證明不等式成立的三個(gè)常用辦法

李冬梅

不等式證明題的命題形式多種多樣，其解法也各不相同.常用的方法有綜合法、分析法、反證法、放縮法、構(gòu)造法等.解答不等式證明題，需根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的公式、性質(zhì)、定理等對(duì)不等式進(jìn)行合理的變形，從而證明結(jié)論.下面主要談一談證明不等式的三個(gè)常用辦法：綜合法、分析法、反證法.

一、運(yùn)用綜合法

綜合法是證明不等式的基本方法，是從已知條件出發(fā)，逐步向結(jié)論推理、論證的方法.在證明不等式時(shí)，需根據(jù)已知條件，利用不等式的可加性、可乘性、絕對(duì)值的性質(zhì)、基本不等式等對(duì)目標(biāo)不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^(guò)合理的運(yùn)算、推理來(lái)證明結(jié)論成立.

例1.已知 a、 b ∈ R+， a +b =1，證明： è（?）a + ?（?）2+ è（?）b + ?（?）2≥? .

證明：∵ a +b =1，

∴1 =a +b2=a2+b2+ 2ab ≤2a2+b2，

∴ a2+b2≥? ，

∵? +? =a +b2? +? ≥ 2 2× 2 =8 ，

∴ è（?）a + ?（?）2+ è（?）b + ?（?）2= a2+b2+4+?? +? ≥? +4+ 8= ，當(dāng)且僅當(dāng) a =b 時(shí)取等號(hào).

我們從已知條件著手分析，先將其平方，建立已知條件與目標(biāo)不等式之間的聯(lián)系，然后兩次運(yùn)用基本不等式以及不等式的可加性證明結(jié)論.

二、利用分析法

運(yùn)用分析法證明不等式，需從目標(biāo)不等式出發(fā)，結(jié)合題意分析不等式成立的條件，若這些條件都成立，或與相關(guān)的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等相符，則證明不等式成立.要證明不等式成立，需使所有條件均滿(mǎn)足.通常采用“要證—?jiǎng)t證—即證”的格式來(lái)書(shū)寫(xiě)解答過(guò)程.

例2.證明：3+? <2? +? .

證明：要證3 +? <2? +? 成立，

需證+ 2<+ 2成立，???? 即證15+2? <15+2? ，

只需證<成立，

因?yàn)?4<56，所以<成立，

即3 +? <2? +? 成立.

題目中給出的信息較少，需從目標(biāo)不等式入手，執(zhí)“果”索“因”，將目標(biāo)不等式平方，根據(jù)根式的性質(zhì)、不等式的可加性得出<，從而證明原不等式成立.

三、采用反證法

運(yùn)用反證法證明不等式，需先假設(shè)目標(biāo)不等式不成立，然后經(jīng)過(guò)推理分析，得出與假設(shè)或已學(xué)習(xí)的公式、定理、性質(zhì)等相矛盾的結(jié)論，證明假設(shè)不成立，進(jìn)而證明目標(biāo)不等式成立.反證法是一種間接證明方法，對(duì)于一些從正面求證較困難的題目，可考慮運(yùn)用反證法來(lái)解題.

例3.已知0 <a <1，0 <b <1，0 <c <1，證明：1-ab，1-bc，1-ca 中至少有一個(gè)小于或等于? .

解析：

證明：

相比較而言，綜合法和分析法的適用范圍較廣，一般情況下可先考慮用綜合法來(lái)證明不等式，若解題受阻，再考慮運(yùn)用分析法、反證法.

（作者單位：安徽省廬江樂(lè)橋中學(xué)）