解答含絕對值的二次函數問題的思路

姚東鹽

含有絕對值的二次函數問題一般難度較大.由于函數式中含有絕對值，所以解題的關鍵是如何去掉絕對值符號，將問題轉化為常規的函數問題來求解.通常有三種思路：分類討論、數形結合、等價轉化.

一、分類討論

分類討論法是處理絕對值問題的常用方法.在解題時，可令絕對值內部的式子為0，求得零點，然后用零點將函數定義域劃分為幾個區間段，在每個區間段上討論絕對值內部式子的符號，根據絕對值的性質去掉絕對值符號，將函數式轉化為分段函數來進行討論.

例1 .已知 f（x）=-x2+2x -a ，當 a >0時，對任意的x ≥0，不等式 f（x -1）≥2f（x）恒成立，求實數 a 的取值范圍.

解：當0≤x <a 時，由 f（x -1）≥2f（x）得 x2+4x - 2a +1 ≥0 .令 g（x）=x2+4x -2a +1，則 g（x）在 [0， a）上單調遞增，因此 g（0）= 1- 2a ≥0，得 a ≤ ，所以0 <a <? .當 a ≤ x <a +1時，x2-4x +1 +6a ≥0，令 h（x）=x2- 4x+1+6a，其對稱軸為 x =2，得0 <a<，所以 h（x）在 [a， a +1）上單調遞減，因此 h（a +1）=a2+4a -2≥0，得 a ≥? -2 或 a ≤-2- （舍去），所以 a ≥? -2 .當 x ≥1 +a 時， x2+2a -3≥0恒成立，令φ（x）=x2+ 2a -3，φ（x）在 [a +1， +∞）上單調遞增，因此φ（a +1） =a2+4a -2≥0，解得 a ≥? -2 或 a ≤-2-? （舍去）.綜上可得a 的取值范圍為[ -2，] .

本題中不僅含有絕對值，還含有參數a，需運用分類討論法來求解.因為所得的參數取值范圍是多個集合的并集，所以在分類討論時，要做到不重復不遺漏任何一種分類情況，并且在討論完每一種情況后要綜合所得結果.

二、數形結合

在解答函數問題時，將數形結合起來能有效地提升解題的效率.對于含有絕對值的二次函數問題，可根據給出的函數解析式繪制出函數的圖象，圖象中就會呈現出函數圖象的變化趨勢、單調性、最大值、最小值、對稱軸、周期等，這樣便可借助圖形來分析函數的最值、單調性、對稱性、周期性、奇偶性等.

例2 .若直線 y =1 與曲線 y =x2- x +a 有4個交點，求實數 a 的取值范圍.

解：

本題若采用常規方法，需對含有絕對值的式子進行分類討論，解題過程較為繁瑣.于是采用數形結合法，作出兩函數的圖象，通過分析兩函數圖象的位置關系就能直觀地求得參數的取值范圍.

三、等價轉化

有些含有絕對值的二次函數問題較為復雜，此時我們可采用等價轉化法，將問題轉化為恒成立問題、距離問題、函數最值問題來求解.通過等價轉化，可將將未知的問題化為已知的問題，將復雜的問題化為簡單的問題，將陌生的問題化為熟悉的問題.

例3 .已知 f（x）=ax2+bx +c，其中 a ∈ N?，b，c ∈Z，問當 b >2a 時，在[-1，1]上是否存在 x，使得f（x）>b 成立.

解：由 b >2a ，得- < -1，所以 f（x）在

[-1，1]上單調遞增且 b >0，所以 f（x）∈（a -b+c， a+ b +c）.

①當 a +c >0時，a +b +c >b >0，則f（1）>b，即存在 x =1，使得f（x）>b 成立;

②當 a +c <0時，a -b +c <-b <0，則f（-1）>b，即存在 x =-1，使得f（x）>b 成立;

③當 a +c =0時， f（x）∈（-b， b），不存在 x 使得f（x）>b 成立.

通過有效的轉化，將看似困難的絕對值二次函數問題轉化為較為簡單的二次函數性質問題，根據二次函數的單調性和最值就能順利使問題得解.

雖然含有絕對值的二次函數問題較為復雜，但是我們只要抓住絕對值的特點，明確二次函數的圖象和性質，分類進行討論;繪制函數圖象，將數形結合;明確問題的本質，進行等價轉化，便能使問題順利獲解.

（作者單位：江蘇省鹽城市明達高級中學）