種帶負載工業機器人動力學模型辨識方法[J].南京航空航天大學學報，2016，48（6）：835-840.

[4]陳永剛，樊開夫，譚晶晶，等.工業六軸機器人末端抖動的研究[J]. 實驗室研究與探索，2019，38（12）：44-47.

⑸張鐵，張爰民，覃彬彬，等.柔體動力學模型的機器人柔性力矩前饋控制[J].哈爾濱工程大學學報，2019，40（8）：1509-1516.

[6]哈爾濱工業大學.一種基于動力學的噴涂機器人時間最優軌跡規劃方法：CN202110482412.3[P].2021-07-09.

[7]康榮杰，劉躍，耿仕能，等.絲驅動連續型機器人的建模與避障控制[J].天津大學學報，2021，54（6）：651-660.