求解二項式定理問題的幾個“妙招”

任銀

二項式定理是高中數學的重要內容，也是高考的必考內容.二項式定理問題常以填空、選擇題的形式出現，難度適中，要求同學們深刻理解并掌握二項式定理及其性質.下面，筆者結合例題，對解答二項式定理問題的三個“妙招”一一介紹.

一、巧用通項分析法

二項式展開式的通項公式 Tr+1 = Cn（r）an -rbr （0≤ r ≤n， r ∈ N）呈現了二項展開式的項數、系數、次數三者之間的變化規律，是二項式定理的核心.若已知二項式展開式的項數、系數、次數三者之一，就可以根據二項式展開式的通項公式求出其余的量.

例1 .已知 f（x）=（3 +3x2）5，求展開式中系數最大的項.

解：假設第r +1項的系數最大，

則 Tr ≤ Tr+1，Tr+1 ≥Tr +2，

可得?（ì）C（C）? 解得? ≤ r ≤? ，

又因為 r ∈ N，所以 r =4，

故展開式中系數最大的項是 T4+ 1= C x3（3x2）4=

二項式展開式中項的系數是離散型變值，因此在系數均為正的前提下，只需比較相鄰兩項系數的大小即可.于是根據二項式展開式的通項公式建立不等式組，通過解不等式組求得r 的值，便可確定系數最大的項.

二、利用組合知識

我們知道，二項式（a +b）n 是由n 個因式 a +b 相乘得到的，因此可將二項式定理問題看作從 n 個元素 a +b 中選取 m 個a 和n -m 個b 的組合問題來求解.確定組合問題中的元素和選取方式便可得到相應的組合數，求得問題的答案.對于求二項式展開式中的某項、項的系數以及與二項式系數和有關的問題，都可以利用組合知識來求解.

例2.求在（a -2b -3c）10的展開式中含有 a3b4c3的項的系數.

解析：

利用組合知識解題時，需從每個因式中選取一項作乘法運算，且對每一項的字母及其前面的系數、符號需一起選取.

三、賦值

賦值法是指將某些滿足題意的值賦給某個變量，并將其代入題設中進行求解.由于二項式與其展開式是恒等關系式，它對能夠使變量有意義的任意值都成立，故賦值法是研究二項展開式系數的和的常用方法.

例3.已知（2x -1）5=a0x5+a1x4+ ???+a4x +a5，求a0+a1+???+ a5的值.

解：

我們需先根據二項式展開式的通項公式，明確相應系數的特征，再進行賦值.解答本題的關鍵是得到a0+a1+???+ a5=a0-a1+a2-a3+a4-a5，從而令 x =-1，求得系數的和.

通過對上述三個“妙招”的闡釋，同學們對二項式定理問題及其解法會有更加深入的了解，相信通過練習，并不斷總結經驗和教訓，同學們能熟練掌握求解二項式定理問題的三種方法，并能靈活應對各類二項式定理問題.

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學）