例談轉(zhuǎn)化思想在解答解三角形問題中的應(yīng)用

朱昀娟

有關(guān)三角形的問題在高中數(shù)學(xué)中試卷中經(jīng)常出現(xiàn)，此類問題側(cè)重于考查正余弦定理，勾股定理，三角函數(shù)的定義、性質(zhì)以及三角形、平行四邊形、圓的性質(zhì).常需靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想來輔助解題.本文重點(diǎn)談一談如何巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來解答三角形問題.

一、將問題轉(zhuǎn)化為平面向量問題求解

三角形與平面向量之間關(guān)系緊密，由三角形我們能很快聯(lián)想到平面向量的三角形法則 .在解答三角形問題時(shí)，可根據(jù)題意給三角形的各條邊賦予方向，用向量將其表示出來，這樣便將三角形問題轉(zhuǎn)化為平面向量問題，通過向量運(yùn)算求得問題的答案.

例1.

解：

本題若采用常規(guī)方法，運(yùn)用正余弦定理求解，需建立兩個(gè)關(guān)于三角形的邊、角的方程，運(yùn)算過程較為繁瑣.我們給三角形的各條邊賦予方向，用向量表示出來，便可運(yùn)用平面向量中的加法、數(shù)乘運(yùn)算法則以及數(shù)量積公式、向量的模的公式快速求得 AD 的長.

二、將問題轉(zhuǎn)化為圓的問題求解

我們知道，正弦定理? =? =? =2R 中的 R 為三角形 ABC 外接圓的半徑.因此在解答三角形問題時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為圓的問題，利用圓、圓弧、切線的性質(zhì)來解題.

例2.在ΔABC 中，∠B =? ，AC = ，求ΔABC 面積的最大值.

解：

我們先根據(jù)正弦定理求得ΔABC 的外接圓的半徑，然后結(jié)合圖形，在圓周上尋找 AC 邊上的高取得最大值的點(diǎn)，這樣便能確保ΔABC 的面積最大.

三、將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題求解

三角形與平行四邊形的關(guān)系緊密，如與三角形等底等高的平行四邊形的面積等于三角形面積的一半.在解答三角形問題時(shí)，可將三角形補(bǔ)成平行四邊形，這樣便可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、相關(guān)結(jié)論來解題.

例3.在ΔABC 中，點(diǎn) O 是 BC 的中點(diǎn)， AB =7， AC =6， AO =5，求 BC 的長.

解：

解答本題，主要運(yùn)用了有關(guān)平行四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)：平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和，以此建立關(guān)系式，求得 BC 的長.

可見，在解答三角形問題時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為向量、圓、平行四邊形問題，不僅能有效地提升解題的效率，還能拓寬解題的思路.這就要求同學(xué)們在解題的過程中要善于遷移知識，將所學(xué)的知識融會貫通起來，巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，這樣就能從不同角度找到解題的方案.

（作者單位：江蘇省大豐高級中學(xué)）