求函數解析式的三種途徑

黃靚

求函數解析式的途徑有很多種，如引入待定系數法、賦值、采用解方程組法、換元、配方等.一般需根據已知的關系式、函數的性質來選擇合適的途徑進行求解.本文重點談一談三種求函數解析式的途徑.

一、引入待定系數

當已知函數的類型時，我們可直接引入待定系數，采用待定系數法求解.設出相應的函數解析式，如設對數函數的解析式為 y =logax;設冪函數的解析式為 y =ax ;設二次函數的解析式為 y =ax2+bx+c;等等.然后將已知的信息，如點的坐標、關系式等代入函數和解析式中，求得待定系數的值，即可得到函數的解析式.

例1.

解：

因此，函數 f x的解析式為 f x=2x2-x +3 .

由已知的函數關系式可以確定函數 f x是一個二次函數，于是引入待定系數a、 b、 c，設出函數的解析式，建立關于a、 b、 c 的關系式，便能利用待定系數法求得函數的解析式.

二、賦值

若已知關系式中含有多個變量，或沒有明確的關系式，可采用賦值法來逐步確定函數的性質，以明確函數的解析式.在賦值時，要根據已知式子的特點選取滿足題意的值，將其代入題目中進行求解.一般選取較為簡單的值，如1、-1、0、-x、，這樣便于簡化運算.

例2.設 f（x）是定義域為R 的周期函數，最小正周期為 2，且 f（1+x）=f（1-x），當 -1≤ x ≤0時， f（x）=-x .求函數 f（x）在R上的解析式.

解：

解答本題，需多次賦值.先分別令x =x+1、 x +2，根據函數的周期性和 f（1+x）=f（1-x）判斷出函數的奇偶性，然后令x =-x，根據-1≤ x ≤0時的表達式以及函數的單調性求得函數的解析式.

三、采用解方程組法

若已知條件中同時出現fφx和fδx，且存在關系δx=? 或δ x=φx，就可以運用解方程組法來求函數的解析式.第一步是換元，即令t =φx，解出 x =φ-1x，并將其中的 x 替換成或者-t，建立方程組;第二步是解方程組，將方程組中的fè（?） ?（?）或者 f -t消去，得出 f t的解析式;最后一步是用 x 將 f t中的 t 替換，即可得到函數 f x的解析式.

例3.已知 f x-2fè（?） ?（?）=3x +2，求函數 f x的解析式.

解：

因此，函數 f x的解析式為 f x=-x -? -2 .

解方程組法主要是利用換元法建立關于 f x的方程組，通過解方程組來求得函數的解析式.

總之，在求函數的解析式時，同學們要明確問題的本質和類型，選擇與之相應的途徑進行求解.有時，在解同一道題目時，可靈活運用兩種或者兩種以上的方法，這樣有利于提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省啟東市匯龍中學）