對一道高考題解法的探究

朱秋霞 薛志芳

2021年新高考I卷的第19題是一道解三形問題，筆者從不同角度對其解法進行了探究.下面重點談一談解答此類問題的一些方法和建議，以期給各位同學(xué)帶來啟發(fā)與思考.

一、試題呈現(xiàn)

題目：記△ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為a，b，c .已知 b2= ac ，點 D 在邊 AC 上， BD sin ∠ABC = a sin C.

（1）證明： BD =b;

（2）若 AD =2DC，求 cos ∠ABC.

該題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用.題目的難度適中，在解題之前需根據(jù)題意繪制出如圖所示的圖形，以明確三角形的邊角之間的關(guān)系.

本題的第一個問題比較簡單，可直接用正弦定理進行證明.本文重點探討一下第二個問題的解法.

二、解法探究

方法一：利用正余弦定理

要求cos ∠ABC，關(guān)鍵是求∠ABC .在三角形中求角的值，一般會想到運用正弦定理和余弦定理.正弦定理、余弦定理是解三角形中的兩個重要定理，揭示了三角形的邊角之間的關(guān)系.正弦定理適用于：（一）已知三角形兩條邊的長和其中一條邊的對角，求另一條邊的對角;（二）已知三角形的兩個角和任意一條邊的長，求其他兩條邊的長和另一個角.余弦定理適用于：（一）已知三角形的三條邊的長，求三個角;（二）已知兩條邊和它們的夾角，求第三條邊的長和其他兩個角.對于本題，我們需根據(jù)余弦定理將角化為邊，建立關(guān)于 a 和 c 的關(guān)系式，然后在△ABD 和△BCD 中通過解三角形求得∠ABC 的余弦值.

解：

解題的關(guān)鍵在于兩次活用余弦定理的變形式，根據(jù)鄰角互補的余弦值互為相反數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于三邊的關(guān)系式，從而求得角∠ABC 的余弦值.

方法二：割補法

割補法是指根據(jù)圖形的特點和位置關(guān)系將不規(guī)則的圖形割補為常規(guī)的特殊三角形或易于求解的三角形，然后通過解三角形求得問題的答案.割補法常用于求圖形的面積、體積等.對于本題，我們由 =2 可知其邊長之比是定值，于是想到延長 BD，過 C 點作 CE∥AB交BD 的延長線于點 E，補出三角形△DCE ， 便可發(fā)現(xiàn)所求角∠ABC 和∠BCE 互為同旁內(nèi)角，其余弦值互為相反數(shù)，求得∠BCE 的余弦值，即可求得問題的答案.

解：

下同解法一.

通過添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，便可根據(jù)ΔABD 和ΔCED 相似的性質(zhì)建立三角形的邊之間的關(guān)系式，再根據(jù)平行線之間的同旁內(nèi)角互補的性質(zhì)建立等量關(guān)系式，即可找到a、 c 之間的關(guān)系式，運用余弦定理就能求得問題的答案.

方法三：面積法

面積法是指根據(jù)三角形的面積來建立關(guān)系式，求得問題的答案.三角形的面積公式有兩種形式：S = ab sinC、 S = 底× 高.在求三角形的角時，可利用面積公式 S = ab sin C 以及余弦定理來建立關(guān)于三角形邊角之間的關(guān)系式，從而使問題得解.對于本題，我們由? =2 可得? =2，于是根據(jù)三角形的面積公式 S = ab sin C 建立關(guān)于邊角之間的關(guān)系式，而∠ADB 和∠BDC 互補，其余弦值互為相反數(shù)，由此可建立關(guān)于a、 c 的關(guān)系式，再運用余弦定理即可解題.

解：

方法四：利用相似三角形的性質(zhì)

相似三角形的性質(zhì)有很多，如相似三角形的對應(yīng)邊成比例;相似三角形的對應(yīng)角相等;相似三角形的面積的比值等于相似比的平方.運用相似三角形的性質(zhì)求三角形的角，需根據(jù)圖形的特點和位置構(gòu)造相似三角形，靈活運用平面幾何知識來解題.

解：

我們根據(jù)三角形的面積公式和已知條件得出∠ABC = ∠BDC或∠ABC = ∠ADB ，然后猜想 ΔABC ∽ ΔBDC 、ΔABC ∽ ΔADB ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立a、c 之間的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求得∠ABC 的余弦值.

方法五：向量法

運用向量法求解解三角形問題，通常要先給各個線段賦予方向，再根據(jù)向量的三角形法則建立三邊之間的關(guān)系，運用向量的夾角公式以及向量運算法則，通過向量運算求得問題的答案. 對于本題，由 AD = 2DC 想到向量的基本定理，于是以 BA 和 BC 為基底，分別表示出 BD ，運用向量的夾角公式和模的公式建立關(guān)于 a、c 的關(guān)系式，最后運用余弦定理求得問題的答案.

解：

這里提供了五種解法，每種解法有其不同的特點.相比較而言，第一和第五種方法較為簡單.但無論運用哪種方法求解，都需靈活運用三角形的正余弦定理來建立三角形邊角之間的關(guān)系，因此在解答解三角形問題時，同學(xué)們要學(xué)會首先考慮運用正余弦定理，然后結(jié)合圖形進行分析.

（作者單位：朱秋霞，江蘇省揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院;薛志芳，江蘇省淮陰中學(xué)教育集團漣水鄭梁梅濱河高級中學(xué)）