準確測算電壓電流的雙測法

摘要：本文提出利用同一臺指針式萬用電表的兩個相鄰電壓擋，準確測算負載端電壓和電源的電動勢及其內阻的方法;介紹用兩個相鄰電流擋準確測算負載電流和電源電動勢及其內阻的方法，統稱為雙測法。該方法排除了由于電源內阻的壓降和電壓表的分流作用而使得測量電壓小于實際值，也排除了由于電流表的分壓作用而使得測量電流小于實際值。

關鍵詞：雙測法;電壓測量;電流測量

萬用電表因制作工藝所限，總會有誤差。電壓擋的量程越大內阻就越大，對被測電壓的影響就越小。但是量程越大，表指針偏轉就越小，相對誤差就隨之增大，對大內阻電源（其內阻與電壓擋內阻在一個數量級上）來說尤其如此。同樣，電流擋的量程越大，內阻就越小，對被測電流的影響就越小。但是量程越大，表指針偏轉就越小，相對誤差就隨之增大，對小內阻電源（其內阻與電流擋內阻在一個數量級上）來說尤其如此。這種矛盾現象似乎難以解決，但是只要用兩個相鄰擋，測出兩個量，再通過簡單的計算，就能獲得準確結果。

1??? 準確測算負載端電壓U和電源的電動勢E及其內阻r

準確測算負載端電壓U和電源的電動勢E及其內阻r的基本方法參見圖1（a），（b），已知：U（第一個電壓擋量程），U（第一個電壓擋測量的電壓），U（第二個電壓擋量程），U（第二個電壓擋測量的電壓），R（負載電阻），S（電壓擋的電壓靈敏度）。

R，R（分別是第一，第二電壓擋的內阻）E，r（分別是電源的電動勢和內阻）。公式推導思路如下所述。

將負載和電源等效為一個帶內阻的電源，其電動勢為E（即為負載R上的端電壓U）和內阻r（r與R并聯）。測算出E與r之后，則U=E，又當已知R時，即可求出r。

由圖1（a）得：

由圖1（b）得：

其中，R=SU，R=SU。

式（1），（2）聯立，消去r，得到等效電源電動勢：

式（1），（2）聯立，消去E，得到等效電源內阻：

實際電壓：

U=E??? （5）

因r=r//R，則電源內阻為：

測取電壓U和U的相對誤差分別為：

E=E??? （10）

r=r??? （11）

測取電壓U和U的相對誤差分別為：

（1）測算空載時的電源電動勢E及其內阻r

已知：U=10V，U=8.57V，U=50V，U=20V，S=20kΩ/V。

求：E，r，U，γ，γ。

解：將已知代入式（5）、（6）、（7）、（10）、（11）求得。下面用MTLAB語言編程計算，見程序1。

程序1

a=input（‘a=’）;Um1=input（‘Um1=’）;U1=input（‘U1=’）;Um2=input（‘Um2=’）;U2=input（‘U2=’）;

Sv=input（‘Sv=’）;

Rv1=Sv*Um1;Rv2=Sv*Um2;

E0=U1*U2*（Rv2-Rv1）/（U1*Rv2-U2*Rv1）;

r0=Rv1*Rv2*（U2-U1）/（U1*Rv2-U2*Rv1）;

if a==0%計算無負載時的電源電動勢E及其內阻r

E=E0

r=r0

Gmv1=（U1-E）/E%測量值U1的誤差

Gmv2=（U2-E）/E%測量值U2的誤差

else %計算負載端電壓U和電源電動勢E及其內阻r

RL=input（‘RL=’）;

U=E0

r=RL*r0/（RL-r0）

E=（RL+r）*U/RL

Gmv1=（U1-U）/U%測量值U1的誤差

Gmv2=（U2-U）/U%測量值U2的誤差

End

輸入數據：

a=0

Um1=10

U1=8.57

Um2=50

U2=20

Sv=20

計算結果：

E=30.0044

r=500.2188

Gmv1=-0.7144

Gmv2=-0.3334

結果是E=30V，r=500kΩ，γ=-71.44%，γ=-33.34%。

可見，測量的電壓U低于實際電動勢E71.44%，顯然是不可采信的。真實的空載電動勢是30V。

（2）測算有負載時的負載端電壓U和電源電動勢E及其內阻r

輸入數據：

a=1

Um1=10

U1=7.5

Um2=50

U2=15

Sv=20

RL=1000

計算結果：

U=20

r=500.0000

E=30

Gmv1=-0.6250

Gmv2=-0.2500

結果是E=30V，R=500kΩ，U=20V，γ=-62.5%，γ=-25%。

可見，測量的電壓U低于實際電壓U62.5%，顯然是不可采信的。真實的負載端電壓是20V。

2??? 準確測算負載電流I和電源電動勢E及其內阻r[1]

