求解多元變量最值問題的三個路徑

孫蘭紅

多元變量最值問題一般較為復雜，對同學們的運算和綜合分析能力的要求較高.很多同學在解題時往往容易受多個變量的干擾，不知該如何下手.下面介紹三個求解多元變量最值問題的路徑，以幫助大家提升解答此類問題的效率.

一、利用基本不等式

基本不等式： ≥? a，b>0是解答雙變量

最值問題的重要工具.在運用基本不等式求最值時，要首先確保兩個變量為正數，然后配湊出兩個變量的和或者積，并使其中之一為定值，這樣就能運用基本不等式來求最值.值得注意的是，在求得最值后要檢驗等號成立的條件是否滿足題意.在配湊基本不等式時，可通過“拆項”“拼項”“湊系數”等方式來變形目標式.

例1.

解：

解答本題的關鍵在于通過合理換元，將目標式轉化為關于x、 y 的函數式，再根據（x +y）=1，利用“1”的代換來配湊出、兩式的和，而該式的積為定值，于是運用基本不等式就能順利求得最值.

二、消元

消元法往往是解答多元變量最值問題最為直接的方法.當題目中出現兩個及兩個以上的變量，且各變量之間存在某種關系時，我們就可以根據這些變量之間的關系，用其中一個變量表示出其他變量，這樣便可消去一些變量，將問題轉化為單變量最值問題，利用函數的單調性、方程的性質來求得最值.

例2.若 c >0，非零實數a，b滿足4a2- 2ab +4b2?????? -c =0，求當2a +b 最大時， -? +? 的最小值.

解：

當遇到多元變量問題時，要首先考慮消元法，如果能夠通過消元，將多個變量消去，便可將問題轉化為常規的單變量最值問題，這樣能達到化難為易的目的.

三、采用判別式法

若經過一系列的恒等變換，能將已知關系式或目標式整理為關于某個變量的一元二次方程，就可以利用一元二次方程的根的判別式來求得最值.在建立一元二次方程后，便可根據變量的取值情況和方程來討論方程的根的分布情況，通常會根據方程有解來建立關系式：△≥0，從而求得最值.

例3.已知 x， y， z ∈Z ，且 x +y +z =3， x3+y3+z3= 3，求 x2+y2+z2的最值.

解：由x +y =3 -z，x3+y3= 3-z3得xy =? ，

則 x， y 為關于 t 的一元二次方程 t2-（3-z）t+=0的整數根，

所以 Δ=（3-z）2-4? =（z -1）2（1+ ） 必為完全平方數，

則 z =1，4， -5，當 z =1 時，x =1，y =1;當 z =4時， x =-5，y =4， 或x =4，y =4;當 z =-5時，x =4，y =4 .

綜上可得 x2+y2+z2的最大值為57，最小值為3.

已知條件中含有三個變量，而方程的解是不確定的，于是用 z 表示x +y、xy，根據韋達定理構造一元二次方程，由方程有整數根x、 y，根據判別式Δ 為完全平方數建立關系式，從而求得最值.

總之，解答多元變量最值問題，不僅要靈活處理幾個變量之間的關系，從中尋找解題的突破口，還需靈活運用不等式的性質、函數的圖象和性質、方程思想等來解題.

（作者單位：華東師范大學鹽城實驗中學）