如何根據遞推關系式求數列的通項公式

耿麗靜

在解答數列問題時，我們經常會遇到一些非常規的數列通項公式問題，此時很難直接運用等差、等比數列的通項公式進行求解，需仔細研究數列的遞推關系式，選擇與之相應的方法求解.數列的遞推關系式有很多種不同的形式，由每種形式的遞推關系式求數列通項公式的方法各不相同.下面筆者重點談一談如何由下列三種類型的遞推關系式求得數列的通項公式.

類型一： an -an -1 =f n型

對于形如 an -an -1 =f n的遞推關系式，通常采用累加法來求其通項公式.首先令n =1，2，3，…，n，然后將各式累加，通過化簡求得an 的表達式.有時需令 n =n +1或n -1，以便在化簡的過程中順利求得an 的表達式，得到數列的通項公式.

例1.已知數列an中，an+1 =an +n，a61= 1999，求該數列的通項公式.

解：

將遞推關系式變形可得 an -an -1 =n，該式形如 an -an -1 =f n，可采用累加法求解.由于遞推關系式中含有 an+1，所以只需令 n =1，2，3，…，n -1，再將其累加即可.

類型二： an+1 =pan（m）型

對于 an + 1 = pamn （ p ≠ 0，m ∈ N*，m > 1） 型遞推關系式，需在遞推關系式的左右兩邊取對數，以便將遞推關系式中的積、商、冪轉化為和、差、倍，從而將遞推關系式構造成等差數列或等比數列的通項公式，最后根據等差、等比數列通項公式求得數列的通項公式.

例2.若數列an的首項為2，an+1 =a ，求數列的通項公式.

解：由題意可知 a1= 2，而 an+1 =a >0，

將 an+1 =a 的兩邊取對數，得lgan +1 =2lgan ，

因此lgan?? = 2，lga1= lg 2，

因此數列lgan是首項為 lg2，公比為2 的等比數列，即lgan=lg 2?2n -1，

所以數列的通項公式為an = 22n -1 .

通過取對數，便可將遞推關系式簡化，這樣便可構造出首項為lg2，公比為2 的等比數列lgan，根據等比數列的通項公式即可求得數列的通項公式.

類型三： an +1an =can +1 +dan 型

對于形如 an +1an =can +1 +danc、 d ≠0的遞推關系式，需采用取倒數的方式來求數列的通項公式.可在 an+1an =can+1 +dan? 的兩邊同時除以 an+1an ，得到 +? =1，令 bn =? ，將遞推關系式轉化為 bn+1 = mbn +qm ≠0的形式，然后引入待定系數得 bn+1 +A=m（bn +A），從而構造出新數列，再根據等差、等比數列的通項公式或利用累加法求解.

例3.已知數列an中， an+1 =? ，a1=2，求數列的通項公式.

解：

解答本題，需先在遞推關系式的左右同時除以 an+1?an，然后運用待定系數法構造等比數列，以便根據等比數列的通項公式求得數列的通項公式.

由于數列遞推關系式的形式各種各樣，所以同學們需對各種類型的遞推關系式及求通項公式的方法進行歸納，熟練掌握求數列通項公式的方法，以積累解題經驗，提升解題的效率.

（作者單位：山東省泰安第二中學）