已知：使用萬用電表電流擋量程I測得電流I;另一電流擋量程I和測得電壓I;萬用電表電流擋的電壓降U。

求：負載電流I，電源電動勢E及其內阻r。

解：公式推導

由圖2（a）得到測量電流：

由圖2（b）得到測量電流：

其中，R=U/I，R=U/I分別為電流擋I，I的內阻。U是電流擋的滿量程端電壓降。

式（14）和式（15）聯立，消去r，得到電源電動勢：

式（14）和式（15）聯立，消去E，得到電源內阻：

實際電流：

測取電流I和I的相對誤差：

例2已知：I=1A，I=1A，I=5A，I=1.154A，R=4Ω，U=1V

求：E，r，I，γ和γ

解：可將已知數據代入式（16）至式（20）求得結果。

這里用MTLAB語言編程計算，見程序2。

程序2：

Im1=input（‘Im1=’）;I1=input（‘I1=’）;Im2=input（‘Im2=’）;

I2=input（‘I2=’）;RL=input（‘RL=’）;UI=input（‘UI=’）;

Ri1=UI/Im1;Ri2=UI/Im2;%計算電流檔Im1和Im2的內阻

%計算E，r，I的數值

E=I1*I2*（Ri1-Ri2）/（I2-I1）

r=（I1*（RL+Ri1）-I2*（RL+Ri2））/（I2-I1）

I=I1*I2*（Ri1-Ri2）/（I1*Ri1-I2*Ri2）

%計算I1和I2的誤差

Gmi1=（I1-I）/I

Gmi2=（I2-I）/I

輸入數據：

Im1=1

I1=1

Im2=5

I2=1，154

RL=4

UI=1

計算結果：

E=5.9948

r=0.9948

I=1.2002

Gmi1=-0.1668

Gmi2=-0.0385

結果是E=6V，r=1Ω，I=1.2A，γ=-16.68%，γ=-3.85%

可見，測量的電流I低于實際電流I16.68%，顯然是不可采信的。真實的負載電流是1.2A。

3??? 討論

（1）在第1項中

（a）由式（6）、式（1）和式（2）知。r=0時r=0，U=U=E=U。可知，電源內阻越小，則其壓降就越小，測量值就越接近實際值。對市電來說，電源內阻遠遠小于電壓表內阻。測量的電壓是準確的。一般來說，對萬用電表的電壓靈敏度要求不高，不過對于經過小型電源變壓器降壓之后，電源內阻就不能忽視了。

（2）在第2項中

當R=R=0時，由式（14）和式（15）變為

可見，電流檔內阻或電壓降越小，測量電流就更接近于實際電流。

4??? 結語

從上述分析和討論可知，若電源內阻為零，或電壓擋的內阻無窮大和電流檔的內阻無窮小，電壓就沒有對負載的分流作用，電流擋也沒有對負載的分壓作用，測量值就是實際值。遺憾的是這種理想情況是不存在的，于是雙測法才派上用場。

對于電工技術人員來說，雙測法的用途有限，只是在電源變壓器二次側的低壓場合可能用上;對于電子技術人員來說，遇到的多是低電壓小電流的弱電設備，雙測法是準確測定電壓電流的最好方法。

如何判斷是否使用雙測法？可將測得的兩個電壓進行比較，若相差無幾，則認為測量的電壓就是實際，否則就不得不用雙測法了。對于電平測量[2]和功率測量[3]，也可用本文方法。將測定的電壓轉化為對應的電平值或功率值即可。

還需說明的是，文中所說電壓或電流的實際值或準確值，只對理想情況而言，事實上萬用電表本身各擋均有誤差，是儀器制作本身帶來的。

文中使用了MATLAB算法語言編制程序，目前該算法語言很流行，也很好用。否則，要用計算器計算就很麻煩，也易出錯，用該程序就能快速獲取正確結果，以后還可反復使用。

參考文獻：

[1]沙占友，王彥朋，睢丙東，杜之濤.萬用表速學巧用一本通[M].北京：中國電力出版社，2012：216-217.

[2]呂炳仁.指針式萬用電表電平測量原理和誤差分析[J].北京：電子產品世界，2021（8）：71-73.

[3]呂炳仁.指針式萬用電表功率測量原理和誤差分析[J].北京：電子產品世界，2021（9）：54-56.